1、2003 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 数 学 （理工农医类） 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分。第 卷 1 至 2 页，第 卷 3 至 10 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 卷 （选择题共 60 分） 一 .选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1已知2( x， 0），54cos x，则 2tg x （ ） （ A）247（ B）247（ C）724（ D）7242圆锥曲线 2cossin8的准线方程是 （ ） （ A） 2cos （ B） 2cos （ C） 2sin （ D
2、） 2sin 3设函数 21 12)( xxfx 00xx，若 1)(0 xf，则0x的取值范围是 （ ） （ A）（ 1 ， 1） （ B）（ 1 ， ） （ C）（ ， 2 ） （ 0， ） （ D）（ ， 1 ） （ 1， ） 4函数 )c os( s ins in2 xxxy 的最大值为 （ ） （ A） 21 （ B） 12 （ C） 2 （ D） 2 5已知圆 C： 4)2()( 22 yax （ 0a ）及直线 l ： 03 yx ，当直线 l 被 C 截得的弦长为 32 时，则 a （ ） （ A） 2 （ B） 22 （ C） 12 （ D） 12 6已知圆锥的底面半径为 R
3、，高为 3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ） （ A） 22R （ B）249 R（ C）238 R（ D） 223 R7已知方程 0)2)(2( 22 nxxmxx 的四个根组成 一个首项为41的的等差数列，则 | nm （ ） （ A） 1 （ B）43（ C）21（ D）838已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F（ 7 ， 0），直线 1xy 与其相交于 M、 N 两点， MN 中点的横坐标为32，则此双曲线的方程是 （ ） （ A） 14322 yx （ B） 13422 yx （ C） 12522 yx （ D） 15222 yx 9函数 xxf sin)( ， 23,
4、2 x的反函数 )(1 xf （ ） （ A） xarcsin 1x ， 1 （ B） xarcsin 1x ， 1 （ C） xarcsin 1x ， 1 （ D） xarcsin 1x ， 1 10已知长方形的四个顶点 A（ 0， 0）， B（ 2， 0）， C（ 2， 1）和 D（ 0， 1），一质点从 AB 的中点0P沿与 AB的夹角 的方向射到 BC 上的点 1P 后，依次反射到 CD、 DA 和 AB 上的点 2P 、3P和 4P （入射角等于反射 角 ）， 设 4P 的坐标为（ 4x ， 0 ）， 若 21 4 x ，则 tg 的取值范围是 （ ） （ A）（31， 1） （ B
5、）（31，32） （ C）（52，21） （ D）（52，32） 11 )(lim 11413122242322nnn CCCCnCCCC （ ） （ A） 3 （ B）31（ C）61（ D） 6 12一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ） （ A） 3 （ B） 4 （ C） 33 （ D） 6 二 .填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填在题中横线上。 1392 )21( xx 的展开式中 9x 系数是 14使 1)(log 2 xx 成立的 x 的取值范围是 15如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻
6、地区不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种。（以数字作答） 16下列 5 个正 方体图形中， l 是正方体的一条对角线，点 M、 N、 P 分别为其所在棱的中点，能得出 l 面 MNP的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17（本小题满分 12 分） P M N l P N M l N l P M l M N P N l P M 2 1 5 3 4 已知复数 z 的辐角为 60 ，且 |1| z 是 |z 和 |2| z 的等比中项，求 |z 18（本小题满分 12
7、分） 如图，在直三棱柱 111 CBAABC 中，底面是等腰直角三角形， 90ACB ，侧棱 21 AA ， D、E 分别是 1CC 与 BA1 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是 ABD 的重心 G （ I） 求 BA1 与平面 ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （ II） 求点 1A 到平面 AED 的距离 19 （本小题满分 12 分） 已知 0c ，设 P：函数 xcy 在 R 上单调递减 Q：不等式 1|2| cxx 的解集为 R 如果 P 和 Q 有且仅有一个正确，求 c 的取值范围 20（本小题满分 12 分） 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风
8、中心位于城市 O（如图）的东偏南102arccos( ）方向 300km 的海面 P 处，并以20km/h 的速度向西偏北 45 方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60km，并以 10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 21（本小题满分 14 分） 已知常数 0a ，在矩形 ABCD 中， 4AB ， aBC 4 ，O 为 AB 的中点，点 E、 F、 G 分别在 BC、 CD、 DA 上移动，且D E K B C1 A1 B1 A F C G O P A G D F E C B x y O 北 东O y 线 岸 O x PO r(t) P 45 海 D
9、ADCCDCFBCBE ， P 为 GE 与 OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使 P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若 不存在，请说明理由。 22（本小题满分 12 分，附加题 4 分） （ I）设 na是集合 |22 ts ts0 且 Zts , 中所有的数从小到大排列成的数列，即31a ， 52 a ， 63 a ， 94 a ， 105 a ， 126 a ， 将数列 na各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表： 3 5 6 9 10 12 写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； 求10a（ II）（本小题为附加题，如果解答正确，加
10、 4 分，但全卷总分不超过 150 分） 设 nb是集合 tsrtsr 0|222 ，且 , Ztsr 中所有的数从小到大排列成的数列，已知 1160kb，求 k . 2003 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 (理工农医类 )答案 一、选择题 1 D 2 C 3 D 4 A 5 C 6 B 7 C 8 D 9 D 10 C 11 B 12 A 二、填空题 1322114（ -1， 0） 15 72 16 三、解答题： 17 解：设 )60s in60c o s rrz ，则复数 .2rz的实部为2, rzzrzz 由题设 .12|).(12,12:.012,421,)2)(2(|)1)
11、(1(:|2|1|2222zrrrrrrrrrzzzzzzzz即舍去解得整理得即 18（）解：连结 BG，则 BG 是 BE 在 ABD 的射影，即 EBG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角 . 设 F 为 AB 中点，连结 EF、 FC， .32ar c s i n.323136s i n.3,32,22,2.36321,2)4(.3,1,31.,112211所成的角是与平面于是分中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是A B DBAEBEGE B GEBBAABCDFCEGEDFDEFFDFDFGEFE F DDFGA D BGDEC D E FA B CDCBACCED（）
12、解 ： , FABEFEFEDABED 又 .36236232222,.,.,.,.,111111111111111的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面A E DAABBAAAKAABAA E DAKAA E DKAKAEKAAEABAA E DABAA E DA E DEDABAED19 解：函数 xcy 在 R 上单调递减 .10 c 不等式 .1|2|1|2| 上恒大于在函数的解集为 RcxxyRcxx ).,121,0(.1,.210,.21121|2|.2|2|,2,2,2,22|2|的取值范围为所以则正确且不正确如果则不正确且正确如果的解集为不等式上的
13、最小值为在函数ccQPcQPccRcxxcRcxxycxccxcxcxx20解：如图建立坐标系以 O 为原点，正东方向为 x 轴正向 . 在时刻：（ 1）台风中心 P（ yx, ）的坐标为.222010 27300,2220102300tytx 此时台风侵袭的区域是 ,)()()( 22 tryyxx 其中 ,6010)( ttr 若在 t 时刻城市 O 受到台风的侵袭，则有 .)6010()0()0( 222 tyx 即 22 )2 22010 27300()2 22010 2300( tt 2412,028836,)6010( 22 tttt 解得即 答： 12 小时后该城市开始受到台风的
14、侵袭 . 21根据题设条件，首先求出点 P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点 P 到两点距离的和为定值 . 按题意有 A（ 2， 0）， B（ 2， 0）， C（ 2， 4a）， D（ 2， 4a）设 )10( kDADCCDCFBCBE由此有 E（ 2， 4ak）， F（ 2 4k， 4a）， G（ 2， 4a 4ak）直线 OF 的方程为： 0)12(2 ykax 直线 GE 的方程为： 02)12( ayxka 从，消去参数 k，得点 P（ x,y）坐标满足方程 022 222 ayyxa 整理得1)(21 222 aayx当212 a时，点 P 的轨迹为圆弧，所以不存
15、在符合题 意的两点 . 当212 a时，点 P 轨迹为椭圆的一部分，点 P 到该椭圆焦点的距离的和为定长。 当212 a时，点 P 到椭圆两个焦点（ ),21(),21 22 aaaa 的距离之和为定值 2 。 当212 a时，点 P 到椭圆两个焦点（ 0， )21,0(),21 22 aaaa的距离之和为定值 2a . 22（本小题满分 12 分，附加题 4 分） （）解：（ i） 第四行 17 18 20 24 第五行 33 34 36 40 48 （ i i） 解 ： 设 00 22100 tsa ，只须确定正整数 .,00 ts数列 na中小于 02t 的项构成的子集为 ,0|220t
16、 ttss 其元素个数为 .1002 )1(,2 )1( 000020 ttttC t 依题意满足 等式的最大整数0t为 14，所以取 .140 t因为 100 .1 6 6 4 022,8s,1 81410000214 asC 由此解得（）解： ,2221160 3710 kb令 0|222B,(1 1 6 0| r tsrCBcM ts 其中 因 .22222|222|2| 37107107101010 cBccBccBcM 现在求 M 的元素个数： ,100|2222| 10 tsrcBc tsr 其元素个数为 310C： .70|222222| 1071010 srcBc rs 某元素个数为 30|22222222|: 710371071027 rcBcC r某元素个数为 .1451: 2327310710 CCCkC
