1、中考专题复习：三角形与全等三角形,考点知识精讲,中考典例精析,考点训练,举一反三,考点一 三角形的概念与分类 1由三条线段 所围成的平面图形，叫做三角形 2三角形按边可分为： 三角形和 三角形；按角可分为 三角形、 三角形和 三角形,首尾顺次相接,不等边,等腰,锐角,钝角,直角,考点二 三角形的性质 1三角形的内角和是 ，三角形的外角等于与它 的两个内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角 2三角形的两边之和 第三边，两边之差 第三边 3三角形中的重要线段 (1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等 (2)中线：三角形的三条中线交于一
2、点，这点叫做三角形的重心 (3)高：三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心,180,不相邻,大于,小于,(4)三边垂直平分线：三角形的三边垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点距离相等 (5)中位线：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半 温馨提示： 三角形的边、角之间的关系是三角形中重要的性质，在比较角的大小、线段的长短及求角或线段中经常用到.学习时应结合图形，做到熟练、准确地应用. 三角形的角平分线、高、中线均为线段.,考点三 全等三角形的概念与性质 1能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 2全等三角形的性质 (1)全等三角形的 、 分别相等； (2)全
3、等三角形的对应线段(角平分线、中线、高)相等、周长相等、面积相等,对应边,对应角,考点四 全等三角形的判定 1一般三角形全等的判定 (1)如果两个三角形的三条边分别 ，那么这两个三角形全等，简记为SSS； (2)如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SAS； (3)如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为ASA； (4)如果三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为AAS.,对应相等,2直角三角形全等的判定 (1)两直角边对应相等的两个直角三角形全等； (2)一边及该边所对锐角对应相等的两个直角三角形全等
4、； (3)如果两个直角三角形的斜边及一条 分别对应相等，那么这两个直角三角形全等简记为HL. 3证明三角形全等的思路,直角边,(1)(2011河北)已知三角形三边长分别为2，x,13，若x为正整数，则这样的三角形个数为( )A2 B3 C5 D13 (2)(2010昆明)如图，在ABC中，CD是ACB的平分线，A80，ACB60，那么BDC( ) A80 B90 C100 D110 (3)(2010广州)在ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC5，则DE的长是( ) A2.5 B5 C10 D15,(4)(2010济宁)若一个三角形三个内角度数的比为234，那么这个三角形是( ) A
5、直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D等边三角形 (5) （2011黄冈）如图，ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC的平分线BP交于点P，若BPC40，则CAP_.【点拨】本组题主要考查三角形的有关概念和性质,【解答】(1)B 由三角形三边关系可得11x15，满足条件的正整数x为12,13,14，这样的三角形有3个 (2)D ACB60，CD是ACB的平分线ACD30，BDCAACD8030110.,方法总结： (1)考查三角形的边或角时，一定要注意三角形形成的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； (2)在求三角形内角和外角时，要明确所求的角属于哪个三角形的内角和外角，要抓
6、住题目中的等量关系； (3)审题时，要注意提炼条件，并思考条件怎样用，还要考虑所求应该怎样去求.,（2011河南） 如图所示，在梯形ABCD中， ADBC，延长CB到点E，使BEAD，连接DE交AB于点M. (1)求证：AMDBME； (2)若N是CD的中点，且MN5，BE2，求BC的长 【点拨】三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半,方法总结： （1）判定两个三角形全等时，常用下面的思路：有两角对应相等时找夹边或任一边对应相等；有两边对应相等时找夹角或另一边对应相等. （2）结论不唯一的开放型试题，是近几年中考试题中的热点题型.主要考查对一些知识点掌握的熟练性、系统性.这类题型要注意多
7、琢磨、多领悟.,1下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A1 cm,2 cm,3.5 cm B4 cm,5 cm,9 cm C5 cm,8 cm,15 cm D6 cm,8 cm,9 cm 答案：D 2如图,BDC98,C38,B23,A的度数是( ) A61 B60 C37 D39答案：C,3如图，D、E分别为ABC的边AC、BC的中点， 将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处，若 CDE48，则APD等于( ) A42 B48 C52 D58 答案：B 4如图，在ABC中,ACDCDB，ACD100，则B等于( ) A50 B40 C25 D20 答案：D,5现有2 cm、4
8、 cm、5 cm、8 cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为( ) A1个 B2个 C3个 D4个 答案：B 6已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上， EAAD，FDAD，AEDF，ABDC. 求证：ACEDBF. 答案：提示：先用SAS证明EACFDB,三角形与全等三角形训练时间：60分钟 分值：100分,一、选择题(每小题3分，共36分) 1(2011苏州)ABC的内角和为( )A180 B360 C540 D720 【解析】任意三角形内角和都是180. 【答案】A,2(2010中考变式题)如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，
9、已知线段PA5，则线段PB的长度为( )A6 B5 C4 D3 【解析】线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，PAPB5. 【答案】B,3(2010中考变式题)如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA15米，OB10米，A、B间的距离不可能是( )A20米 B15米 C10米 D5米 【解析】由三角形关系得5 AB 25. 【答案】D,4(2011山西)如右图所示，AOB的两边OA、OB均为平面反光镜，AOB35，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上的点D反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则DEB的度数是( ),A35 B70 C110 D1
10、20 【解析】CDOB，ADCAOB35.由光的反射原理知，ODEADC35，DEBODEAOB70. 【答案】B,5(2010中考变式题)两根木棒的长分别为5 cm和7 cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为偶数，那么第三根木棒的选取情况有( ) A3种 B4种 C5种 D6种 【解析】由三角形三边关系得2 cm第三根棒长12 cm.因为第三根棒长为偶数，第三根棒的取值可以是4 cm、6 cm、8 cm和10 cm共4种 【答案】B,6(2012中考预测题)如图，OP平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为A、B，下列结论中不一定成立的是( )APAPB BPO
11、 平分APB,COAOB DAB垂直平分OP 【解析】依据角平分线的性质和全等三角形的判定性质得D不一定成立 【答案】D,7(2012中考预测题)如图，点P是AB上任意一点，ABCABD，还应补充一个条件，才能推出APCAPD.从下列条件中补充一个条件，不一定能推出APCAPD的是( )ABCBD BACAD CACBADB DCABDAB,【解析】依据A条件先证ABCABD(SAS)，再推出APCAPD.依据C条件先证ABCABD(AAS)，再推出APCAPD；依据D条件先证ABCABD(ASA)，再推出APCAPD，而B的条件不能推出 【答案】B,8(2012中考预测题)用边长为1的正方形
12、纸板，制成一副七巧板，如图所示，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积为( ),【答案】C,9(2012中考预测题)如图，ACBACB，BCB30，则ACA的度数为( )A20 B30 C35 D40 【解析】ACBACB，ACBACB，ACABCB30. 【答案】B,10(2010中考变式题)如图，AC、BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DEAC交BC的延长线于E，则图中与ABC全等的三角形共有( ) A1个 B2个 C3个 D4个【解析】与ABC全等的有4个，分别是CDA、BAD、DCB、DEC. 【答案】D,11(2011芜湖)如图所示，已知ABC中，ABC45，F是高AD和BE的
13、交点，CD4，则线段DF的长度为( )【解析】由条件可得BDFADC，故DFCD4. 【答案】B,12(2011江西)如下图所示，在下列条件中，不能证明ABDACD的是( )ABDDC，ABAC BADBADC，BDDC,CBC，BADCAD DBC，BDDC 【解析】BDDC，ABAC，ADAD，满足“SSS”；ADBADC，BDDC，ADAD，满足“SAS”；BC，BADCAD，ADAD，满足“AAS”；A、B、C三个选项都能证明ABDACD，只有D项不能 【答案】D,二、填空题(每小题4分，共20分) 13(2011成都)如图所示，在ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，若DE4，则
14、AB_.【答案】8,14(2011江西)如图所示，在ABC中，点P是ABC的内心，则PBCPCAPAB_度,【答案】90,15(2010中考变式题)如图，已知ACFE，BCDE，点A、D、B、F在一条直线上，要使ABCFDE，还需添加一个条件，这个条件可以是_【解析】答案不唯一 【答案】CE(或ABFD等),16(2011海南)如图所示，在ABC中，ABAC3 cm，AB的垂直平分线交AC于点N，BCN的周长是5 cm，则BC的长等于_ cm.【解析】由MN是线段AB的垂直平分线可得BNAN.BNNCANNCAC3，BC532(cm) 【答案】2,17(2011绥化)如右图所示，点B、F、C、
15、E在同一条直线上，点A、D在直线BE的两侧，ABDE，BFCE，请添加一个适当的条件_，使得ACDF.【解析】由已知条件可得BE，BCEF.只需再有ABDE或AD或ACBDFE都可证明ABCDEF，从而得出ACDF. 【答案】ABDE 或AD 等,三、解答题(共44分) 18. (10分)(2011德州)如图所示，ABAC，CDAB于D，BEAC于E，BE与CD相交于点O.(1)求证：ADAE； (2)连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由,【答案】(1)证明：如图，在ACD与ABE中，CADBAE，ADCAEB90，ABAC，ACDABE.ADAE.(2)解：互相垂直 在RtA
16、DO与RtAEO中，OAOA，ADAE，ADOAEO.DAOEAO，即OA是BAC的平分线又ABAC，OABC.,19(10分)(2011温州)如图所示，在等腰梯形ABCD中，ABCD，点M是AB的中点 求证：ADMBCM.【答案】 证明：如图所示，在等腰梯形ABCD中，ABCD，ADBC，AB.点M是AB的中点，MAMB.ADMBCM(SAS),20(10分)(2011扬州)已知：如图所示，锐角ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OBOC. (1)求证：ABC是等腰三角形； (2)判断点O是否在BAC的角平分线上，并说明理由,【答案】(1)证明：BD、CE是ABC的高，BECCDB90.O
17、BOC，OBCOCB.又BC是公共边，BECCDB(AAS)ABCACB.ABAC，即ABC是等腰三角形 (2)解：点O在BAC的平分线上理由如下：BECCDB，BDCE.OBOC，ODOE.又ODAC，OEAB，点O在BAC的平分线上,21(14分)(2012中考预测题)如图，已知ABC中，ABAC10厘米，BC8厘米，点D为AB的中点(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动,若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理由； 若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等 (2)若点Q 以中的运动速度从点C 出发，点P以原来的运动速度同时从点B出发，都逆时针沿ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC的一条边上相遇？,
