1、 函数与导数 1. 已知函数 32( ) 4 3 6 1 ,f x x t x t x t x R ，其中 tR （ ）当 1t 时，求曲线 ()y f x 在点 (0, (0)f 处的切线方程； （ ）当 0t 时，求 ()fx的单调区间； （）证明：对任意的 ( 0 , ), ( )t f x 在区间 (0,1) 内均存在零点 【解析】 （ 19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分 14 分。 （）解：当 1t 时， 3 2 2( ) 4 3 6 , ( 0 ) 0 , ( ) 1
2、2 6 6f x x x x f f x x x (0) 6.f 所以曲线 ()y f x 在点 (0, (0)f 处的切线方程为 6.yx （）解： 22( ) 1 2 6 6f x x tx t ，令 ( ) 0fx ，解得 .2tx t x 或因为 0t ，以下分两种情况讨论： （ 1）若 0 , ,2tt t x 则 当变化时， ( ), ( )f x f x 的变化情况如下表： x , 2t ,2t t ,t ()fx + - + ()fx 所以， ()fx的单调递增区间是 , , , ; ( )2t t f x 的单调 递减区间是 ,2t t。 （ 2）若 0,2ttt 则，当 x
3、 变化时， ( ), ( )f x f x 的变化情况如下表： x ,t , 2tt ,2t ()fx + - + ()fx 所以， ()fx的单调递增区间是 , , , ; ( )2tt f x 的单调递减区间是 ,.2tt（）证明：由（）可知，当 0t 时， ()fx在 0,2t内的单调 递减，在 ,2t内单调递增，以下分两种情况讨论： （ 1）当 1, 22t t即时， ()fx在（ 0， 1）内单调递减， 2( 0 ) 1 0 , ( 1 ) 6 4 3 6 4 4 2 3 0 .f t f t t 所以对任意 2 , ), ( )t f x 在区间（ 0， 1）内均存在零点。 （ 2
4、）当 0 1 , 0 22t t 即时， ()fx在 0,2t内单调递减，在 ,12t内单调递增，若331 7 7( 0 , 1 , 1 0 .2 4 4t f t t t 2( 1 ) 6 4 3 6 4 3 2 3 0 .f t t t t t 所以 ( ) ,12tfx 在内存在零点。 若 3377(1 , 2 ) , 1 1 0 .2 4 4tt f t t t (0 ) 1 0ft 所以 ( ) 0 ,2tfx 在内存在零点。 所以 ，对任意 (0, 2 ), ( )t f x 在区间（ 0， 1）内均存在零点。 综上，对任意 ( 0 , ), ( )t f x 在区间（ 0， 1）
5、内均存在零点。 2. 已知函数 21()32f x x， ()h x x （ ）设函数 F(x) 18f(x) x2h(x)2，求 F(x)的单调区间与极值； （ ）设 aR ，解关于 x的方程 33l g ( 1 ) 2 l g ( ) 2 l g ( 4 )24f x h a x h x ； （ ）设 *nN ，证明： 1( ) ( ) ( 1 ) ( 2 ) ( ) 6f n h n h h h n 本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力 解：（ ） 2 2 3( ) 1 8 (
6、 ) ( ) 1 2 9 ( 0 )F x f x x h x x x x ， 2( ) 3 1 2F x x 令 ( ) 0Fx，得 2x （ 2x 舍去） 当 (0,2)x 时 ( ) 0Fx ；当 (2, )x 时， ( ) 0Fx ， 故当 0,2)x 时， ()Fx为增函数；当 2, )x 时， ()Fx为减函数 2x 为 ()Fx的极大值点，且 ( 2 ) 8 2 4 9 2 5F （ ）方法一：原方程可化为4 2 233l o g ( 1 ) l o g ( ) l o g ( 4 )24f x h a x h x ， 即为4 2 2 2l o g ( 1 ) l o g l o
7、 g 4 l o g 4axx a x xx ，且 ,1 4,xax当 14a时， 1 xa ，则 14axx x，即 2 6 4 0x x a ， 3 6 4 ( 4 ) 2 0 4 0aa ，此时 6 2 0 4 352 axa ， 1 xa ， 此时方程仅有一解 35xa 当 4a 时， 14x ，由 14axx x，得 2 6 4 0x x a ， 3 6 4 ( 4 ) 2 0 4aa ， 若 45a，则 0 ，方程有两解 35xa ； 若 5a 时，则 0 ，方程有一解 3x ； 若 1a 或 5a ，原方程无解 方法二：原方程可化为4 2 2l o g ( 1 ) l o g (
8、 4 ) l o g ( )x h x h a x ， 即2 2 21 l o g ( 1 ) l o g 4 l o g2 x x a x ，1 0 ,4 0 ,0,( 1 ) ( 4 ) .xxaxx x a x 214,( 3 ) 5 .xxaax 当 14a时，原方程有一解 35xa ； 当 45a时，原方程有二解 35xa ； 当 5a 时，原方程有一解 3x ； 当 1a 或 5a 时，原方程无解 （ ）由已知得 ( 1 ) ( 2 ) ( ) 1 2h h h n n ， 1 4 3 1()() 6 6 6nf n h n n 设数列 na的前 n 项和为nS，且 1()()6n
9、S f n h n（ *nN ） 从而有111aS，当 2 100k 时，1 4 3 4 1 166k k k kka S S k k 又 1 ( 4 3 ) ( 4 1 ) 1 6ka k k k k k 221 ( 4 3 ) ( 4 1 ) ( 1 )6 ( 4 3 ) ( 4 1 ) 1k k k kk k k k 11 06 ( 4 3 ) ( 4 1 ) 1k k k k 即对任意 2k 时，有kak，又因为1 11a ，所以12 12na a a n 则 (1 ) ( 2 ) ( )nS h h h n ，故原不等式成立 3. 设函数 axxxaxf 22 ln)( ， 0a （
10、）求 )(xf 的单调区间； （）求所有实数 a ，使 2)(1 exfe 对 ,1 ex 恒成立 注： e 为自然对数的底数 【解析】 （ 21）本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力。满分 15 分。 （）解：因为 22( ) l n . 0f x a x x a x x 其 中 所以 2 ( ) ( 2 )( ) 2a x a x af x x axx 由于 0a ，所以 ()fx的增区间为 (0, )a ，减区间为 ( , )a （）证明：由题意得， ( 1 ) 1 1 ,f a c a c 即 由（）知 ( ) 1, f x e在
11、内单调递增， 要使 21 ( ) 1 , e f x e x e 对恒成立， 只要2 2 2( 1 ) 1 1 ,()f a ef e a e a e e 解 得 .ae 4. 设21)( axexf x ，其中 a 为正实数 . （ ）当34a时，求 ()fx的极值点； （ ）若 ()fx为 R 上的单调函数，求 a 的取值范围 . 【解析】 （ 18）（本小题满分 13 分）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力 . 解：对 )(xf 求导得 .)1(1)(222axaxaxexf x （ I）当3
12、4a，若 .21,23,0384,0)( 212 xxxxxf 解得则综合 ,可知 所以 ,231x是极小值点 ,212 x是极大值点 . （ II）若 )(xf 为 R 上的单调函数，则 )(xf 在 R 上不变号，结合 与条件 a0，知0122 axax 在 R 上恒成立，因此 ,0)1(444 2 aaaa 由此并结合 0a ，知 .10 a 5. 已知 a， b 为常数，且 a 0，函数 f（ x） =-ax+b+axlnx， f（ e） =2（ e=2 71828 是自然对数的底数）。 （ I）求实数 b 的值； （ II）求函数 f（ x）的单调区间； （ III）当 a=1 时，
13、是否同时存在实数 m 和 M（ m0 得 x1, 由 f(x)0 得 0x1; （ 2）当 0 , ( ) 0 0 1 , ( ) 0 1 .a f x x f x x 时 由 得 由 得 综上，当 0a 时，函数 ()fx的单调递增区间为 (1, ) ， 单调递减区间为（ 0， 1）； 当 0a 时，函数 ()fx的单调 递增区间为（ 0， 1）， x )21,( 21 )23,21( 23 ),23( )(xf + 0 0 + )(xf 极大值 极小值 单调递减区间为 (1, ) 。 （ III）当 a=1 时， ( ) 2 l n , ( ) l n .f x x x x f x x 由
14、（ II）可得，当 x 在区间 1( , )ee内变化时， ( ), ( )f x f x 的变化情况如下表： x 1e 1( ,1)e 1 (1, )e e ()fx - 0 + ()fx 22 e 单调递减 极小值 1 单调递增 2 又 212 2 , ( ) ( , )f x x eee 所 以 函 数的值域为 1， 2。 据经可得，若 1,2mM，则对每一个 , t m M ，直线 y=t 与曲线 1( ) ( , )y f x x ee都有公共点。 并且对每一个 ( , ) ( , )t m M ，直线 yt 与曲线 1( ) ( , )y f x x ee都没有公共点。 综上，当
15、a=1 时，存在最小的实数 m=1，最大的实数 M=2，使得对每一个 , t m M ，直线y=t 与曲线 1( ) ( , )y f x x ee都有公共点。 6. 设函数32( ) 2f x x ax bx a ，2( ) 3 2g x x ，其中xR， a、 b 为常数，已知曲线 ()f与y g x在点（ 2,0）处有相同的切线 l。 （ I） 求 a、 b 的值，并写出切线 l的方程； （ II）若方程( ) ( )f x gx mx有三个互不相同的实根 0、1、2x，其中12xx，且对任意的 ,x x，( ) ( ) ( 1)f x 恒成立，求实数 m 的取值范围。 【解析】 20本
16、题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想，（满分 13 分） 解：（） 2( ) 3 4 , ( ) 2 3 .f x x a x b g x x 由于曲线 ( ) ( )y f x y g x与 在点（ 2， 0）处有相同的切线， 故有 ( 2 ) ( 2 ) 0 , ( 2 ) ( 2 ) 1 .f g f g 由此得 8 8 2 0 , 2 ,1 2 8 1 , 5 .a b a aa b b 解 得所以 2, 5ab ，切线 l 的方程为 20xy （）由（）得 32( ) 4 5 2f x x x x ，所以
17、 32( ) ( ) 3 2 .f x g x x x x 依题意，方程 2( 3 2 ) 0x x x m 有三个互不相同的实数120, ,xx， 故12,xx是方程 2 3 2 0x x m 的两相异的实根。 所以 19 4 ( 2 ) 0 , .4mm 即又对任意的12 , , ( ) ( ) ( 1 )x x x f x g x m x 成立， 特别地，取1xx时，1 1 1( ) ( )f x g x m x m 成 立，得 0.m 由韦达定理，可得1 2 1 2 1 23 0 , 2 0 , 0 .x x x x m x x 故对任意的1 2 2 1 , , 0 , 0 , 0x x x x x x 有 x-x则1 2 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 0 , ( ) ( ) 0f x g x m x x x x x x f x g x m x 又所以函数12( ) ( ) , f x g x m x x x x 在的最大值为 0。 于是当 0m 时，对任意的12 , , ( ) ( ) ( 1 )x x x f x g x m x 恒成立， 综上， m 的取值范围是 1( ,0).4
