1、 -让学习成为一种习惯 数学辅导 （帅） 福福 田田 区区 农农 轩轩 路路 龙龙 溪溪 花花 园园 301-302（ 高高 级级 中中 学学 正正 西西 面面 ） 电电 话话 ： 82930043 13682454326 黄黄 老老 师师 1 曲线和方程 教学目标 1使学生了解曲线的点集与方程的解集之间的关系，从而掌握 “ 曲线的方程 ” 与 “ 方程的曲线 ” 这两个概念 2使学生掌握证明已知曲线 C的方程是 f(x， y)=0的方法和步骤 3通过曲线和方程概念的知识形成过程，培养学生合情推理能力、数学交流能力、探索能力，确立 “ 数形结合 ” 的思想方法，并进一步提高逻辑思维能力 教学重
2、点与难点 ： 对 “ 曲线的方程 ” 、 “ 方程的曲线 ” 定义中两个关系的理解 教学过程 一 知识梳理 1.曲线方程的定义 曲线 C和二元方程 f(x， y)=0 应具备以下两个条件： 若 P(x0， y0)C ，则 f(x0， y0)=0成立； 若 f(x0， y0)=0，则 P(x0， y0)C 定义 ： 一般地，如果曲线 C与方程 0),( yxF 之间有以下两个关系： 曲线 C上的点的坐标都是方程 0),( yxF 的解； 以方程 0),( yxF 的解为坐标的点都是曲线 C上的点 . 此时，把方程 0),( yxF 叫做曲线 C的方程，曲线 C叫做方程 0),( yxF 的曲线
3、. 2.平面解析几何研究的主要问题： （ 1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （ 2）通过方程，研究平面曲线的性质 . 3.求曲线（图形）方程 的 步骤： （ 1）建立适当的坐标系，用有序实数对（ x,y）表示曲线上任意一点 M 的坐标； （ 2）写出适合条件 P 的点 M 的集合 P=M|P（ M） ； （ 3）用坐标表示条件 P（ M），列出方程 f(x,y)=0; （ 4）化方程 f(x,y)=0 为最简形式； （ 5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 . 说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（ 5）可以省略不写，如有特殊 情况，可适当予以说明 .另外
4、，根据情况，也可以省略步骤（ 2），直接列出曲线方程 . 4.用 “ 曲线的方程 ” 和 “ 方程的曲线 ” 的定义来证明已知曲线 C的方程是 f(x， y)=0 证明中分两个步骤： 第一步 ，设 M(x0， y0)是曲线 C上任一点，证明 (x0， y0)是 f(x， y)=0 的解； 第二步 ，设 (x0， y0)是 f(x， y)=0 的解，证明点 M(x0， y0)在曲线 C上 二典型例题 例 1设 A、 B 两点的坐标是（ 1， 1），（ 3， 7），求线段 AB 的垂直平分线的方程 . 解：设 M（ x,y）是线段 AB 的垂直平分线上任意一点（图 7 29），也就是点 M 属于集
5、合 | MBMAMP . 由两点间的距离公式，点 M 所适合条件可表示为： 2222 )7()3()1()1( yxyx 将上式两边平方，整理得： x+2y 7=0 我们证明方程是线段 AB 的垂直平分线的方程 . BAlOyx( x , y )M-让学习成为一种习惯 数学辅导 （帅） 福福 田田 区区 农农 轩轩 路路 龙龙 溪溪 花花 园园 301-302（ 高高 级级 中中 学学 正正 西西 面面 ） 电电 话话 ： 82930043 13682454326 黄黄 老老 师师 2 （ 1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程解； （ 2）设点 M1 的坐标（ x1,y1）
6、是方程的解，即 x+2y1 7=0 x1=7 2y1 点 M1到 A、 B 的距离分别是 ;)136(5 )1()28()1()1( 121212121211 yyyyyxAM ,)136(5 )7()24()7()3(11121212121211BMAMyyyyyxBM 即点 M1在线段 AB 的垂直平分线上 . 由（ 1）、（ 2）可知方程是线段 AB 的垂直平分线的方程 . 变式 设两点的坐标是 A（ -1， 2）、 B（ 3， -4） ，求线段 AB 的垂直平分线的方程 解： (1)易求线段 AB的中点坐标为（ 1， -1），由斜率关系可求得 l的斜率为23,所以直线的方程为0532
7、yx 这说明点的坐标是方程 0532 yx 的解 （ 2）以这个方程的解 为坐标的点都是曲线上的点设点 M(m,n)的坐标是方程 的任意一解， M到 A、B 的距离分别为 MBnnMA )52(1321 2， 综合（ 1）、（ 2）， 是所求直线的方程 例 2证明 到两定点 A、 B的距离是 8，求到两定点距离平方和是 50的动点的轨迹方程。 证明： 1 建立合适的坐标系以 AB 所在的线段为 X轴，中点为原点做 y轴，则 A的坐标为（ -4， 0）；B 的坐标为（ 4， 0） ,设 M(x,y)是圆上任意一点 由题意得： 950)4()4(502222222222yxyxyxBMAM2设 (
8、x0， y0)是方程 x2+y2=9的解，那 么 x02+y02=9 若 M为 (x0， y0)对应的点， 50329232)(2)4()4(20202020202022yxyxyxMBMA这说明点 M在曲线上，即方程的解为坐标的点在曲线上。 由 1、 2可知， x2+y2=9是以坐标原点为圆心，半径等于 3的圆的方程 例 3已知一条曲线在 x 轴的上方，它上面的每一点到点 A（ 0， 2）的距离减去它到 x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程 . 解：如图所示，设点 M（ x,y）是曲线上任意一点， MB x 轴，垂足是 B，那么点 M 属于集合 .2| MBMAMP 由距离公式，点 M
9、适合的条件可表示为： 2)2( 22 yyx 将式移项后再两边平方，得 x2+(y 2)2=(y+2)2,化简得： 281 xy -让学习成为一种习惯 数学辅导 （帅） 福福 田田 区区 农农 轩轩 路路 龙龙 溪溪 花花 园园 301-302（ 高高 级级 中中 学学 正正 西西 面面 ） 电电 话话 ： 82930043 13682454326 黄黄 老老 师师 3 因为曲线在 x 轴的上方，所以 y 0,虽然原点 O 的坐标（ 0， 0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程是 281 xy (x 0) 。 例 4已知定圆0222 xy，动圆 M 和定圆相切，又和 y 轴相切，
10、求动圆圆心 M 的轨迹方程。 解 析：动圆和定圆外切之 和，圆又和 y 轴相切，圆的半径用圆心 M),( yx横坐标 |x|来表示，这样动点M 满足的几何条件已得到，再由解析几何中的公式代换了可得到的轨迹方程。 解：设动圆圆心 M),( yx， 动圆半径为 |x| = R ， 又定圆0222 xyx， 即 1)1( 22 yx圆心（ 11， 0） ， 半径 R = 1， 解 有 | | xR RRMC即：|1)1( 22 xyx 等式两边平方后得：222 |)|1()1( xyx ， 化简得：xxy 2|22 0x时，轨迹方程为 xy 42 ， 0时，轨迹方程为 0小结 ：先求动点满足的几何关
11、系，然后用解析几何中公式进行坐标论，化简方程，找到所有满足条件的点，这就是轨迹法求方程的最基本方法。 例 5已知 O 方程为122 yx，圆外有一定点)0,4(A，求过点 A 且和 O 相切的动圆圆心的轨迹。 解 析：动圆的定圆相切分外切、内切两种情况，若两圆外切，则圆心距等于两圆半径之和，若两圆内切，则圆心距等于两圆半径之差，动点满足的几何条件找到了，轨迹方程可求。 解：设动圆圆心为 P),( yx，定圆圆心为 (0,1)，半径为 1，由题可知动圆半径为| PA。 P 与定 O 作外切 时，有1| PAPO， P 与 O 内切时有1| PAPO综上有1 PAPO， 即 1)4( 2222 y
12、xyx化简得 1154)2(4 22 yx为所求动圆圆心的轨迹方程。 变式 点 P分线段 AB为 1 2，点 A在 y轴上运动，点 B在 x轴上运动，若 AB的长度为 2，求点 P的轨迹方程。 答案 11694922 yx 作业 1. 下列各点在方程 x2+y2=25(y 0)所表示的曲线上的是 （ C ） （ A） (4, 3) （ B） (3 2 , 13 ) （ C） (2 3 , 13 ) （ D） (3, 4) 2. 曲线 2y2+3x+3=0 与曲线 x2+y24x5=0 的公共点的个数是 （ A ） （ A） 4 （ B） 3 （ C） 2 （ D） 1 3. 到直线 y= 3
13、x 的距离与到 x 轴的距离相等的点的轨迹是 .（ D） （ A） y=23x （ B） y=33x （ C） y=23x 或 y=32 3x （ D） y=33x 或 y= 3 x -让学习成为一种习惯 数学辅导 （帅） 福福 田田 区区 农农 轩轩 路路 龙龙 溪溪 花花 园园 301-302（ 高高 级级 中中 学学 正正 西西 面面 ） 电电 话话 ： 82930043 13682454326 黄黄 老老 师师 4 4. AB是等腰三角形 OAB的底边， O是原点， A点的坐标是（ 3， 4），则点 B的轨迹方程是（ C ） A 2522 yx B 2522 yx 除去点（ 3， 4）
14、 C 2522 yx 除去点（ 3， 4），点（ -3， -4） D 2522 yx 除去点（ 3 4），点（ -3 4） 5. 若直线 y=mx+1 与曲线 x2+4y2=1 恰有一个 交点，则 m 的值是 .236. 直线 y=2x 与曲线 y2x2=1 交于 A, B 两点，则 AB 的长是 .31527. 设曲线 y=x2 和 y=ax+5(a R)的交点的横坐标为 , ，则 += ， = .a -5 8. 若两直线 x+y+5a=0与 x-y-a=0的交点在曲线 axy 2 上，则 a=_。 0 或 -1 9. 已知一条曲线在 x 轴上方，它上面的每一个点到点 (0, 2)的距离减去
15、它到 x 轴的距离的差都是 2， 求 这条曲线的方程 。 答案 x2=8y (x0) 10. 在 ABC 中， |BC|=1, tanBtanC=3cotA+1 且 cotA0，且点 A 的轨迹方程。 2 33 ( 0 ) .4y x y 11. 已知点 )0,3(A 、 )0,3(B ，动点 M与 A， B的连线所成的角 AMB=。 （ 1） 若 =60，求动点 M的轨迹； （ 2）若 =90，求动点 M的轨迹。 答案 （ 1） )0(03222 yyyx ，或 )0(03222 yyyx （ 2） )0(322 yx 12. 过点 P(2,4)作互相垂直的直线 l1,l2，若 l1交 x轴
16、于 A， l2交 y轴于 B，求线段 AB 中点 M的轨迹方程 . 解 ：分析一：设 M（ x,y)为所求轨迹上任意一点，利用 l1 l2，由 k1 k2=-1求解 . 解法一：设 M(x,y)为所求轨迹上任一点， M为 AB中点， A（ 2x,0),B(0,2y), l1 l2 且 l1,l2过点 P（ 2， 4）， PA PB kPA kPB=-1， kPA= x22 4 (x 1)， kPB= 224 y ， x22 4 224 y =-1 即： x+2y-5=0(x 1) 当 x=1时， A（ 2， 0）、 B（ 0， 4） ,此时 AB中点 M的坐标为（ 1， 2），它也满足方程 x+2y-5=0. 所求点 M的轨迹方程为 x+2y-5=0. 分析二：连结 PM，由 l1 l2， APB为直角三角形 , PM =21 AB 解法二：连结 PM.设 M（ x,y),则 A(2x,0),B(0,2y) l1 l2， PAB为直角三角形 PM =21 AB ， 即 2222 4421)4()2( yxyx 化简： x+2y-5=0所求点 M的轨迹方程为 x+2y-5=0.
