1、第2讲 模糊控制原理,第一部分 模糊控制,第一节 模糊控制（推理）系统的基本结构,1.1 模糊控制系统的组成,模糊控制器,1.2 模糊控制器（推理）的结构,1.2 模糊控制器的结构,模糊化,模糊化的作用是将输入的精确量转换成模糊量。具体过程为：,尺度变换，将输入变量由基本论域变换到各自的论域范围。变量作为精确量时，其实际变化范围称为基本论域；作为模糊语言变量时，变量范围称为模糊集论域。,2）模糊处理,1）尺度变换,将变换后的输入量进行模糊化，使精确的输入量变成模糊量，并用相应的模糊集来表示。,知识库,1.2 模糊控制器的结构,数据库主要包括各语言变量的隶属函数，尺度变换因子及模糊空间的分级数等
2、。,规则库包括了用模糊语言变量表示的一系列控制规则。它们反映了控制专家的经验和知识。,1.2 模糊控制器的结构,模糊推理,模糊推理是模糊控制器的核心，它具有模拟人的基于模糊概念的推理能力。,清晰化,作用：将模糊推理得到的模糊控制量变换为实际用于控制的清晰量。包括：,1) 将模糊量经清晰化变换成论域范围的清晰量。 2) 将清晰量经尺度变换变化成实际的控制量。,1.3 模糊控制器的维数,模糊控制器输入变量的个数称为模糊控制器的维数。对于单输入单输出的控制系统，一般有以下三种情况：,一维模糊控制器一个输入：误差；输出为控制量或控制量的变化。二维模糊控制二个输入：误差及误差的变化。三维模糊控制器三个输
3、入为输入：误差、误差的变化、误差变化的速率。,第二节 模糊控制系统的基本原理,2.1 模糊化运算（Fuzzification）,2.2 清晰化计算 （Defuzzification）,2.3 数据库（Data base）,2.4 模糊推理 （Fuzzy Inference）,2.4 规则库（Rule base）,2.1 模糊化运算（Fuzzification）,模糊化运算是将输入空间的观测量映射为输入论域上的模糊集合。首先需要对输入变量进行尺度变换，将其变化到相应的论域范围，然后将其模糊化，得到相应的模糊集合。,论域变换,若实际的输入量为x0*，其变化范围（基本论域）为xmin*，xmax*，
4、要求的论域范围为xmin，xmax，采用线性变换，则,若论域是离散的，则需要将连续的论域离散化或量化。,2.1 模糊化运算（Fuzzification）,比例因子,模糊化,1）单点模糊集合,若输入量数据x0是准确的，则通常将其模糊化为单点模糊集合。设该集合用A表示，则有,2）三角形模糊集合,若输入量数据存在随机测量噪声，则此时的模糊化运算相当于将随机量变换为模糊量，对于这种情况，可以取模糊量的隶属度函数为等于三角形。三角形的顶点对应于该随机数的均值，底边的长度等于2倍的随机数据的标准差。另外可以取正态分布的函数。,2.2 清晰化计算 Defuzzification,1解模糊,模糊推理结果为输出
5、论域上的一个模糊集，通过某种解模糊算法，可得到论域上的精确值。,（1）平均最大隶属度法（mom）mean value of maximum,例如：已知输出量z的模糊集为,根据mom法，得,取模糊集中具有最大隶属度的所有点平均值作为去模糊化的结果。,2.2 清晰化计算 Defuzzification,1解模糊,（2）最大隶属度取最小值法（som）smallest (absolute) value of maximum,（3）最大隶属度取最大值法（lom）largest (absolute) value of maximum,（4）面积平分法（bisector）bisector of area,1
6、解模糊,（5）加权平均法（重心法 centroid） centroid of area,对于论域为离散的情况，有,2.2 清晰化计算Defuzzification,2.2 清晰化计算Defuzzification,2论域反变换,论域上的精确量还需经过尺度变换变为实际的控制量。,若z0的论域范围为zmin，zmax，实际的控制量的变化范围为umin，umax，采用线性变换，则,式中，k为比例因子。,2.3 数据库data base,存储着有关模糊化、模糊推理、解模糊的一切知识，如模糊化中论域变换方法、输入变量隶属函数的定义、模糊推理算法、解模糊算法、输出变量各模糊集的隶属函数定义等。,输入输出空
7、间的模糊分割,模糊控制规则中，前提的语言变量构成模糊输入空间，结论的语言变量构成模糊输出空间。每个语言变量的取值为一组模糊语言名称，每个模糊语言名称对应一个模糊集合。对于每个语言变量，其取值的模糊集合具有相同的论域。,模糊分割是要确定对于每个语言变量取值的模糊语言（模糊集）名称和个数，并定义其隶属函数。,2.3 数据库data base,输入输出空间的模糊分割,1. 模糊控制系统常用的模糊语言（模糊集）,正大（PB或PL），正中（PM），正小（PS），正零（PO或PZ），零（O或Z），负零（NO 或 NZ），负小（NS），负中（NM），负大（NB或NL）。,其中P（Positive）表示正，N
8、（ Negative）表示负，B（Big）表示大，M （Middle）表示中，S（Small）表示小，L（large）表示大，Z（Zero）表示0。,2.3 数据库data base,模糊分割的个数决定了模糊控制精细化的程度。模糊分割的个数也决定了最大可能的模糊规则的个数。如对于两个输入单输出的模糊关系，若两输入x和y的模糊分割数分别为3和7，则最大可能的规则数为21。模糊分割数的确定主要靠经验和试凑模糊分割数越多，控制规则数越多，控制越复杂；模糊分割数太小，将导致控制太粗略，难以对控制性能进行精心的调整。,2. 模糊分割的个数,2.3 数据库data base,隶属函数的确定,确定同一模糊变
9、量模糊子集隶属函数的几个原则：,论域中每个点应至少属于一个隶属函数的区域，并应属于不超过两个隶属函数的区域。对于同一个输入没有两个隶属函数会同时有最大隶属度。当两个隶属函数重叠时，重合部分的任何点的隶属函数的和应该小于等于1。,2.3 数据库data base,隶属函数的确定,“对称”：正负两边的图像对称； “均匀分布”：每个三角形的中心点在论域上均匀分布； “全交叠”：每个三角形的底边端点恰好是相邻两个三角形的中心点。,2.4 规则库 rule base,模糊控制规则库由一系列的“IF-THEN”型模糊条件语句构成。,1模糊控制规则的建立,基于专家经验和控制工程知识 基于操作人员的实际控制过
10、程 基于过程的模糊模型（TS） 基于学习（ANFIS）,2模糊控制规则的性能要求,完备性对于任意的输入，模糊控制器均应给出合适的控制输出，这个性质称为完备性。模糊规则的完备性是保证系统能够被控制的必要条件之一，它对于模糊规则库的要求是：对于任意的输入应确保它至少有一个可使用的规则，且规则的适用程度应大于某个数，如0.5。,2模糊控制规则的性能要求,模糊控制规则数 总的原则是：在满足完备性的条件下，尽量取较少的规则数，以简化模糊控制器的设计和实现。 一致性对于一组模糊控制规则，不允许出现下面的情况：如果给定一个输入，结果产生两组不同的、甚至是矛盾的输出。,3模糊控制规则的建立举例,以简单的单输入
11、、单输出水位控制系统为例来说明。采用模糊控制器控制水箱的水位。根据出水阀的用水情况，注水阀自动调整开度大小，使水箱的水位保持在一定高度h。注水阀阀门开度越大，注水速度越快，水箱水位上升。阀门开度由控制信号的大小来决定。,3模糊控制规则的建立举例,若水位高于h0，则控制阀应开小一点，且高得多时，控制阀关得多。 若水位高于h0，则控制阀应开小一点，且高得少时，控制阀关得少。 若水位在h0附近，则控制阀开度基本不变。 若水位低于h0，则控制阀开度要增加，且低得多时，控制阀开得多。 若水位低于h0，则控制阀开度要增加，且低得少时，控制阀开得少。,根据人工操作经验，控制规则可以用语言描述如下：,根据操作
12、人员手动控制经验，模糊控制规则可归纳如下。这里u为控制信号的增量。,若e负大（NB），则u负大（NB）。若e负小（NS），则u负小（NS）。若e为零（ZO），则u为零（ZO）。若e正小（PS），则u正小（PS）。若e正大（PB），则u正大（PB）。,4建立模糊控制规则的基本思路,被控对象为正作用过程，被控量随控制量的增大而增大；被控对象为反作用过程，被控量随控制量的增大而减小。,首先，考虑误差E（给定与实际值之差）为正的情况。, 误差E为正大当误差变化EC为正时，这时误差有增大的趋势，为尽快消除已有的正大误差并抑制误差变大，控制量的变化取负大；（反作用过程）,4建立模糊控制规则的基本思路, 误
13、差E为正大当误差变化为负时，系统本身已有减少误差的趋势，所以为了尽快消除误差且又不超调，应取较小的控制量。若误差变化为负小时，控制量的变化取负中；若误差变化负大或负中，控制量不宜增加，否则造成超调会产生负误差，这时控制量的变化取为零等级。, 误差为正中控制量的变化应尽快消除误差，基于这种原则，控制量的变化取为同误差为正大时相同。, 误差为正小系统接近稳态，若误差变化为正时，选取控制量变化为负中，以抑制误差向正方向变化；若误差变化为负时，系统本身有消除正小误差的趋势，选取控制量变化为正小即可。,其次，误差为负与误差为正时类同，相应的符号都要变化。,4建立模糊控制规则的基本思路,总之，取控制量变化
14、的原则是：当误差较大或大时，选择控制量以尽快消除误差为主；而当误差较小时，选择控制量要注意防止超调，以保证系统的稳定性为主要出发点。,3.2.5 模糊推理 Fuzzy Inference,给定规则集,规则1： 若 x为A1 and y为B1，则 z为C1 规则2： 若 x为A2 and y为B2，则 z为C2规则n： 若 x为An and y为Bn，则 z为Cn,其中，xX，y Y，zZ，语言变量x的模糊集为A1An，语言变量y的模糊集为B1Bn，语言变量z的模糊集为C1Cn。,无论连续还是离散论域，模糊推理都有下述三个规律 。,模糊推理规律,模糊推理定理,定理1（各规则分别推理）,模糊推理定
15、理,定理2（各条件分别推理）,模糊推理定理,定理3（输入为模糊单点时的推理方法）,输入为x=x0，y=y0,i称为规则i的激活度。,x0，y0看作模糊单点，则有,证明：,重点,由定理1知,输入 x=x0，y=y0时，上式可化简为,因此,两条规则时推理过程图示,设计模糊控制器，即建立一个模糊推理系统，根据输入的精确量，得到精确的输出控制量。包括：,确定基本论域和论域（比例因子） 定义模糊子集和隶属函数 设计模糊控制规则 选择模糊推理方法（max-min） 确定模糊化（单点）、清晰化的方法（重心法）,想法？,第三节 离散论域的模糊控制系统,模糊控制系统组成,当论域为离散时，经过量化后的输入量的个数
16、是有限的。因此，可以针对输入情况的不同组合，离线计算出相应的控制量，从而组成一张控制表，实际控制时只要直接查表即可，在线的运算量是很少的。这种离线计算、在线查表的模糊控制方法比较容易满足实时控制的要求。,D-FC 系统结构,以某电加热炉温度控制系统为例来说明D-FC的设计过程。该系统通过控制可控硅导通角来控制电加热炉的电压，从而控制炉温。,还原炉温度模糊控制系统,r为给定温度，y为被控对象的实测温度，采用二维模糊控制器，输入为误差e=r-y和误差的变化ec=ek-ek-1，输出uc为可控硅导通角的变化量。,D-FC的设计过程,1确定输入输出变量的基本论域、论域,D-FC的设计过程,e、ec、u
17、的实际变化范围分别为-30，30，-24，24，-36，36。 E、EC、UC的离散论域均为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6 则比例因子k1= 6/ 30， k2 = 6/ 24， k3 =36/ 6,2定义模糊子集及隶属函数,对E定义八个模糊集E1，E8，分别表示PL（正大），PM（正中），PS（正小），PZ（正零），NZ（负零），NS（负小），NM（负中），NL（负大）。对EC定义七个模糊集EC1，EC8，分别表示PL，PM，PS， Z，NS，NM，NL。对UC定义七个模糊集UC1，UC8，分别表示PL，PM，PS， Z，NS，NM，NL。,D-FC的设计过程
18、,Ei的隶属函数表,D-FC的设计过程,ECi的隶属函数表,D-FC的设计过程,UCi的隶属函数表,3建立模糊控制规则表,IF E=PS and EC=PL THEN U=NL,当温度低于期望值但低得不多，而温度向更低的方向变化，且变化较快时，为抑制温度的变化趋势，使温度上升，应大大增加加热炉的控制电压，通过大大减小可控硅装置的导通角实现。（被控对象为反作用过程）,4求模糊控制查询表,由于论域是离散的，模糊控制规则集可以表示为一个模糊关系阵R：,可见，R是（1413）13的大矩阵。,对E和EC设不同值，如E=-6，EC=-6为例，采用单点模糊化，则E=1 0 0 0 （114），EC=1 0
19、0 0 （113），可求出输出模糊向量UC：,4求模糊控制查询表,用同样的方法，对每对输入，都可以求出相应的输出，将其整理得模糊查询表。,这里 是一个1413的矩阵，将其按行排成矢量，再去与R合成。由于此时只有第一个元素为1，其它元素为0，UC即是R的第一行。UC中隶属度最大对应的uc即为此时的输出。,4求模糊控制查询表,第四节 连续论域的模糊控制系统,对于连续论域的模糊控制器来说，输入输出信号的基本论域和模糊集论域都是连续的，是实数域上的一个闭区间，其中有无穷多个元素，此时模糊集合无法用向量表示，模糊规则集无法用模糊关系矩阵表示，模糊推理也无法用矩阵运算表示，那么模糊控制是怎样实现的呢？,本
20、节以倒立摆模糊控制系统为例来说明C-FC控制器的设计过程。倒立摆是一个非线性、不稳定的系统，经常作为研究比较不同控制方法的典型例子。,倒立摆示意图,为杆与垂线的夹角（），f为作用力（N），杆的质量mp=0.1kg，杆和小车的总质量为m=1.1kg，半杆长l=0.5m，重量加速度g=9.8m/s2，采样周期T=0.02s。,倒立摆 数学模型,倒立摆描述,控制任务：在初始状态或有干扰的情况下，能够使倒立摆保持直立 。,倒立摆模糊控制系统框图,采用二维模糊控制器，输入为和 ，输出为f。,1确定输入输出变量的基本论域、论域,C-FC的设计过程,注意：可以不作论域变换，即模糊集的论域与变量的基本论域相同
21、。,、 、f的基本论域（实际范围）分别为-15 ，15 ，-60 /s，60 /s，-10N，10N；模糊集论域均为-1，1，得比例因子为：,C-FC的设计过程,2. 定义模糊集合及其隶属函数,对输入输出变量x、y、z各定义五个模糊集：NL，NS，Z，PS，PL，三个变量的隶属函数均是对称、均匀分布、全交迭的三角形，如图。,C-FC的设计过程,3. 设计模糊控制规则集,IF x=Z and y=NL， THEN z=NL,如果摆角为零，但速度为负大，则小车驱动力为负大。,C-FC的设计过程,4. 模糊推理方法,采用单点模糊化，最大-最小合成，min蕴含运算，max求and 运算，最大综合法作模
22、糊推理。,各条规则的推理结果Ci为,综合推理结果C为,C-FC的设计过程,5. 解模糊,采用重心法,该方法计算量比较大，但模糊控制器的性能比较好。,对于C-FC系统，输入输出变量的论域变换、模糊化、模糊推理、解模糊等工作都是在线进行的，计算量比D-FC大，但是除COG外，其它都是取大、取小或四则运算，运算还是比较快的。,第五节 模糊控制系统Matlab 仿真,Matlab仿真实现的三种方法： 1采用Matlab语言根据具体的控制算法编程进行仿真。复杂，但这种方法最灵活，可以根据自己提出的新算法任意编程。 2利用Matlab提供的工具箱函数直接进行仿真。简单，不需要了解算法的本质。 3根据Sim
23、ulink 动态仿真环境进行仿真。直观，仿真时观察仿真结果。,5.1 模糊推理系统的构成,一个典型的模糊推理系统主要由如下几个部分构成：,输入与输出语言变量，包括语言值及隶属函数； 模糊规则； 输入量的模糊化方法和输出量的去模糊方法； 模糊推理算法。,在Matlab模糊逻辑工具箱中构造的模糊推理系统对应一个数据文件，其后缀为fis（fuzzy inference system）。,5.2 利用模糊逻辑工具箱函数建立模糊推理系统,5.3 模糊推理系统的图形用户界面,在命令窗口中键入fuzzy,5.4 基于模糊工具箱函数的模糊控制系统仿真,见基于Matlab的系统分析与设计模糊控制 P73 页,H
24、elp- Contents-Fuzzy Logic Toolbox-Functions by Category Contents-Fuzzy Logic Toolbox-Tutorial-Working from ,5.5 基于Simulink的模糊控制系统仿真,1C-FC系统仿真,例：Sltankrule 和sltank 先在Matlab中建立模糊推理系统，在Simulink中，用Fuzzy Logic Controller 或 Fuzzy Logic Controller with Ruleviewer模块调用该推理系统，与比例因子结合，构成模糊控制器。,2. D-FC 系统仿真 在Mat
25、lab中建立模糊推理系统，计算出查询表，在Simulink中，用二维表格Look-Up Table（2-D）存放查询表。,思考与讨论,离开Matlab环境，采用C、Fortran、汇编等语言，如何自己编程实现C-FC和D-FC控制？,第六节 模糊控制系统设计综述,6.1 D-FC和C-FC 比较,输入输出变量的实际论域一般是连续论域，而这些变量在模糊控制器内部的论域可以是离散的也可以是连续的，因此模糊控制器分为D-FC和C-FC两大类。下面从应用的角度比较一下二者的优缺点。,1控制精度模糊控制本身消除系统稳态误差的性能比较差，难以达到较高的控制精度。尤其是在离散有限论域设计时，更为明显。,第六
26、节 模糊控制系统设计综述,6.1 D-FC和C-FC 比较,1控制精度,D-FC的控制精度, 量化误差引起稳态误差, 控制作用离散化的影响,D-FC的控制精度, 量化误差引起稳态误差,要把误差输入信号转化为误差离散论域上的点，即,INT为四舍五入取整运算。可见，当E=0时，仍有,也就是说，由量化引起的稳态误差 ，模糊控制器无法消除。,比例因子增大，量化误差减小，控制精度提高，但模糊关系矩阵R中的元素将增加，不仅占内存多，而且给设计工作带来很多困难。, 控制作用离散化的影响,采用控制量的增量u作为控制器的输出，相当于引入了积分作用，有利于消除稳态误差。然而，u是解模糊后的离散点，不连续，因而控制
27、作用不细腻，不利用消除稳态误差。,例如：到某一时刻，误差为0，维持对象工作在这一点的控制作用应该是某一稳态值un，那么，希望模糊控制器的控制输出此时等于un，即希望,由于ui不连续，上式一般不能精确地成立，这就造成控制对象的状态还会变化，误差不能自此就维持为0。,D-FC的控制精度, 控制作用离散化的影响,可见，改为增量式输出，相当于在比例因子k3后加了一个积分器。但由于u只能分档改变，增量式输出也只能减小静差，而不能保证消除静差。,另外，D-FC 类似于多值继电器特性，当控制对象不含有积分因子时，不仅存在静态误差，而且容易产生静态工作点附近的极限环振荡。,3执行时间D-FC很短，C-FC较短
28、。,C-FC没有量化误差及由其引起的稳态误差问题。当控制对象不含有积分因子时，位置式输出的C-FC有静差，增量式输出的C-FC无静差。,C-FC的控制精度,4设计调试D-FC计算量大，调试很困难；C-FC的设计不需要计算，调试比较容易。,D-FC和C-FC 比较,5多变量控制D-FC的关系矩阵很大，其元素数随控制器输入/输出变量数指数增加，很难用于多变量控制。C-FC可用于多变量的控制。,综上所述，D-FC只适用于简单的、要求不高、不需要修改的场合，例如家电产品。而C-FC除能用于以上场合外，也能用于多变量、高精度、需要修改的场合。,3.6.2 模糊控制器的设计因素,1选择合适的模糊控制类型
29、2确定输入输出变量的基本论域、论域 3确定各变量的模糊子集数及各模糊集的隶属函数 4设计模糊控制规则集 5选择模糊推理方法 6选择解模糊方法,6.3 量化因子及比例因子对系统动静特性的影响,由量化误差 |e| 0.5/ ke可知，ke增加，由量化误差引起的稳态偏差将减小；但是，ke取的过大，将使系统产生较大的超调，调节时间增大，甚至产生震荡，使系统不能稳定工作。kec选择较大时，超调量减小，但系统的响应速度变慢。kec对超调的遏制作用十分明显。,6.3 量化因子及比例因子对系统动静特性的影响,ku相当于常规系统中的比例增益，它主要影响控制系统的动态性能。一般ku加大，上升速度就快。但ku过大，
30、将产生较大的超调，严重时会影响稳态工作，和一般控制系统不同的是，ku一般不影响系统的稳态误差。,6.4 模糊控制的特点,它是一种非线性控制方法，工作范围宽，适用范围广，特别适合于非线性系统的控制。 它不依赖于对象的数学模型，对无法建立或很难建模的复杂对象，也能利用人的经验知识来设计模糊控制器完成控制任务。 它具有内在的并行处理机制，表现出极强的鲁棒性，对被控对象的特性变化不敏感，模糊控制器的设计参数容易选择调整。 算法简单，执行快，容易实现。 不需要很多的控制理论知识，容易普及推广。,第七节 带调整因子的模糊控制器,设模糊控制器以偏差e及偏差的变化ec为输入，输出为控制量u。设偏差的基本论域为
31、-xe，xe，偏差变化的基本论域为-xec，xec，控制量的基本论域为-umax，umax。偏差、偏差的变化及控制量的模糊子集的论域均取为：,E=EC=U=-m, -m+1,-1, 0, 1,m-1, m,其中，算子表示取一个与x同号且最接近x的整数 。,式中，INT（x）表示对x取整，E、EC和U为偏差、偏差变化率和控制量的量化值。a为调整因子，通过调整a值的大小，可以改变对误差和误差变化的不同加权程度。不同的a对应不同的控制规则。,带调整因子的模糊控制规则可用一个解析表达式来描述：,带调整因子的模糊控制规则表达式,模糊控制器的输入变量从基本论域转换到相应的模糊子集的论域的量化过程为：,式中
32、， sign()为符号函数，ke、kec为量化因子。,输入变量的量化,输出变量的论域变换,模糊控制器的输出变量（控制量）从其模糊子集的论域到基本论域的变换为：,其中，ku为比例因子。,带调整因子的模糊控制器的结构框图,第八节 T-S模糊模型简介,T-S模型是日本学者高木(Takagi)和衫野(Sugeno)于1985年提出的一种动态系统的模糊模型。一般的T-S模糊模型规则具有以下形式：,式中，Fij是模糊子集；z=z1, z2, zl为前提向量，x=x1, x 2, xm为状态向量；yi为系统根据第i条规则所得到的输出；pi=pi1, pi2, pim为常数增益向量；i=1,2, r；r为规则
33、数。,采用单点模糊化、乘积推理和中心平均反模糊化方法，得整个系统的输出,，,式中,其中，Fij(zj)为模糊集Fij的隶属函数 。,yi=常数是T-S模型的一种特殊情况。,T-S模型的特点: 规则的前提采用模糊量形式，结论则采用精确量的线性方程的形式。T-S模型的基本思想是：将整个输入空间划分成若干模糊子空间，在每个子空间中建立局部线性模型，然后把各个局部线性模型用模糊隶属函数连接起来，由此得到系统的模糊模型。T-S模型可以看作是非线性控制理论中分段线性化思想的扩展，每个模糊子空间中的局部模型是线性模型，方便了线性系统理论的应用。T-S模型既可以表示控制对象的模型，也可以表示控制器的模型。,查
34、阅资料，写一篇模糊推理在本研究领域的应用论文。必须为应用，并要有仿真。要求：格式工整，调理清晰，语句通顺，图表清楚，具有自己的见解或理解。考察方式 ：本次作业作为本课程成绩的一部分,并抽取部分论文，在全班作报告，互相讨论。,模糊控制部分作业,Thats all for today！ Thank you！,1模糊矩阵及其合成运算（数学定义）,模糊矩阵S为模糊矩阵Q(nm)和R(ml) 的合成，表示为,模糊矩阵是二维论域上的模糊集。其元素介于0和1之间。,S为nl，第i行第k列的元素sik为,模糊矩阵的合成运算可以与普通矩阵的乘积运算相类比。对应的元素之间的“乘”与“”对应，乘积直接的 “加”与“
35、”对应。,重点回顾,2. 模糊集合的直积（数学定义）,两个模糊集A和B，其论域分别为X和Y，A和B的直积的隶属函数为,或者,当X和Y为离散论域时，A与B的直积可通过模糊矩阵合成运算得到,R1是XY上的模糊集，R2是YZ上的模糊集，R1和R2的合成表示为模糊集R ，其隶属函数为,3. 模糊集的合成运算（数学定义）,当X、Y、Z为离散论域时， R1和R2为模糊矩阵， R1和R2的合成为模糊矩阵的合成,特殊地，当R1是XY上的模糊集，R2是XYZ上的模糊集时,4. 模糊蕴含（implication）关系,“如果x是A and y 是B，则z是C ”,离散论域时采用模糊矩阵合成计算直积。,5. 模糊推理,模糊关系R是XYZ上的模糊集,输入采用单点模糊集模糊化时,若x=x0，y=y0,连续论域时的推理方法,离散论域时的推理方法,根据R计算模糊控制查询表,
