1、8.容差分析 8.1引言 8.2器件参数的统计分布规律 8.3多个参数变化对电路性能的影响 8.4最坏情况分析 8.5蒙特卡罗分析,引言任何电子产品在制造和应用过程中都不可避免地受到随机扰动因素的影响，因此实际电路中的元器件参数和其标称值之间总是存在着随机误差，也就是说电路中的元器件参数的数值是其标称值容差范围内的一个随机数值。例如，一个标称值为47，容差范围为10%的电阻器，其阻值可以是42.3到51.7范围内的任何数。在电路设计过程中，一般采用元器件参数的标称值进行电路仿真，计算电路的性能。由此计算出的电路与实际生产制造出的电路必然存在差别，而且随着环境温度的变化和使用时间的增加，这种差别
2、还可能进一步增大。在严重的情况下，电路性能的偏差可能达到影响电路正常使用的程度。因此，电子产品的设计必须考虑元器件参数容差的影响。,通常，容差问题包括容差设计和容差分析两部分内容。容差设计的任务是设计电路的标称值及分配电路中元器件参数的容差，使电路性能的偏差最小；或者在保证电路性能满足指标要求的条件下允许元器件参数的容差范围最大，所以容差设计问题也称为电路参数的容差分配设计。而且，元器件参数的容差不仅关系到电路的性能指标，也与电路的经济成本直接相关。一般来说，元器件的精度越高其误差范围越小，价格也就越高。我们希望在电路性能满足要求，价格尽可能低的情况下，实现电路参数的最佳设计。容差分析是在给定
3、电路参数容差范围的条件下，计算器件参数变化对电路性能的影响。我们在这一章主要讨论容差分析问题。,对电路进行容差分析有两类方法。一类是以灵敏度分析为基础的方法。灵敏度分析只是解决单个元器件参数变化对电路性能的影响。例如我们在这章介绍的最坏情况分析。第二类方法是统计方法。在很多情况下，我们并不可能确切知道每个器件参数实际偏离标称值的量，只知道它们的可能偏离范围和各个参数的随机分布规律。可以利用概率统计的方法，通过已知的器件参数的随机分布规律去计算电路特性的分布规律。蒙特卡罗分析就是一种统计抽样方法。这种方法在器件参数容差范围内对参数进行随机抽样，对大量的抽样值做电路仿真，计算出电路性能的统计特性和
4、偏差范围。,最后说明一点：估计电路的合格率及合格率的梯度也属于容差分析的范畴，这个问题放到下一章电路优化问题中去讨论。在详细讨论容差分析问题之前，首先对器件参数的统计分布规律的特性作一简单的介绍。,返回,8.2.1随机变量及其描述方法假定电路中某一个电阻的标称值为100，容差为5%。我们对于总数N=1000的这种电阻逐个地进行测量，每个电阻的阻值可能是95至105之间的任何值。将95至105的区间分隔成为1的10个子区间，记录阻值落入每一个子区间的电阻个数，并将测量结果列于表8.2.1中。,表8.2.1数据所反映的电阻的统计分布也可以画成图8.2.1(a)所示的直方图，图中横坐标是划分10个子
5、区间的电阻值，纵坐标为测得的阻值落入第i个子区间的电阻个数Ni。图8.2.1(b)表示这1000个电阻的概率密度分布，它与图8.2.1(a)相似，只是将纵坐标的量纲换成相对频率ni=Ni/N。对这种通过抽样测量估计其统计分布规律的离散随机变量，用直方图表示 其统计分布规律是最简单也是最直观的一种方法。,离散随机变量的概率描述了电阻值的分布规律，其对应关系如表8.2.2所示。抽样点数越多，区间划分越细，描述越准确。,概率分布函数和概率密度函数都可以完备描述随机变量，也就是说，知道了电路中器件参数的分布函数或密度函数，就可以知道完备描述器件参数的统计分布特征，从而对电路进行容差分析。,8.2.2随
6、机变量的数字特征虽然分布函数能够完整的描述随机变量的统计特性，但在实际问题中求随机变量的分布函数绝非易事，在许多情况下只需知道随机变量的某些特征就足够了。随机变量常用的数字特征是：数学期望、方差和矩。,8.2.3几种常用器件参数的统计分布1.正态分布最常见的器件参数的统计分布是正态分布，也成高斯分布。各种电阻器、电容器以及晶体管的参数通常都服从正态分布。另外，根据大数定理，一定数量的器件组成的电路，不论器件参数的分布规律，电路的响应也近似正态分布。因此，应对正态分布的随机变量的特性比较熟悉。,2.均匀分布均匀分布是一种非常有用的统计分布，许多其它分布的随机变量都可以由均匀分布通过变换而得到。电
7、路中有些器件参数的分布在特定情况下也可以认为是均匀分布的。,3.经参数筛选的正态分布由于某些原因，器件在出厂以前可能会经过筛选，比如将参数最接近表称值得器件选出来作为高档产品，或将参数容差偏离标称值远的器件舍去不用。图8.2.4(a)和(b)分别表示了上述两种分布。这些分布整体上还是正态分布，只是经过了筛选舍去了某些部分。,返回,8.3多个器件参数变化对电路性能的影响容差分析是估算所有器件参数偏离其标称值的情况下电路性能的变化。解决这个问题的最简单的方法是先对电路性能做线性近似，然后利用灵敏度分析的结果估算电路性能的偏移量。,返回,8.4最坏情况分析最坏情况是指，电路中器件参数在其容差范围内取
8、某种组合时，所引用电路性能的最大偏差。在已知电路器件参数的容差而不知道其统计分布规律的条件下，可以通过最坏情况分析估算出电路性能的这种最坏偏差。,尽管如此，理论上可以证明，如果电路性能函数是其器件参数的拟凸（凹）函数，性能函数的最坏情况一定出现在容差域的边界点。如果电路的性能函数关于其器件参数连续，都可以由拟凸（凹）函数很好的接近。所以器件参数的容差不大，采用本节给出的最坏情况分析方法进行最坏情况分析，可以得出相当精确的结果。在实际电路中，全部器件参数取最坏情况的可能性很小，所以在最坏情况下，电路性能仍能满足设计要求，则电路设计方案应该是很成功的方案，同时也是很保守的方案，对大批量生产的电子产
9、品不一定是最经济有效的设计方案，只能作为参考。但对用于航天、反应堆等一些风险较大的设备中的电路，通常要求零失效率， 其成本往往不是第一位考虑的因素，所以可能采取最坏情况设计的方案。,返回,8.5 蒙特卡罗分析 8.5.1随机数的产生 8.5.2随机变量的抽样 8.5.3蒙特卡罗法在电路仿真中的应用,返回,蒙特卡罗方法是一种统计模拟方法。在电路CAD领域中，如果已知电路所有元器件参数的统计分布规律，根据这种分布规律随机地多次抽取元器件参数，并对随机抽取的电路进行计算机模拟，就可以估计出电路性能的统计分布规律。蒙特卡罗方法的的流程如图8.5.1所示。,应用蒙特卡罗方法求解实际电路问题的过程，一般有
10、如下几方面内容：(1)给出电路的拓扑结构。元器件参数以及元器件参数的统计分布规律，例如元器件参数的中心值和方差。(2)产生均匀分布的伪随机数抽样序列(3)由均匀分布的伪随机数抽样序列，建立电路元器件参数所指定分布的随机抽样序列(4)用电路仿真工具对N组随机抽样的电路元器件参数所构成的电路依次进行模拟(5)对模拟结果进行统计分析，计算出电路性能的统计规律：电路性能的中心值、方差以及电路的合格率等等。,返回,8.5.1随机数的产生在计算机上实现蒙特卡罗分析，首先要产生电路元器件参数的随机抽样值，即在给定元器件参数的统计分布规律的条件下，在计算机上产生符合其分布规律的抽样值，这个过程称之为随机变量的
11、模拟。最简单、最基本、最重要的随机变量是在0,1上均匀分布的随机变量。几乎所有其他分布的随机变量都可以由一个或多个均匀分布的随机变量变换得到。因此如何产生均匀分布的随机变量的抽样值，是在计算机上实现蒙特卡罗分析的基础。,在电路的蒙特卡罗分析中，一般电路的元器件参数的数目较多，蒙特卡罗分析的抽样点数也较大，因此要求随机数发生器的周期足够长，而且随机性要好，否则就会影响蒙特卡罗分析的精度。对于不同的元器件参数，要得到不同的伪随机数序列，要依靠设定初值来实现。在使用所产生的伪随机数前，必须对他们进行统计校验，包括参数检验、均匀性检验、独立性检验和组合规律性检验，以确定这些随机数是否符合均匀性、独立性
12、、周期长等均匀分布随机数所应满足的统计特性。,返回,随机变量的抽样获得均匀分布的随机数之后，可以对它们进行变换，得到其它统计分布规律的随机数，因此由均匀分布随机数到给定分布的随机数的各种变换方法，就称为该分布的各种抽样方法。完成,返回,8.5.3蒙特卡罗法在电路仿真中的应用解决了在计算机上实现伪随机数和电路器件参数的抽样问题后，蒙特卡罗问题就可归结为在不同的器件参数抽样序列情况下重复进行电路仿真，并对仿真结果进行统计分析，最后求出电路性能的数学期望、均方差以及电路的合格率、合格率标准偏差等等统计特性。目前许多商用的电路仿真器都有蒙特卡罗分析功能。用这些仿真工具进行蒙特卡罗分析时，可以输出每次抽
13、样时电路仿真的结果，以及经过用户指定的N次抽样仿真后计算出的电路性能的均值、最大值、最小值、方差和电路性能的统计分布直方图。如果用户指定电路性能的约束条件，还能计算电路的合格率及合格率的偏差。,蒙特卡罗分析时“真实”模拟 电路实际只在情况的一种有效方法，电路的性能函数的性质没有作任何近似，可以在静态、时域和频域分析器件参数的随机性对电路性能的影响。但是，由于蒙特卡罗分析要多次进行电路模拟，其计算成本很高，对计算机存储资源也要求很高。特别是时域和频域的蒙特卡罗分析，对于每一个抽样电路，要在每一个时刻（时域抽样点）或每一个频域（频域抽样点）进行电路模拟，并存储模拟结果，计算时间和存储量都可能很大。另外，如果电路模型不准确或器件参数的统计分布规律不准确，都会影响蒙特卡罗分析的准确性。在进行蒙特卡罗分析时，总抽样点数 N的选取要进行权衡，抽样点数越大，统计分布结果越准确，但随之而来的是计算成本的上升。,返回,
