1、第七章 傅里叶变换,在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为 较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的例如 在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较 简单的加法和减法运算在工程数学里积分变换能够将分 析运算（如微分、积分）转化为代数运算，正是积分变换 的这一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成 为重要的方法之一积分变换的理论方法不仅在数学的诸 多分支中得到广泛的应用，而且在许多科学技术领域中， 例如物理学、力学、现代光学、无线电技术以及信号处理 等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用,所谓积分变换，就是把某函数类A中的任意一个函数,，经过某种可逆的积分方法（即
2、为通过含参变量,的积分）,变为另一函数类 B中的函数,这里,是一个确,定的二元函数，通常称为该积分变换的核,称为,的像函数或简称为像，,称为,的原函数,在这样的积分变换下，微分运算可变为乘法运算，原来的偏微分方程可以减少自变量的个数，变成像函数的常微分方程；原来的常微分方程可以变为像函数的代数方程，从而容易在像函数类B中找到解的像；再经过逆变换，便可以得到原来要在A中所求的解，而且是显式解,另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数时， 就得到不同名称的积分变换:,（1）特别当核函数,（注意已将积分参,变量,改写为变量,），当,，则,称函数,为函数,的傅里叶（Fourier）变换，,简称,
3、为函数,的傅氏变换同时我们称,为,的傅里叶逆变换,（2）特别当核函数,（注意已将积分参变量,改写为变量,），当,，则,称函数,为函数,的拉普拉斯 (Laplace)变换，简称,为函数,的拉氏变换同时我们称,为,的拉氏逆变换,7.1 傅里叶级数,本节简明扼要地复习高等数学中的傅里叶级数基本内容,7.1.1 周期函数的傅里叶展开,定义7.1.1 傅里叶级数 傅里叶级数展开式 傅里叶系数,若函数,以,为周期，即为,的光滑或分段光滑函数，且定义域为,，则可取三角,函数族,(7.1.2),作为基本函数族，将,展开为傅里叶级数（即下式右端,级数）,(7.1.3),式（7.1.3）称为周期函数,的傅里叶级数
4、展开式,（简称傅氏级数展开），其中的展开系数称为傅里叶系数（简,称傅氏系数）,函数族 (7.1.2)是正交的即为：其中任意两个函数的乘积在一个周期上的积分等于零，即,利用三角函数族的正交性，可以求得(7.1.3)的展开系数为,（7.1.4）,其中,关于傅里叶级数的收敛性问题，有如下定理：,狄利克雷（Dirichlet）定理 7.1.1 若函数,满足条件：,(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；,（2）在每个周期内只有有限个极值点，则级数（7.1.3）收敛，,且,在收敛点有：,在间断点有：,7.1.2 奇函数及偶函数的傅里叶展开,定义 7.1.2 傅里叶正弦级数 傅里叶余弦级数,
5、若周期函数,是奇函数，则由傅里叶系数的计算公式,(7.1.4)可见，所有,均等于零，展开式(7.1.3)成为,(7.1.5),这叫作傅里叶正弦级数容易检验（7.1.5）中的正弦级数在,处为零,由于对称性，其展开系数为,若周期函数,是偶函数，则由傅里叶系数计算公,式可见，所有,均等于零，展开式(7.1.3)成为,(7.1.6),这叫作傅里叶余弦级数,同样由于对称性，其展开系数为,(7.1.7),由于余弦级数的导数是正弦级数，所以余弦级数的导数在,处为零,而对于定义在有限区间上的非周期函数,的傅里叶级,数展开，需要采用类似于高等数学中的延拓法，使其延拓为周,期函数,9.1.3复数形式的傅里叶级数,
6、定义7.1.3 复数形式的傅里叶级数,取一系列复指数函数,(7.1.8),作为基本函数族，可以将周期函数,展开为复数形式的,傅里叶级数,(7.1.9),利用复指数函数族的正交性，可以求出复数形式的傅里叶系数,(7.1.10),式中“*”代表复数的共轭,上式(7.1.9)的物理意义为一个周期为2l 的函数,可以分解,为频率为,，复振幅为,的复简谐波的叠加,称为谱点，,所有谱点的集合称为谱对于周期函数,而言，谱是离散的,尽管,是实函数，但其傅里叶系数却可能是复数，,且满足：,或,(7.1.11),7.2 实数与复数形式的傅里叶积分,上一节我们讨论了周期函数的傅里叶级数展开，下面讨论非 周期函数的级
7、数展开,7.2.1 实数形式的傅里叶积分,定义 7.2.1 实数形式的傅里叶变换式 傅里叶积分 傅里叶积分表示式,设非周期函数,为一个周期函数,当周期,时的极限情形这样，,的傅里叶级数展开式,(7.2.1),在,时的极限形式就是所要寻找的非周期函数,的傅里叶展开下面我们研究这一极限过程：,设不连续的参量,故（7.2.1）为,（7.2.2）,傅里叶系数为,(7.2.3),代入到 (7.2.2)，然后取,的极限,对于系数,，若,有限，则,而余弦部分为,当,，不连续参变量,变为,连续参量，以符号,代替对,的求和变为对连续参量,的积分，上式变为,同理可得正弦部分,若令,（7.2.4）,式（7.2.4）
8、称为,的（实数形式）傅里叶变换式,故（7.2.2）在,时的极限形式变为（注意到,）,(7.2.5),上式(7.2.5)右边的积分称为（实数形式）傅里叶积分,(7.2.5)式称为非周期函数,的（实数形式）傅里,叶积分表示式,事实上，上式（7.2.5）还可以进一步改写为,（7.2.6）,上式(7.2.6)的物理意义为：,称为,的振幅谱，,称为,的相位谱可以对应于物理现象中波动（或振动）,我们把上述推导归纳为下述严格定理：,1傅里叶积分定理,定理7.2.1 傅里叶积分定理 若函数,在区间,上满足条件,（1）,在任一有限区间上满足狄利克雷条件；,（2）,在,上绝对可积，则,里叶积分形式（7.2.5)，
9、,可表为傅,且在,的连续点处傅里叶积分值,；在间断点处傅里叶积分值,2奇函数的傅里叶积分,定义 7.2.2 实数形式的傅里叶正弦积分 傅里叶正弦变换,(7.2.7),式（7.2.7）满足条件,（7.2.8）,3. 偶函数的傅里叶积分,定义 7.2.3 实数形式的傅里叶余弦积分 傅里叶余弦变换,的傅里叶积分为傅里叶余弦积分：,(7.2.9),式（7.2.9）满足条件,其中,是,的傅里叶余弦变换：,（7.2.10）,上述公式可以写成另一种对称的形式,（7.2.11）,(7.2.12),7.2.2 复数形式的傅里叶积分,定义7.2.4 复数形式的傅里叶积分 复数形式的傅里叶变换式,对于上述实数形式的
10、傅里叶变换，我们觉得还不够紧凑下 面我们讨论复数形式的傅氏积分与变换，而且很多情形下，复数,形式（也称为指数形式）的傅氏积分变换使用起来更加方便,利用欧拉公式则有,代入式（7.2.5）得到,将右端的第二个积分中的,换为,，则,上述积分能合并为,(7.2.13),其中,将（7.2.4）代入上式可以证明无论对于,，还是,均可以合并为,（7.2.14）,证明：（1）,时,（2）,时,证毕,（7.2.13）是,的复数形式的傅里叶积分表示式,（7.2.14）则是,的复数形式的傅里叶变换式,上述变换可以写成另一种对称的傅氏变换（对）形式,（7.2.15）,7.2.3 傅里叶变换式的物理意义频谱,傅氏变换和
11、频谱概念有着非常密切的联系频谱这个术语来 自于光学.通过对频谱的分析，可以了解周期函数和非周期函数的 一些基本性质.,若已知,是以,为周期的周期函数，且满足狄利,克雷条件，则可展成傅里叶级数,(7.2.16),其中,我们将,称为,的第,次谐波，,称为第,次谐波的频率,由于,其中,称为初相，,称为第,次谐波的振幅，记为,，即,（7.2.17）,若将傅里叶级数表示为复数形式，即,(7.2.18),其中,恰好是,次谐,波的振幅的一半.我们称,为复振幅.显然,次谐波的振幅,与复振幅有下列关系：,（7.2.19）,当取,这些数值时，相应有不同的频率,和不同的振幅，所以式(7.2.19)描述了各次谐波的振
12、幅随频率变化 的分布情况频谱图通常是指频率和振幅的关系图.,称为函数,的振幅频谱（简称频谱）.,若用横坐标表示频率,，纵坐标表示振幅,，把点,用图形表示出来，这样的图,形就是频谱图. 由于,所以频谱,不连续的，称之为离散频谱,的图形是,73 傅里叶变换定义,7.3.1 傅里叶变换的定义,由上一节对实数和复数形式的傅里叶积分的讨论，最后我们以简洁的复数形式（即指数形式）作为傅里叶变换的定义,定义7.3.1 傅里叶变换,若,满足傅氏积分定理条件，,称表达式,（7.3.1）,为,的傅里叶变换式,记作,我们,称函数,为,的傅里叶变换，简称傅氏变换,（或称为像函数）,定义7.3.2 傅里叶逆变换 如果,
13、(7.3.2),则上式为,的傅里叶逆变换式，记为,我们称,为,（或称为像原函数或原函数）,的傅里叶逆变换，简称傅氏逆变换,由（7.3.1）和（7.3.2）知傅里叶变换和傅里叶逆变换是互 逆变换，即有,(7.3.3),或者简写为,7.3.2 多维傅氏变换,在多维（,维）情况下，完全可以类似地定义函数,的傅氏变换如下：,它的逆变换公式为：,7.3.3 傅里叶变换的三种定义式,在实际应用中，傅里叶变换常常采用如下三种形式，由于 它们采用不同的定义式，往往给出不同的结果，为了便于相互 转换，特给出如下关系式：,第一种定义式,2.第二种定义式,3.第三种定义式,三者之间的关系为,三种定义可统一用下述变换
14、对形式描述,特别说明：不同书籍可能采用了不同的傅氏变换对定义， 所以在傅氏变换的运算和推导中可能会相差一个常数倍数比如,，读者应能理解本书采用的傅氏变换(对)是大量 书籍中常采用的统一定义, 若未特殊申明，均使用的是第二种 定义式,7.3.4 广义傅里叶变换,前面我们定义的傅氏变换要求满足狄利克雷条件，那么对 一些很简单、很常用的函数，例如单位阶跃函数，正、余弦函 数等都无法确定其傅氏变换这无疑限制了傅氏变换的应用 所以我们引入广义傅氏变换概念系指,函数及其相关函数,的傅氏变换,在后面我们将看到，,函数的傅氏变换在求解数理方程中有,着特殊的作用,这里先介绍其有关基本定义和性质,1.,函数定义,定义7.3.3,函数,如果一个函数满足下列条件，则称之为,函数，并记为,(7.3.4),且,(7.3.5),我们不加证明地指出与定义7.3.3等价的,函数的另一定义,定义7.3.4,函数,如果对于任意一个在区间,上连续的函数,恒有,则称满足上式中的函数,为,函数，,对于任意的连续可微函数,定义,函数的导数为,（7.3.6）,根据上式显然有,（7.3.7）,由,函数定义7.3.4有,(7.3.8),2.,函数性质,性质1 对于,的实常数，有,(7.3.9),性质2 设,，则,当,时，即对应为,，故为偶函数,
