1、 DEUTSCHE NORM1311-3DIN Deutsches Institut fr Normung e. V. Jede Art der Vervielfltigung, auch auszugsweise,nur mit Genehmigung des DIN Deutsches Institut fr Normung e. V., Berlin, gestattet.Alleinverkauf der Normen durch Beuth Verlag GmbH, 10772 BerlinICS 17.160(Mechanical) vibration, oscillation a
2、nd vibration systems Part 3: Linear time-invariant vibration systems with a finite number of degreesof freedomVibrations (mcaniques), oscillations et systmes de vibrations Partie 3: Systmes de vibrations un nombre fini de degrs de libertVorwortDiese Norm wurde vom Gemeinschaftsarbeitsausschu NATG-A.
3、32/NALS C 1 erarbeitet.DIN 1311 Schwingungen und schwingungsfhige Systeme“ besteht aus: Teil 1: Grundbegriffe, Einteilung Teil 2: Lineare, zeitinvariante schwingungsfhige Systeme mit einem Freiheitsgrad*) Teil 3: Lineare, zeitinvariante schwingungsfhige Systeme mit endlich vielen FreiheitsgradenFolg
4、ende Normen dieser Reihe sind zur Zeit in Vorbereitung: Teil 4: Lineare Kontinua, Wellen Teil 5: Schwingungen nichtlinearer, selbsterregter und parametererregter SystemenderungenGegenber der Ausgabe Dezember 1974 wurden folgende nderungen vorgenommen:a) Inhalt vollstndig berarbeitetFrhere AusgabenDI
5、N 1311-3: 1961-09, 1974-121 AnwendungsbereichDiese Normenreihe legt Begriffe der Schwingungstechnikund Mechanik fest. Der vorliegende Teil 3 behandelt schwin-gungsfhige Systeme mit mehreren Freiheitsgraden. Im Ein-zelfall werden Hinweise zu analogen Begriffsbestimmungenin der Akustik und Elektrotech
6、nik gegeben.Diese Norm soll Grundlage fr andere Normen bezglichder Begriffe, Bezeichnungen und Definitionen in dengenannten Fachgebieten sein. Sie soll die interdisziplinreZusammenarbeit durch einheitliche Begriffe und allgemein-gltige Darstellung der Zusammenhnge erleichtern.2 Normative Verweisunge
7、nDiese Norm enthlt durch datierte oder undatierte Verwei-sungen Festlegungen aus anderen Publikationen. Diesenormativen Verweisungen sind an den jeweiligen Stellenim Text zitiert, und die Publikationen sind nachstehend auf-gefhrt. Bei datierten Verweisungen gehren sptere nde-rungen oder berarbeitung
8、en dieser Publikationen nur zudieser Norm, falls sie durch nderung oder berarbeitungeingearbeitet sind. Bei undatierten Verweisungen gilt dieletzte Ausgabe der in Bezug genommenen Publikation.DIN 1311-1Schwingungen und schwingungsfhige Systeme Teil 1:Grundbegriffe, EinteilungE DIN 1311-2Schwingungen
9、 und schwingungsfhige Systeme Teil 2:Lineare, zeitinvariante schwingungsfhige Systeme miteinem Freiheitsgrad3 BegriffeFr die Anwendung dieser Norm gelten die folgendenBegriffe:3.1 SystemReale zeitinvariante schwingungsfhige Systeme (sieheDIN 1311-1 : 2000-02, Abschnitt 16) lassen sich oftmals*)z. Z.
10、 EntwurfEntwurfFebruar 2000Fortsetzung Seite 2 bis 4Normenausschu Technische Grundlagen (NATG) Einheiten und Formelgren im DIN Deutsches Institut fr Normung e.V.Normenausschu Akustik, Lrmminderung und Schwingungstechnik (NALS) im DIN und VDISchwingungen und schwingungsfhige SystemeTeil 3: Lineare, z
11、eitinvariante schwingungsfhige Systememit endlich vielen FreiheitsgradenRef. Nr. DIN 1311-3 : 2000-02Preisgr. 05 Vertr.-Nr. 0005Ersatz frAusgabe 1974-12Seite 2DIN 1311-3 : 2000-02durch lineare Ersatzsysteme mit endlich vielen Freiheits-graden abbilden. Diese Ersatzsysteme werden auchErsatzmodelle, R
12、echenmodelle oder nachfolgend kurzSysteme genannt. Sie bestehen idealisiert aus endlichvielen starren Krpern und Massenpunkten, die durchmasselose Federn, Dmpfungselemente und Gelenkeuntereinander oder mit der Umgebung verbunden sind.Die vollstndige Beschreibung des Schwingungsverhal-tens eines solc
13、hen Systems erfolgt durch die Angabe desZeitverlaufes mehrerer unabhngiger Zustandsgren(siehe DIN 1311-1 : 2000-02, Abschnitt 3). Zustandsgrensind unabhngig, wenn ihnen voneinander unabhngigeAnfangswerte zugeordnet werden knnen.Die Anzahl der unabhngigen Zustandsgren hngt von derAnzahl der Freiheits
14、grade (siehe Abschnitte 3.2 und 3.3) ab.3.2 Koordinaten, ZustandsgrenDie momentane Lage der starren Krper und Massen-punkte eines Systems wird durch endlich viele Koordi-naten xj, j= 1, ., m, beschrieben. Die Koordinatenheien unabhngig, wenn die Zusammenhnge zwischenihnen nicht durch algebraische Gl
15、eichungen der FormFh(xj) = 0h= 1, ., kk m 2beschrieben werden knnen. Sie werden dann als verall-gemeinerte oder generalisierte Koordinatenqrr= 1, ., nnmbezeichnet.Als Zustandsgren werden im allgemeinen die Werte derKoordinaten und der Geschwindigkeiten der starrenKrper bzw. Massenpunkte zu dem jewei
16、ls betrachtetenZeitpunkt verwendet. Die Anzahl der unabhngigenZustandsgren ist aber hchstens doppelt so gro wiedie Anzahl der unabhngigen Koordinaten.3.3 FreiheitsgradeVoneinander unabhngige BewegungsmglichkeitenANMERKUNG: Die Anzahl der unabhngigen Koordina-ten ist gleich der Anzahl nder Freiheitsg
17、rade desSystems. Diese Anzahl ist zugleich die notwendigeMindestanzahl von Koordinaten zur eindeutigen Be-schreibung des Bewegungsverhaltens eines Systems.3.4 Koordinatenvektor, ZustandsvektorDer aus den Koordinaten xjgebildete Vektorx= (x1, ., xm)Theit Koordinatenvektor, der Vektory= (x1, ., xm, he
18、it Zustandsvektor.3.5 Systemgleichungen3.5.1 BewegungsdifferentialgleichungenDie Differentialgleichungen, die die mKoordinaten mitein-ander verbinden, heien Bewegungsdifferentialgleichun-gen. Sie sind von hchstens zweiter Ableitung nach derZeit in den Koordinaten xj, j= 1, ., m.Sie lassen sich als M
19、atrizengleichung (auch Vektorglei-chung genannt) schreiben in der Form(1)Dabei sind die Massenmatrix M, die Dmpfungsmatrix Dund die Steifigkeitsmatrix Kquadratische, m-reihige Matri-zen, deren Elemente konstant sind und physikalischeGren des Systems reprsentieren. Fr die folgendenBetrachtungen wird
20、Symmetrie und positive Definitheitdieser Matrizen vorausgesetzt.Der Vektor p(t) beinhaltet die in Koordinatenrichtungangreifenden Erregergren. Die Dmpfung kann alsAbsolutdmpfung zwischen einer Koordinate und einemFestpunkt oder als Relativdmpfung zwischen den Ko-ordinaten wirken.Wenn sich im Sonderf
21、all die Dmpfungsmatrix Dals Linear-kombination(2)mit reellen Koeffizienten aund bdarstellen lt (Bequem-lichkeitshypothese), heit das System proportional ge-dmpft.ANMERKUNG 1: Es werden nur geschwindigkeitspropor-tionale Dmpfungskrfte bercksichtigt. Zur besserenbersichtlichkeit werden keine gyroskopi
22、schen Effektebetrachtet.ANMERKUNG 2: Im Fall zeitabhngiger Koeffizienten derDifferentialgleichung (1) beschreiben die Lsungen para-metererregte Schwingungen (siehe DIN 1311-1:2000-02,Abschnitt 6.3.3). Die Bedingung (2) ist eine hinreichendeBedingung. Die notwendige und hinreichende Bedingungfr propo
23、rtionale Dmpfung lautet:DM1K= KM1D3.5.2 ZustandsgleichungenDie Differentialgleichungen, die die Zustandsgren mit-einander verbinden, heien Zustandsgleichungen. Siesind von hchstens erster Ordnung nach der Zeit in denZustandsgren yj, j= 1, ., 2m.3.6 Freie und erzwungene SchwingungenIst der Vektor p(t
24、) ein Nullvektor, dann beschreiben dieLsungen der Bewegungsdifferentialgleichungen (1) freieSchwingungen, anderenfalls erzwungene Schwingungen.3.7 Ungedmpfte und gedmpfte SystemeSind die Elemente des schwingungsfhigen Systems aus-schlielich Energiespeicher fr kinetische und potentielleEnergie, dann
25、heit das System ungedmpft. Ist minde-stens ein Element enthalten, das die mechanische Ener-gie verringert (z. B. durch Umwandlung in Wrme), dannheit das System gedmpft.3.8 Ungedmpfte undgedmpfte SchwingungenDie freien Schwingungen eines ungedmpften Systemsklingen mit der Zeit nicht ab sie werden ung
26、edmpfteSchwingungen genannt.Die freien Schwingungen eines gedmpften Systemsknnen mit der Zeit abklingen und heien dann ge-dmpfte Schwingungen. In speziellen Fllen knnen aucheinzelne Eigenschwingungen (siehe Abschnitt 4.2) alsungedmpfte Schwingungen auftreten.4 Eigenschwingungsanalyse, Modalanalyse4.
27、1 EigenwerteFhrt ein lineares, zeitinvariantes schwingungsfhigesSystem mit nFreiheitsgraden freie Schwingungen aus, soknnen diese Schwingungen durch die nverschiedenenEigenkreisfrequenzen g1, ., gnund die zugehrigen Ab-klingkoeffizienten d1, ., dnbeschrieben werden. Sie er-geben sich fr die Bewegung
28、sdifferentialgleichungen(3)mit dem Ansatz(4)x1, , x m) Txx=Mx Dx Kx p t().=+D a M b K+=Mx Dx Kx o=+xx elt=Seite 3DIN 1311-3 : 2000-02fr das homogene lineare algebraische Gleichungs-system(5)aus der Bedingung fr nichttriviale Lsungen xnogem(6)Ihre 2nLsungen fr lheien Eigenwerte des Systemsund knnen r
29、eell, imaginr oder komplex sein. Die kom-plexen Lsungen treten konjugiert komplex auf:(7)Nachfolgend werden nur die komplexen Lsungen be-trachtet, da nur diese zu harmonischen oder quasi-harmo-nischen Eigenschwingungen (siehe Abschnitt 4.2) fhren.Wenn die Matrizen M, D, Kvom Rang nsind, hat diealgeb
30、raische Gleichung fr ldie Ordnung 2n. Sie heitcharakteristische Gleichung oder Eigenwertgleichung.Die Gre drheit Abklingkoeffizient des r-ten Eigen-wertes, und grist die r-te Eigenkreisfrequenz.4.2 EigenschwingungenSind die Zeitverlufe aller Zustandsgren durch eine ein-zige Eigenkreisfrequenz grbest
31、immt, dann heit diezugehrige Bewegung des schwingungsfhigen SystemsEigenschwingung (8)Dabei ist der r-te Eigenvektor (siehe Abschnitt 4.3) undder Anteil der jeweiligen Eigenform.4.3 Eigenvektoren, EigenformenFhrt das System die r-te Eigenschwingung aus, dannstehen die Amplituden j= 1, ., m, der Schw
32、ingun-gen der einzelnen Koordinaten in festen, im allgemeinenkomplexen zeitunabhngigen Verhltnissen zueinander.Fr die Zeitabhngigkeit der Koordinaten gilt in der r-tenEigenschwingungj= 1, ., mr= 1, ., n. (9)Die Zusammenfassung der Verhltnisse der Koordinatenzu einem Vektor entsprechend dem Koordinat
33、envektorheit der r-te Eigenvektor oder Modalvektor oderEigenform des Systems:(10)Konjugiert komplexen Eigenwerten sind konjugiert kom-plexe Eigenvektoren und Eigenschwingungen zugeordnet.Die Eigenvektoren als Zusammenfassung von Ver-hltnisgren lassen sich beliebig normieren.Fr Systeme ohne Dmpfung u
34、nd Systeme mit proportio-naler Dmpfung nach Gleichung (2) lassen sich dieEigenvektoren durch reelle Zahlen darstellen. Diese reel-len Eigenvektoren erlauben eine geometrisch anschau-liche Interpretation. Die Eigenformen eines proportionalgedmpften Systems sind mit denen des zugehrigenungedmpften Sys
35、tems identisch.4.4 Orthogonalitt der EigenvektorenDie reellen Eigenvektoren eines ungedmpften oder pro-portional gedmpften Systems (siehe Abschnitt 4.3) sindorthogonal im Sinne von(11).Die Komponenten und heien modale Masse,modaler Dmpfungskoeffizient bzw. modale Federsteifig-keit (modaler Federkoef
36、fizient) der r-ten Eigenform.ANMERKUNG: Auch fr komplexe Eigenvektoren lassensich Orthogonalittsbeziehungen formulieren. Dazuwird im allgemeinen eine Darstellung der Eigenvekto-ren im Zustandsraum benutzt.4.5 Entwicklung nach EigenschwingungenAlle freien Schwingungen eines Systems lassen sichdurch e
37、ine berlagerung seiner Eigenschwingungen dar-stellen. Fr den Koordinatenvektor gilt. (12)Die Koeffizienten sind durch die Anfangsbedingungenbestimmt. Die Gleichung (12) stellt eine Entwicklung derfreien Schwingungen eines Systems nach Eigenvektorendar.4.6 Modalmatrix, ModalkoordinatenDie aus den nEi
38、genvektoren gebildete Matrixheit Modalmatrix.ANMERKUNG: Vielfach wird die Modalmatrix auch mit bezeichnet.Mit ihrer Hilfe lt sich aufgrund der Orthogonalittseigen-schaften der Eigenvektoren das System der Bewegungs-gleichungen (1) im Fall reeller Eigenvektoren entkoppelnund auf nunabhngige Different
39、ialgleichungen zurckfh-ren. Mit der Modaltransformation(13)und Linksmultiplikation mit UTgeht das Gleichungs-system (1) ber in. (14)Wegen der Orthogonalittsbeziehungen (11) sind dieMatrizen auf der linken Seite der Gleichung (14) Diagonal-matrizen, und die gekoppelten mGleichungen (1) sindauf nunabh
40、ngige Gleichungen(15)zurckgefhrt. Die 2nEigenwerte der Gleichungen (15) sindmit denen aus den Gleichungen (1) identisch. Die Greheit daher auch modaler Abklingkoeffizient derr-ten Eigenschwingung.Die nKoordinaten zr, r= 1, ., n, heien Modalkoordinaten.Sie stellen eine Form der generalisierten Koordi
41、naten dar.Die Modalkoordinaten lassen sich im allgemeinen nicht geo-metrisch interpretieren. Sie stellen Anteile der Eigenformenan der Gesamtbewegung dar.4.7 StabilittSind alle Realteile drder Eigenwerte negativ, dann heitdas System asymptotisch stabil: Smtliche Eigenschwin-gungen klingen mit wachse
42、ndem tab. Ist auch nur einRealteil drpositiv, heit das System instabil. Der Grenz-fall dr= 0 entspricht einer harmonischen Schwingung,deren Amplitude von den Anfangsbedingungen abhngt.ANMERKUNG: Zur Feststellung der Stabilitt im Grenzfalldr= 0 knnen die Nichtlinearitten eines schwingungs-fhigen Syst
43、ems nicht mehr vernachlssigt werden.Ml2D l K+()x o=det Ml2D l K+()0.=lrlrn+ dri gr+drigrr 1, , n .=xrt():xrt() aruredrigr+()t=urarxrxrj,xrjt() xrjedrigr+()t=xrjururur1, , urm()T.=urulTMurmrhdlr, ulTDurdrhdlr, ulTKurkrhdlr=mit dlr1 fr lr=0 sonst.=mrh, drhkrhx t()x t() aruredrigr()tr 1=n=arurUu1, , un
44、()=xUz=UTMUz UTDUz UTKUz UTp=+mrhzrdrhzrkrhzrurTp r 1, , n=+drh= drh2mrh-Seite 4DIN 1311-3 : 2000-025 Erzwungene Schwingungen5.1 Darstellung der erzwungenen SchwingungenIst der Vektor in Gleichung (1) kein Nullvektor, dann fhrtdas System erzwungene Schwingungen aus. Der Vektorist der Erregervektor.
45、Ist der Zeitverlauf der Elementedes Erregervektors periodisch, dann stellt sich nach demAbklingen der Eigenschwingungen (12) eine Schwingungdes Systems ein, die ebenfalls mit der Periodendauer derErregung periodisch ist. Wegen der vorausgesetzten Linea-ritt lt sich die periodische Schwingung des Sys
46、temsdarstellen als Summe der von den harmonischen Kompo-nenten der Erregung verursachten Schwingungen. Insoferngengt es zur Untersuchung der bertragungseigenschaf-ten des schwingungsfhigen Systems, harmonische Er-regungen zu betrachten mit der Erregerkreisfrequenz V,demAmplitudenvektor und dem Nullp
47、hasenwinkel f0, derin der nachfolgenden Formel fr alle Komponenten desErregervektors als gleich vorausgesetzt wird. Es ist vielfachhilfreich, den Erregervektor komplex zu ergnzen und als(16)einzufhren, wobei der komplexe Amplitudenvektor ist.Dann ist die Lsung der verallgemeinerten Bewe-gungsgleichu
48、ng(17)im allgemeinen ebenfalls zunchst komplex.Die erzwungenen Schwingungen knnen mittels derEigenvektoren des Systems beschrieben werden, wobeideren Anteile an der Gesamtschwingung durch den Ab-stand der einzelnen Erregerkreisfrequenzen Vvon denEigenkreisfrequenzen gr(Resonanzabstand) bestimmtsind. Bei harmonischer Erregung mit der Kreisfrequenz Vund proportionaler Dmpfung gilt fr die erzwungenenSchwingungen(18)oder fr die Amplitude . (19)Dabei ist rdie Nummer der Eigenvektoren, jund ksinddie Zeilen- und Spaltennummern der Modalmatrix U. DieNullstellen der Nenne
