1、September 2010DEUTSCHE NORM Normenausschuss Bauwesen (NABau) im DINPreisgruppe 17DIN Deutsches Institut fr Normung e.V. Jede Art der Vervielfltigung, auch auszugsweise, nur mit Genehmigung des DIN Deutsches Institut fr Normung e.V., Berlin, gestattet.ICS 01.040.07; 07.040!$iXD“1705333www.din.deDDIN
2、18709-5Begriffe, Kurzzeichen und Formelzeichen in der Geodsie Teil 5: Auswertung kontinuierlicher MessreihenConcepts, abbreviations and symbols in geodesy Part 5: Evaluation of continous series of observationsNotions, symboles et formules dans le domaine de la godsie Partie 5: Analyse de sries de me
3、sures continuesAlleinverkauf der Normen durch Beuth Verlag GmbH, 10772 Berlin www.beuth.deGesamtumfang 42 SeitenDIN 18709-5:2010-09 2 Inhalt Seite Vorwort 3 Einleitung.4 1 Anwendungsbereich .4 2 Normative Verweisungen4 3 Eindimensionale stochastische Prozesse (en: one-dimensional stochastic processe
4、s)5 3.1 Grundbegriffe stochastischer Prozesse (en: terms and definitions of stochastic processes)5 3.2 Spezielle stochastische Prozesse (en: special stochastic processes). 13 4 Beziehungen zwischen eindimensionalen stochastischen Prozessen (en: relations between one-dimensional stochastic processes)
5、. 18 5 Mehrdimensionale stochastische Prozesse (en: multidimensional stochastic processes). 22 6 Eindimensionale Filter (en: one-dimensional filters) 25 6.1 Grundbegriffe (en: basic terms and definitions) . 25 6.2 Filterarten (en: filter types) 26 7 Filter- und Prdiktionsverfahren (en: filtering and
6、 prediction methods) 30 7.1 Kollokation (en: collocation) . 30 7.2 Kalman-Filter (en: Kalman filter) . 33 Anhang A (informativ) Schtzung der Parameter von stochastischen Prozessen (en: estimation of the parameters of stochastic processes). 38 Literaturhinweise . 40 Stichwortverzeichnis. 41 DIN 18709
7、-5:2010-09 3 Vorwort Diese Norm wurde vom Normenausschuss Bauwesen (NABau), Fachbereich 03 Vermessungswesen, Geo-information“, Arbeitsausschuss Geodsie“, NA 005-03-01 AA, erarbeitet. DIN 18709 Begriffe, Kurzzeichen und Formelzeichen in der Geodsie besteht aus: Teil 1: Allgemeines Teil 2: Ingenieurve
8、rmessung Teil 3: Seevermessung Teil 4: Ausgleichungsrechnung und Statistik Teil 5: Auswertung kontinuierlicher Messreihen Es wird auf die Mglichkeit hingewiesen, dass einige Texte dieses Dokuments Patentrechte berhren knnen. Das DIN und/oder die DKE sind nicht dafr verantwortlich, einige oder alle d
9、iesbezglichen Patentrechte zu identifizieren. DIN 18709-5:2010-09 4 Einleitung Hufig werden in der Geodsie Messgren erfasst, die die zeitlich variable Geometrie eines zu beobachten-den Objekts beschreiben. Ein zu beobachtendes Objekt lsst sich als ein zusammengesetztes, abgegrenztes Ganzes betrachte
10、n und erfllt damit die Definition eines physischen Systems. Die Vernderungen eines phy-sischen Systems beruhen auf der bertragung, Umwandlung und Erhaltung von Materie, Impuls und Energie. Diese Vernderungen werden als Prozess bezeichnet und sind als Systemeingang sowie als Systemausgang in Form von
11、 Messreihen zu erfassen. Die Realisierung eines stochastischen Prozesses kann nicht nur zeitab-hngig (dann als Zeitreihe bezeichnet), sondern auch ortsabhngig erfolgen. Der Parameter Zeit wird dann durch einen oder mehrere ortsbezogene Parameter ersetzt bzw. ergnzt. Im Zeit-, Orts- und Frequenzraum
12、knnen mit Hilfe mathematischer Operatoren deterministische und stocha-stische Prozesseigenschaften sowie Beziehungen zwischen stochastischen Prozessen beschrieben werden, wobei die Operatoren die Eigenschaften stochastischer Prozesse hervorheben oder dmpfen. Ein System wird in ein Modell abgebildet,
13、 welches aufgrund bekannter Gesetzmigkeiten und getroffener Annahmen das System und seine Prozesse bezglich ausgewhlter Fragestellungen hinreichend genau beschreibt. Filter- und Prdiktionsverfahren schtzen die deterministischen und stochastischen Parameter des Modells. 1 Anwendungsbereich Diese Norm
14、 gilt fr die Verarbeitung, Auswertung und Beurteilung von stochastischen Prozessen, wie sie in der Geodsie in der Form kontinuierlicher Messreihen vorliegen. Zweck dieser Norm ist es, den geodtischen Sprachgebrauch an Begriffe anderer Disziplinen anzupassen, soweit diese bergeordnete Bedeutung erlan
15、gt haben. Andererseits mssen jedoch, wo dies mglich ist, die in der Geodsie eingefhrten Begriffe beibe-halten werden. Grundlagen dieser Norm sind die Standardwerke der Zeitreihen-, Prozess-, Signalanalyse und der Systemtheorie. Typische Anwendungsgebiete dieser Norm sind die Analyse kontinuierlicher
16、 berwachungsvermessungen (z. B. von Bauwerken) und die Modellierung von Prozessen, die eine zeitliche Komponente aufweisen (z. B. die Trajektorie eines fahrenden Autos). Daneben werden die vorgestellten Verfahren auch zur Beschreibung und Auswertung von Messverfahren verwendet, die unabhngig von der
17、 beobachteten Geometrie kontinuier-liche Messreihen erzeugen (z. B. Messungen mit dem Global Positioning System). 2 Normative Verweisungen Die folgenden zitierten Dokumente sind fr die Anwendung dieses Dokuments erforderlich. Bei datierten Verweisungen gilt nur die in Bezug genommene Ausgabe. Bei un
18、datierten Verweisungen gilt die letzte Ausgabe des in Bezug genommenen Dokuments (einschlielich aller nderungen). DIN 18709-4, Begriffe, Kurzzeichen und Formelzeichen in der Geodsie Teil 4: Ausgleichungsrechnung und Statistik DIN IEC 60050-351, Internationales Elektrotechnisches Wrterbuch Teil 351:
19、Leittechnik DIN 18709-5:2010-09 5 3 Eindimensionale stochastische Prozesse (en: one-dimensional stochastic processes) Ab-schnitt Zeichen Benennung Definition 3.1 Grundbegriffe stochastischer Prozesse (en: terms and definitions of stochastic processes) 3.1.1 X(t) stochastischer Prozess Zufallsprozess
20、 en: stochastic process Folge von Zufallsereignissen, die als Menge X(t) von Zufalls-variablen (siehe DIN 18709-4) in Abhngigkeit von einem Para-meter t dargestellt werden kann, wobei t in einer Zahlenmenge T, in der Regel dem Messungszeitraum (siehe 3.1.4), variiert ANMERKUNG 1 Im Gegensatz zu eine
21、m deterministischen Prozess, der vollstndig vorhergesagt und reproduziert werden kann, ist ein stochastischer Prozess an keiner Stelle t exakt vorhersagbar und kannnicht reproduziert werden. ANMERKUNG 2 Der stochastische Prozess kann nicht kausal-funktional, sondern nur durch seine Verteilungs(dicht
22、e)funktion (siehe 3.1.13) dargestellt werden. ANMERKUNG 3 Ein Prozess wird auch dann als stochastisch be-zeichnet, wenn er neben stochastischen auch unbekannte de-terministische Anteile enthlt. ANMERKUNG 4 Ist t Z (Z: Menge der ganzen Zahlen), so handelt es sich um einen diskreten stochastischen Pro
23、zess; ist t R(R: Menge der reellen Zahlen), so ist der Prozess kontinuierlich. BEISPIEL Der zeitliche Temperaturverlauf an einem bestimmten Ort kann durch einen stochastischen Prozess beschrieben werden. ANMERKUNG 5 Ein stochastischer Prozess, dessen Autokovarianz-funktion (siehe 3.1.6) sich bei Var
24、iation des Parameters nicht beliebig ndert, heit stochastischer Prozess mit Erhaltensneigung. 3.1.2 x(t) Realisierung eines stochastischen Prozesses en: realization of a stochastic process (zeitlich) geordnete Folge von Beobachtungswerten (siehe DIN 18709-4), wobei fr jeden Zeitpunkt t T (siehe 3.1.
25、1) genau ein Beobachtungswert vorliegt ANMERKUNG 1 Alle mglichen Realisierungen ( ) ;,.ixt i= 012bilden den stochastischen Prozess X(t) (siehe 3.1.1). ANMERKUNG 2 Ist der Parameter t die Zeit, so wird ein eindimensionaler stochastischer Prozess auch als Zeitreihe be-zeichnet. ANMERKUNG 3 Handelt es
26、sich bei den Werten einer Zeitreihe um gemessene Gren, so wird dies als Messreihe bezeichnet. ANMERKUNG 4 Eine Zeitreihe stellt eine diskrete Realisierung eines stochastischen Prozesses X(t) dar. Sie wird in der Regel mit x(k) be-zeichnet; mit k als diskreten Zeitpunkt der Zeitreihe. BEISPIEL Temper
27、aturmessungen an einer festgelegten Stelle eines Bauwerks zu bestimmten Zeitpunkten bilden eine Zeit- bzw. Messreihe. DIN 18709-5:2010-09 6 Ab-schnitt Zeichen Benennung Definition 3.1.3 X(t) Erwartungswert-funktion Mittelwertfunktion en: expectation value function, mean value func-tion ( ) ( )( )EXt
28、Xt = ANMERKUNG 1 Existiert fr jedes t T (siehe 3.1.1, Anmerkung 4) der Erwartungswert (siehe DIN 18709-4) der Zufallsvariablen X(t) (siehe DIN 18709-4), so ist die Erwartungswertfunktion X(t) des stochastischen Prozesses bekannt. ANMERKUNG 2 Bei Mittelwertstationaritt des stochastischen Prozesses (s
29、iehe 3.1.14) gilt im diskreten Fall ()Xiiix fx+=und im kontinuierlichen Fall ()dXx fx x+=, wobei f (xi) beziehungsweise f (x) die entsprechenden Wahrscheinlich-keitsdichten bezeichnen. 3.1.4 x empirischer Mittelwert en: experimental mean value njjx xn=101, mit n = Anzahl der Werte der Zeitreihe Im k
30、ontinuierlichen Fall gilt: ()dTx xt tT=01mit T: Messungszeitraum, T = n t und t: Abtastrate (siehe 3.1.21) ANMERKUNG Der empirische Mittelwert ist dann ein erwartungs-treuer Schtzwert fr den Erwartungswert (siehe DIN 18709-4), wenn (Mittelwert-)Stationaritt (siehe 3.1.14) des stochastischen Prozesse
31、s (siehe 3.1.1) vorliegt. 3.1.5 Trend en: trend deterministische Variation eines stochastischen Prozesses ANMERKUNG 1 Der Trend kann mit Hilfe glatter mathematischer Funktionen modelliert werden. ANMERKUNG 2 Prozesse, die keinen Trend enthalten oder deren Trend abgespaltet wurde, sind mittelwertstat
32、ionr (siehe 3.1.14). DIN 18709-5:2010-09 7 Ab-schnitt Zeichen Benennung Definition BEISPIEL Ein periodischer Trend kann hufig durch eine geeignete Sinusfunktion modelliert und abgespaltet werden. Legende 1 Trend 2 Zeitreihe Bild 1 Trend 3.1.6 CXX() Autokovarianz-funktion en: auto-covariance function
33、 Funktion eines stochastischen Prozesses X(t) (siehe 3.1.1): () ()( ) ()( )( )E= +XX X XCXtt mit ( )XXttT= = const; ANMERKUNG 1 = t2 t1ANMERKUNG 2 Bei den angegebenen Gleichungen zur Berechnung der Autokovarianzfunktion wird Stationaritt (siehe 3.1.14) des Prozes-ses vorausgesetzt. ANMERKUNG 3 CXX(0
34、) = ( )t2, die Varianz (siehe DIN 18709-4) ist in der Autokovarianzfunktion enthalten. ANMERKUNG 4 Die Autokovarianzfunktion ist eine gerade Funktion. 3.1.7 ( )XXC empirische Autokovarianz-funktion en: experimental autocovariance function aus Zeitreihen (siehe 3.1.2) geschtzte Autokovarianzfunktion,
35、die sich bei diskreter Realisierung (siehe 3.1.2) und bei Sta-tionaritt (siehe 3.1.14) der Zeitreihe ergibt zu ()()()nmXX i i miCm xxx xnm+= 101ANMERKUNG 1 Im Falle kontinuierlicher Realisierungen gilt: () () ()dTXXCxtxtxtT=+01Dabei ist m die Anzahl der Werte, die zur Berechnung der empirischen Auto
36、kovarianzfunktion herangezogen werden, in der Regel 10nm ; n die Anzahl der Werte der Zeitreihe. ANMERKUNG 2 ()=20XXCs, die empirische Varianz (siehe DIN 18709-4) ist in der empirischen Autokovarianzfunktion enthalten. DIN 18709-5:2010-09 8 Ab-schnitt Zeichen Benennung Definition 3.1.8 ()XXR Autokor
37、relati-onsfunktion en: auto-correlation function normierte Autokovarianzfunktion (siehe 3.1.6) ()( )() =0XXXXXXCRCANMERKUNG 1 Bei der angegebenen Gleichung zur Berechnung der Autokorrelationsfunktion wird Stationaritt (siehe 3.1.14) des Prozes-ses vorausgesetzt. ANMERKUNG 2 Es gilt ( )=01XXR . 3.1.9
38、 .ij k partieller Korrelations-koeffizient en: partial correlation coefficient ()().ij ik jkij kjk ik=2211mit ij ,ik ,jk als Korrelationskoeffizienten (siehe DIN 18709-4) zwischen den entsprechenden Zufallsvariablen (siehe DIN 18709-4) ANMERKUNG Der partielle Korrelationskoeffizient der Zufallsvaria
39、-blen ()iX t und ()jX t zu den Zeitpunkten it und jt bezglich der Zu-fallsvariablen ()kX t zum Zeitpunkt kt ist ein Ma fr die Korrelation (siehe DIN 18709-4) zwischen den Gren ()iXt und ()jX t ohne Be-rcksichtigung des Einflusses von ()kXt . 3.1.10 ()XXR empirische Au-tokorrelations-funktion en: exp
40、erimental autocorrelation function aus einer beobachteten Zeitreihe geschtzte Autokorrelations-funktion (analog zu 3.1.7) ()()()0XXXXXXCRC = 3.1.11 0 Korrelations-lnge Halbwertsbreite en: correlation length ()202XXC = Parameterwert, fr den die Autokovarianzfunktion gleich der halben Varianz (siehe D
41、IN 18709-4) ist ANMERKUNG 1 Die Korrelationslnge gibt die Abklingeigenschaft der Autokovarianzfunktion (siehe 3.1.6) an. ANMERKUNG 2 Die Korrelationslnge wird, wenn der stochastische Prozess (siehe 3.1.1) in Abhngigkeit von der Zeit dargestellt wird, auch als Korrelationszeit bezeichnet. ANMERKUNG 3
42、 Die Korrelationslnge ist nur bei stationren Pro-zessen eine konstante Gre. ANMERKUNG 4 In der Regel wird fr die Erhaltensneigung an Stelle der Korrelationslnge ein Formparameter a verwendet. BEISPIEL Falls ()2221XXCa=+, dann ist 0a = . DIN 18709-5:2010-09 9 Ab-schnitt Zeichen Benennung Definition 3
43、.1.12 b Korrelations-periode en: correlation period Periode, mit der ein bestimmter Wert eines Korrelations-koeffizienten (siehe DIN 18709-4) wiederholt auftritt ANMERKUNG Die Korrelationsperiode ist der Parameter, der die Wiederholungsneigung beschreibt. Wiederholungsneigung bedeutet, dass in einem
44、 Prozess dominierende Periodizitten auftreten. BEISPIEL ( )cos b mit b als Korrelationsperiode (siehe 3.2.10). 3.1.13 F (x1, x2, xn) Verteilungsfunk-tion eines stochastischen Prozesses en: distribution function of a sto-chastic process gemeinsame Verteilungsfunktion von () () ( ),12 nX tXt XtK, wenn
45、( ) ( ) ( ) ( )( ), , ,12 1 1 2 2nnF xx x PXt xXt x Xt x= KK gilt Dabei ist P die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses (siehe DIN 18709-4) ( ) ( ) ( ), K11 2 2 nnX txXt x Xt x fr beliebige ,12 nx xxK ANMERKUNG Ein stochastischer Prozess X(t) (siehe 3.1.1) ist ein-deutig definiert, wenn seine Verteilun
46、gsfunktion zu jedem Zeitpunkt bekannst ist. 3.1.14 Stationaritt en: stationarity Eigenschaft eines Prozesses, wenn gilt: ( )( )E Xt = const und ( ) ( ) ( )21 12XX XX XXCttCtt C= = Dabei ist ( )XXC die Autokovarianzfunktion (siehe 3.1.6). ANMERKUNG 1 Starke Stationaritt (d. h. Stationaritt im engeren
47、 Sinne) liegt vor, wenn die Verteilungsfunktion (siehe DIN 18709-4) eines stochastischen Prozesses unabhngig vom Parameter t ist. ANMERKUNG 2 Schwache Stationaritt (d. h. Stationaritt im weiteren Sinne) liegt vor, wenn der Erwartungswert und die Autoko-varianzfunktion (siehe 3.1.6) eines stochastisc
48、hen Prozesses unab-hngig vom Parameter t sind. ANMERKUNG 3 Jeder stark stationre Prozess ist auch schwach stationr. ANMERKUNG 4 Mittelwertstationaritt liegt vor, wenn die Erwartungs-werte aller Zufallsvariablen (siehe DIN 18709-4) identisch sind: ()XXt fr alle t T= ANMERKUNG 5 Varianzstationaritt li
49、egt vor, wenn die Varianzen (siehe DIN 18709-4, dort 2X ) der Zufallsvariablen identisch sind: ()t fr alle t T= 22ANMERKUNG 6 Kovarianzstationaritt liegt vor, wenn die Kovarian-zen zwischen den einzelnen Zufallsvariablen nur von dem Abstand abhngen. Varianzstationaritt liegt dann in jedem Fall vor: () () ,XX XXC t t C mit
