1、DIN1 DIN 4895 TEIL L 77 2794442 0020373 858 DK 516 : 001.4 DEUTSCHE NORMEN November 1977 c c * * a C C - a I ? C r c L c c - a I: I c t 2 “ T c a E E a c E C C * c a a I ! L ? o I h L T c n 2 - DIN 4895 Orthogonale Koordinatensysteme Teil 1 Allgemeine Begriffe Orthogonal coordinate systems; general
2、concepts 1 Allgemeines Ein Koordinatensystem dient zur quantitativen Beschrei- bung der Lage von Punkten in einem Raum, z. B. in einem zweidimensionalen Raum (Ebene) oder in einem drei- dimensionalen Raum. Diese Norm befat sich nur mit Koordinatensystemen in dreidimensionalen euklidischen Rumen und
3、mit der Darstellung physikalischer Gren in solchen Koordinatensystemen. 2 Koordinatensysteme mit geraden Koordinatenlinien 2.1 In einem dreidimensionalen euklidischen Raum seien vier Punkte O, El, E2, E3 ausgezeichnet, die nicht in einer Ebene liegen. Dann bestimmen diese Punkte ein Koordinatensyste
4、m mit dem U r s p r u n g O (Buchstabe O) und den Basisvektoren OEl, OE2, OE3. Jedem Punkt P sind als K o o r d i n at en die Zahlen cl, 2 und r3 zugeordnet, fr die + + + + + OP = El OEl + 5; OE2 + C3 OE3 ist. Diedrei Koordinatenfunktionen (PHcl (P), ( P H t2 (P) ) und ( P c3 (P) ), die jedem Punkt
5、seine Koordinaten zuordnen, werden auch einfach mit cl, c2 und c3 bezeichnet. Hierbei ist ( I+ ) der Funktionsbildungs- operator nach DIN 5474, Ausgabe September 1973, Nr 3.1.2. Das Koordinatensystem ist die Zuordnung, die jedem Punkt P das Tripel (t1 (P), 45 (P), 3 (P) ) seiner Koordinaten umkehrba
6、r eindeutig zuordnet. Man kann es auch kurz als Koordinatensystem cl, r2, c3 bezeichnen. Die durch die drei Punktepaare (O, El), (O, Ez), (O, E3) festgelegten drei Geraden nennt man K o o r d i n at e n - achsen. Die Koordinatenachsen sind o ri e n t i er t (siehe DIN 1312, Ausgabe Mrz 1972, Abschni
7、tt l.l), d. h. auf ihnen ist je ein Durchlaufsinn ausgesichnet, nmlich vom Punkt O zum Punkt El bzw. E2 bzw. E3. Der Durch- laufsinn wird meist durch einen Pfeil gekennzeichnet. 2.2 Das Koordinatensystem heit o rt h o go na I, wenn die Basisvektoren nach Abschnitt 2.1 aufeinander senk- recht stehen,
8、 so da also die skalaren Produkte OEl . OEz = OE2. OE3 = OE3. OEl = O sind. + -+ 2.3 Das orthogonale Koordinatensystem heit ortho - nor m i e rt oder kart es i sc h, wenn die Basisvektoren den Betrag 1 haben (siehe Anmerkungen). Wenn man von einem orthogonalen System ausgeht und zu den nor- mierten
9、Basisvektoren bergeht: + + + OE3 OE2 I OE, I I OE21 I OE31 , e3=- , e2=- el = - + OE1 + + so bestimmt der Punkt O mit den Basisvektoren el, e2, e3 ein Koordinatensystem. Wenn die Koordinaten in diesem System mit xl, x2, x3 bezeichnet werden, so ist also o rt h o n o r m i e rt es -* OP = xlel + x2e2
10、 + x3e3. Fr die Koordinaten gilt: + + + x1 = cl I OEl I , x2 = 2 I OE2 I , x3 = c3 I OE3 I. 2.4 In Naturwissenschaft und Technik ist es blich, als Koordinaten nicht Za h I e n , sondern G r e n zu ver- wenden. Die Koordinaten xl. x2, x3, die auch mit x, y, z bezeichnet werden, haben dann die Dimensi
11、on einer Lnge (siehe Anmerkungen). Die Basisvektoren erhalten keine physikalische Dimen- sion. Sie knnen sowohl zur Darstellung von Ortsvektoren als auch von anderen Vektoren (z. B. Geschwindigkeiten, Krfte, Feldstrken) verwendet werden (siehe Abschnitt 7). Die kartesischen Koordinaten eines Punktes
12、 P im (x, y. 2)- Raum sind auch gegeben durch die drei Abstnde x, y, z zwischen den senkrechten Projektionen des Punktes P auf die drei Koordinatenachsen und dem gemeinsamen Ursprung O (siehe Bild 1). y const, A= const, Bild 1. Stimmt die Richtung vom Ursprung O zu der senkrechten Projektion des Pun
13、ktes P auf eine der drei Koordinaten- achsen mit deren Durchlaufsinn berein, so ist die betref- fende Koordinate pos it i v. Ist die erwhnte Richtung dem Durchlaufsinn entgegengesetzt, ist die betreffende Koordinate n e g at i v. Fortsetzung Seite 2 bis 4 - Normenausschu Einheiten und Formelgren (AE
14、F) im DIN Deutsches Institut fr Normung e.V. Ileinverkauf der Normen durch Beuth Verlag GmbH. Berlin 30 und Kln 1 DIN 4895 Teil 1 Nov 7977 Preisgr. 5 07.80 Verir.-Nr. 0005 DIN1 DIN 4895 TEIL 1 77 Seite 2 DIN 4895 Teil 1 2.5 Koordinatenebenen sind die Ebenen, auf denen eine der Koordinaten konstant i
15、st, also die Punkt- mengen (PI X(P) = const,!, (PIY(P) = constp), I PI z (P) = const3 in der Ausdrucksweise nach DIN 5473, Ausgabe Juni 1976, Nr 1.4. 2.6 K o o r d i n at e n I i n i e n sind die Schnittgeraden von aufeinander senkrechten Koordinatenebenen, d. h. die Geraden, auf denen jeweils zwei
16、Koordinaten kon- stant sind. Eine x-Linie ist eine Schnittgerade der Ebenen y = const2 und z = const3, also eine Punktmenge PI y (P) = const2 A z (PI = const3 1. Eine y-Linie ist eine Schnittgerade der Ebenen x = const, und z = consta, also eine Punktmenge PI x (P) = const, A z (P) = const3 . Eine z
17、-Linie ist eine Schnittgerade der Ebenen x = const, und y = const2, also eine Punktmenge I PI x (P) = const, A y (P) = const2 1. Dabei ist A das Zeichen fr Konjunktion (Sprechweise: und) nach DIN 5474, Ausgabe September 1973, Nr 1.1.2. 3 Koordinatensysteme mit 3.1 Es seien x, y, z kartesische Koordi
18、naten eines Punktes P im Raum und gekrmmten Koordinatenlinien x = %(U, u, w), y = y(u, u, w), z = z (u, u, w) drei im Raumbereich der u, u, w eindeutige und stetig differenzierbare Funktionen. Durch jeden Punkt P des (u, v, w)-Raumes gehen dann und nur dann drei rum- liche Schnittkurven je zweier Fl
19、chen aus den Flchen- scharen u = const, u = const2, w = const3, wenn der Zusammenhang nach obigem Gleichungssystem zwi- schen dem (x, y, 2)-Raum und dem (u, u, w)-Raum um- kehrbar eindeutig ist, also durch eine bijektive Abbildung vermittelt wird. Man nennt das Koordinatensystem u, u, w krumm- I in
20、i g , wenn mindestens eine dieser drei Schnittkurven (Koordinatenlinien, siehe auch Abschnitt 3.4) gekrmmt ist. 3.2 Das krummlinige Koordinatensystem u, u, w heit dann orthogonal, wenn sich die drei erwhnten Schnittkurven oder deren Tangenten in jedem Punkt P des Raumes paarweise senkrcht schneiden.
21、 Die krummlinigen orthogonalen Koordinaten eines Punktes werden bei Anwendungen in Naturwissenschaft und Technik mit u, v, w, sonst auch mit ul, u2, u3 bezeich- net. 3.3 Koordinatenflchen sind die Flchen, auf denen eine der drei Koordinaten u, u, w konstant ist, also die Punktmengen 1 PI u (P) = con
22、st, , ( PI u (P) = const2 , ( PI w (P) = const3 . Die Koordinatenflchen bilden ein aus drei einparametri- gen Flchenscharen bestehendes dreifaches Flchen- system. 3.4 Koordinaten I in i en sind die durch einen Punkt P gehenden Schnittkurven je zweier Koordinatenflchen. Eine u-Linie ist eine Schnittl
23、inie der Flchen u = const2 und w = const3, also eine Punktmenge ( PI u (P) = const2 A w (P) = const3 . Eine u-Linie ist eine Schnittlinie der Flchen u = const, und w = const3, also eine Punktmenge 1 PI u (PI = const, A w (PI = const3. = 2774442 O020374 794 Eine w-Linie ist eine Schnittlinie der Flch
24、en u = const, und u = const*, also eine Punktmenge PI u (P) = const, A u (P) = const2 ). 4 Spezielle krummlinige orthogonale Koordinatensysteme Bei Anwendungen in Naturwissenschaft und Technik kommen auer dem kartesischen Koordinatensystem vielfach und Rot at i o ns koo rd i n at e n syst em e vor.
25、Zy I in d e r ko o r d i n a t e n sys t em e 4.1 Zylinderkoordinatensysteme Gebruchliche Zylinder koo rd in at e n sys t e m e sind solche, die man sich durch geradlinige Fortbewegung des Mittelpunktes einer ebenen Kurve zweiter Ordnung (Kegelschnitt) lngs einer Koordinatenachse erzeugt denken kann
26、. Das bekannteste Zylinderkoordinaten- system ist das Kr e i szy I in d e r - Ko o r d i n at e n - system. 4.2 Rotationskoordinatensysteme Gebruchliche R otati o ns ko o r di n a tens yste m e sind solche, die man sich durch Rotation einer ebenen Kurve zweiter Ordnung (Kegelschnitt) um eine durch d
27、en Mittelpunkt gehende und in derselben Ebene liegende Koordinatenachse erzeugt denken kann. Das bekannteste Rotationskoordinatensystem ist das Ku g e I ko o r d i na - tensystem. 5 Beispiele An den Beispielen des Kreiszylinder-Koordinaten- systems und des Kugelkoordinatensystems werden die LI Absch
28、nitt 3 aufgefhrten Zeichen, Begriffe und Zusammenhnge erlutert. 5.1 Kreiszylinder-Koordinatensystem (siehe Bild 2) , j=const, t += Bild 2. Die kr u m m I i n ig e n orthogonal en Koordinaten sind: u =o, u= cp. w = 2. ose-, Olp2rr, -z+-. Der Wertebereich ist: Der Zusammenhang mit den kartesischen Koo
29、rdi- naten x, y, z ist: Die drei Koordinatenflchen sind: Kreiszylindermntel = const, Halbebenen p = const2, Ebenen z = const3. x = p cos p, y = Q sin p, z = z. DINL DIN 4895 TEIL 1 77 2794442 0020375 620 DIN 4895 Teil 1 Seite 3 Die drei K o or d i n at en I i n i en als Schnittkurven je zweier Koord
30、inatenflchen sind aus Tabelle 1 ersichtlich: Tabelle 1 sich schneidende Koordinatenflchen Q = const, p = const, = const, z = const3 p = COnSt2. z = const3 Koordinatenlinie Parallele zur z-Achse auf dem Mantel des Kreis- Zylinders = const, und auf der Halbebene p = const, Kreis vom Radius = const, in
31、 der Ebene z = constg Gerade in der Ebene z = const3 mit dem Winkel p = const, gegen die x-Achse 5.2 Kugelkoordinatensystem (siehe Bild 3) . sp = const, I Bild 3. Die k r u m m I in i g e n o rt h og o n a I en Koor d i nat e n sind: u=r, v=8, w=p. Der Wertebereich ist: OIrm, B_(r, OSp2ir. (siehe An
32、merkungen). Der Zusammenhang mit den kartesischen Koordi- naten ist: x = r sin 8 cos p, y = r sin B sin p, z = r cos 8. Die drei Koordinatenflchen sind: Kugeloberflchen r = const, Kreiskegelmntel 79 = const, Halbebenen p = const3. Die drei Koordinatenlinien als Schnittkurven je zweier Koordinatenflc
33、hen sind aus Tabelle 2 ersichtlich: Tabelle 2. sich schneidende Koordinatenflchen r = const, i? = const, r = const, p = const3 B = const, p = const3 Koordinatenlinie I Breitenkreis vom Radius r sin 8 auf der Kugelober- flche vom Radius r=const, Lngenkreis auf der Kugeloberflche vom Radius r = const,
34、 und auf der Halbebene p = const3 - Schnittgerade des Kegel- mantels 8 = const, mit der Halbebene p = constg 6 Skalarfelder Ist jedem Punkt eines Raumgebietes G ein Skalar CJ zuge- ordnet, so sagt man, es liegt in G ein S kalarfeld vor. CJ ist im allgemeinen vom Ort abhngig. Beispiele fr CP: Tempera
35、tur T, elektrisches Potential rp. 7 Vektorfelder Ist jedem Punkt eines Raumgebietes G ein Vektor A zuge- ordnet, so sagt man, es liegt in G ein Vektorfeld vor. A ist im allgemeinen vom Ort abhngig. Beispiele fr A: Geschwindigkeit u, elektrische Feldstrke E. 7.1 Einsvektoren, Tangenteneinsvektoren Ei
36、n E i n s v e kt or ist ein Vektor vom Betrag 1. Bei einem geradlinigen Koordinatensystem sind die drei Einsvekto- ren in Richtung der drei Koordinatenachsen von Bedeu- tung. Bei kartesischen Koordinaten (x, y, z) werden die drei im Durchlaufsinn der Koordinatenachsen x, y, z ge- richteten Einsvekto
37、ren zweckmig mit e, ey, e, bezeich- net (siehe Bild 4), also den normierten Basisvektoren (siehe Abschnitt 2.3) gleichgesetzt. Bild 4. Bezeichnet man die kartesischen Koordinaten mit xl, x2, x3, so heien die zugehrigen Einsvektoren el, e2, e3. Frher war auch die Schreibweise i, I, f fr diese Eins- V
38、ektoren gebruchlich. Bei kr u m m I i nig en orthogonal en Koordinaten (u, ei, w) sind die drei Einsvektoren, die man als Tangenten von einem Punkt P aus an die durch diesen gehenden drei orthogonalen Koordinatenlinien legen kann, von Bedeutung. Diese im Sinne zunehmender Werte der Koordinaten u, u,
39、 w gerichteten (normierten) Einsvektoren nennt man Tangenteneinsvektoren. Sie wer- den zweckmig mit e, e, e, bezeichnet. DIN1 DIN 4895 TEIL 1 77 D 2794442 0020376 567 W Seite 4 DIN 4895 Teil 1 Bei orthonormierten Koordinaten bilden die drei Eins- Vektoren oder die drei Tangenteneinsvektoren ein glei
40、ch- schenkliges Ve k t o r d re i b e i n , bei dem jeder Eins- Vektor auf der von den beiden anderen gebildeten Ebene senkrecht steht. 7.2 Komponenten und Koordinaten eines Vektors Orthogonale Korn p o n e n ten eines Vektors A sind: beim kart e sis c h en Koordinatensystem die drei Vek- toren A, A
41、, A, in die sich der Vektor A in Richtung der Einsvektoren e, ey, eE zerlegen It; bei k r u m m I in ig e n orthogonal en Koordinaten- systemen die drei Vektoren A, A, A, in die sich der Vektor A in Richtung der Tangenteneinsvektoren e, e, e, zerlegen It. Die K o o r d i n at e n eines Vektors A sin
42、d gleich den Betrgen der entsprechenden orthogonalen Komponen- ten, wenn diese die gleiche Orientierung haben wie die Koordinatenachsen beim kartesischen Koordinaten- system bzw. die Tangenteneinsvektoren bei krummlinigen ortho- gonalen Koordinatensystemen. Sind die Richtungen von Komponente und Koo
43、rdinaten- achse bzw. Tangenteneinsvektor verschieden, so erhlt die Koordinate das negative Vorzeichen. Die Koordinaten eines Vektors A werden beim k a r t e s i s c h e n Koordinatensystem mit A, A, A, bei k r u m m I i ni g en o r t h o g on a I en Koordina- tensystemen mit A, A, A, bezeichnet. Es
44、gilt A, = Axe, A, = Ayey, A, = A,e, A, = Aue, A, = Aue, A, = Awe, und orthogonale Vektorkomponenten ALA ALA A = Axe, + A e + A,e,; A = Aue, + Aue, + Awe, I ,y y I 1 Vektorkoordinaten Bild 5 zeigt diese Zusammenhnge fr das kartesische Koordinatensystem. Die E i n sv e k t o re n e, ey, e, knnen darge
45、stellt werden als die drei orthogonalen K o m p o n e n t e n eines Raum- Vektors e vom Betrag fi, der vom Koordinatenursprung in Richtung der rumlichen Diagonale eines Quaders von der Seitenlange 1 vebluft. Es gilt: Die Koordinatendarstellung der Einsvektoren lautet: e= le,+ ley+ le,. e, = (1, O, O
46、). e, = (O, 1, O), 8 Schraubsinn Nach DIN 131 2 ist jedem rumlichen Koordinatensystem ein S c h r a u b s i n n zugeordnet. Dieser ist beim kart e - s i s c h e n Koordinatensystem der Schraubsinn der drei orientierten Koordinatenachsen, bei k r u m m I in i g e n o r t h o g on a I e n Koordinatens
47、ystemen der Schraubsinn des Vektordreibeins (e, e, e, ), sieheauch Abschnitt 7.1, letzter Absatz. Man unterscheidet Re c htssc h ra u b si n n und Linksschraubsinn, beide sind in DIN 1312 definiert. Ist der Rechtsschraubsinn zugeordnet, so heit das System ein R e c h t s s y s t e m , andernfalls ei
48、n L i n k s - s ys t e m. Sofern nicht fr besondere Anwendungs- gebiete, z. B. in der Astronomie und Geographie, Links- Systeme festgelegt sind, wird empfohlen, R e c h t s - s y s t e m e zu verwenden. In Bild 1 bis Bild 5 wurden orthogonale Rechtssysteme zugrunde gelegt. Anmerkungen Zu 2.3 Die Ben
49、ennung ,kartesisch“ oder ,cartesisch“ wird im Schrifttum auch in erweiterter Bedeutung fr geradlinige schief- winklige Koordinatensysteme verwendet. In dieser Norm wird die auf ,orthogonal und normiert“ eingeschrnkte Bedeutung von ,kartesisch“ empfohlen. Zu 2.4 In DIN 461 und in DIN 5478 wird beschrieben, wie man den Koordinaten, die die Dimension einer Lnge haben, Gren anderer Art zuordnet und die Koordinaten d
