1、DIN1 DIN 5473 92 I 2794942 01775LL Lb3 I DK 510.2 : 001.4 : 003.62 DEUTSCHE NORM Juli 1992 I I Logik und Mengenlehre Zeichen und Begriffe I 5473 Alleinverkauf der Normen durch Beuth Verlag GmbH. Burggrafenstrae 6, 1000 Berlin 30 07.92 DIN 5473 Jull992 Preisgr. I7 Vertr.-Nr. O011 Logic and set theory
2、; symbols and concepts Ersatz fr Ausgabe 06.76 und DIN 5474/09.73 Inhalt Seite Anwendungsbereich und Zweck . 1 Festlegung des begrifflichen Rahmens . 2 Logik . 5 Klassen und Mengen . 10 Standard-Zahlenmengen 1 3 Relationen . 14 Funktionen 18 Strukturen . 23 Kardinalzahlen 25 Anmerkungen 27 1 Anwendu
3、ngsbereich und Zweck In dieser Norm werden Zeichen und Begriffe der Logik und Mengenlehre behandelt. Eingeschlossen sind dabei Zeichen und Begriffe, die Relationen und Funktionen betreffen. Der Zweck der Norm ist es, fr Anwender in Schule, Hochschule, Wissenschaft und Technik einen in sich konsisten
4、ten Satz von Bezeichnungen und Festlegungen auszuwhlen, um dadurch zur Vereinheitlichung beizutragen und die Kommunikation zu erleichtern. Gegenstand der Norm sind in erster Linie die Zeichen und Begriffe. Die angegebenen Sprechweisen knnen nicht in jedem Fall wrtlich eingehalten werden, wenn man fo
5、rmale Ausdrcke verbalisieren will; hnliche Ausdrucks- weisen knnen ebenfalls annehmbar sein. Die vorliegende Norm ist mit DIN 1302/08.80 vertrglich und entspricht IS0 31 - 1 1 : 1978, Abschnitte 1 und 2, fhrt aber darber hinaus. Fortsetzung Seite 2 bis 29 Norrnenausschu Einheiten und Forrnelgren (AE
6、F) irn DIN Deutsches Institut fr Normung e.V DIN1 DIN 5473 92 I 2794442 DI177512 OTT Seite 2 DIN 5473 2 Festlegung des begrifflichen Rahmens Diese Norm enthlt begriffliche Festlegungen sehr allgemeiner Art. Es ist deshalb erforderlich, den zugrundegelegten begrifflichen Rahmen nher zu beschreiben. 2
7、.1 Individuen Es werden gewisse Objekte vorausgesetzt, die als Individuen bezeichnet werden und ber die man Aussagen machen mchte. Individuen treten als Elemente von Klassen auf, zwischen Individuen knnen Relationen bestehen, Individuen knnen Argumente und Werte von Funktionen sein. Dabei brauchen I
8、ndividuen nicht (wie es vielleicht der Name vermuten lut) unteilbar und ohne innere Struktur zu sein, vielmehr knnen sie durchaus aus anderen Objekten aufgebaut sein. Es ist ein Zweck der Mengenlehre, mglichst viele Objekte als Individuen verfgbar zu machen, darunter insbesondere mathematische Objek
9、te wie Zahlen, Punkte, Rume verschiedener Art, interessierende Relationen und Funktionen u. a. Die Gesamtheit der Individuen ist in der Mengenlehre mglichst umfassend intendiert. Daneben ist es oft zweckmig, Individuen einer bestimmten Sorte auszuzeichnen, etwa Zahlen einer bestimmten Art, Punkte ei
10、nes Raumes, bestimmte physikalische Objekte, Schler in einem Klassenzimmer o.: : 3 N a, -3 E O LL 9 % U i o O :O .- - E CI v) .- I! 9 O v =? m 9 n 8 U DIN1 DIN 5473 92 m 2794442 L775L9 454 m DIN 5473 Seite 9 E 2 e al C al U c :a v) - i3 z W c al al L f E 9- A 8 v Y Y o L al hh 9 h II I L al .- Ei *
11、w L (d a, al c -9 al u= al- 9 + ye Seite 10 DIN 5473 c a, 2 s 9 1_ s n n r 9 -? “! m DINI, DIN 5473 92 2794442 O1177520 1176 P c O I a, w - E, W v) U w .- P W U - P W U - r P E - E * C a, W o c v) U .- + .- P tt) U Y Y E O LL m m 3 7 Y - 7 Y Y 23 -? DIN1 DIN 5473 92 2774442 0177521 O02 W DIN 5473 Se
12、ite 11 c a, c a, w a, U w - 5 + .- E u= p: 2 .- 5 .E $5 .- v)c *i- v) .u, Xe .- n p: il= U M X O o! (D O 7 cri DINL DIN 5473 92 2794442 0377527 520 DIN 5473 Seite 17 T + 3 (d X a, c Y a 8 w .- % T u- 3 a X a, C C O Y E v) a + .- fx O a Y % U v- Y (D a: T Seite 18 DIN 5473 Q) S Q) w 5 F a ma, aal .a
13、.G .u, .u, % +w A % LL - Y n o r 3 U - E 2Q wc v) .- .- %Y %Y %Y Q t Y (d .- e c. i 5 Y UJ c, .- O 8 8 3 O Y II A 2c N- h F Y II o o, u Y II O T W F DINE DIN 5q73 92 I 2794442 0177533 824 t a ao a a- - n %- u DIN 5473 Seite 23 I -u L 3 3 Y 2 L + 2 cn a, - L .- Qi +rg rg q UI Irg T q .z m Seite 24 DI
14、N 5473 v) z g :Q v) E .- E =r -5 y c - .E c O -E: c. (9 a3 o! a3 DIN1 DIN 5473 92 2794442 0177535 bT7 DIN 5473 Seite 25 a U - i l- 7- aj = c 9 f 2 Q 1 p: Y o; Seite 26 DIN 5473 - Q X Y - 30 5s a 3: O % c9 m o, m DIN1 DIN 5473 92 = 2794442 0377537 47T I NOR, weder noch DIN 5473 Seite 27 Replikation,
15、Ant ivalenz, falls entweder oder, XOR Anmerkungen ww FW WF FF Zu 3.1 Weitere Junktoren Die in der Norm angegebenen Junktoren werden in erster Linie zur Verwendung empfohlen. Die folgende Tabelle gibt weitere Junktoren an, zusammen mit Benennungen und Bezeichnungen: F W Benennung W W W F NAND F W W W
16、 - V F I w I F F I F Iw Die Zeichen , v, + werden in der Informatik fr die Angabe von Schaltfunktionen verwendet (siehe DIN 44300 Teil 5/11.88 und DIN 66 000/11.85). Fr NOR findet man in der Logik auch den Peirce-Pfeil 1, der an ein durchgestrichenes v erinnert, fr NAND kann ent- sprechend T verwend
17、et werden. KI am m er r e g e In Um deutlich zu machen, welche Teile eines sprachlichen Ausdrucks zusammengehren, kann man Klammern verwenden. Hier werden als Gliederungsklammern (die keine weitere Bedeutung tragen) ausschlielich runde Klammern ( und 1 empfohlen, da andere Klammern oft zustzlich ein
18、e spezifische Bedeutung haben. Gliederungsklammern drfen entfallen, wenn auf Grund von Verabredungen klar ist, was zusammengehrt. Es ist auch erlaubt, zustzliche Klammern zu setzen, wenn das die bersichtlichkeit des Ausdrucks erhht. ber die Bindungsstrke von Junktoren werden die folgenden Klammerreg
19、eln vorgeschlagen: (a) (b) A, v binden strker als -, -, aber A, v unter sich sowie -3, c) unter sich binden gleichstark. (c) In mehrgliedrigen Konjunktionen und in mehrgliedrigen Disjunktionen mit Klammerung nach links knnen diese Klammern weggelassen werden. (d) Auenklammern einer einzeln stehenden
20、 Formel knnen gesetzt oder weggelassen werden. Beispiele: (1) Wenn man eine Formel cp A $ (gem (d) ohne Auenklammern) quantifiziert, so mssen Klammern (die dann keine Auenklammern sind) gesetzt werden. Es hat vx cp A $ eine andere 1 bindet strker als zweistellige Junktoren. DIN3 DIN 5473 92 W 279444
21、2 0377538 30b = Seite 28 DIN 5473 Bedeutung als t/x(p A $4. (2) Gem Regel (c) ist A pj dasselbe wie p, AV, A . . . AV,. (3) Die Formel (p A $4 A 8) + (8 -+ cp) kann als cp A $A 8 -+ (8 -+ cp) abgekrzt werden. Weitere Klammern knnen nicht weggelassen werden. In mehrgliedrigen Konjunktionen und Disjun
22、ktionen knnen Klammern generell entfallen, wenn es nur auf logische quivalenz ankommt, da diese Junktoren bis auf logische quivalenz assoziativ sind. Klammerfreie mehrgliedrige Schreibweisen werden aber nur fr Konjunktion und Disjunktion empfohlen, da nur sie dabei der natrlichen Bedeutung entsprech
23、en. So ist 2.6. die Antivalenz + zwar bis auf logische quivalenz assoziativ, aber iterierte Antivalenz ist kein mehrstelliges Entweder-oder. n i= 1 Zu 8.1 Man bezeichnet gelegentlich auch das Tupel aus den ausgezeichneten Elementen, Funktionen und Relationen als Struktur auf dem Trger und das Paar a
24、us Trger und der Struktur in diesem Sinne als System. Zur Bezeichnung von Strukturen nimmt man meist groe Buchstaben einer besonderen Schriftart wie Skript, Fraktur oder Schreibschrift und fr den Trger dann den entsprechenden groen Antiquabuchstaben. Der hier betrachtete Strukturbegriff ist der einf
25、achste, doch fallen sehr viele in der Mathematik vorkommende Arten von Strukturen darunter, z. B. Gruppen, Ringe, Krper, Verbnde, Ordnungsstrukturen. Es treten aber auch Strukturen mit mehreren Trgermengen auf (z. B. Vektorrume, geometrische Strukturen), Strukturen mit partiellen Verknpfungen sowie
26、Strukturen mit ausgezeichneten Mengensystemen (z. B. topologische Strukturen). Fr weitere Einzelheiten wird. auf DIN 13 302/06.78 verwiesen. zu 9.9 Ordinalzahlen sind Invarianten von Wohlordnungen bezglich Isomorphie (so wie Kardinalzahlen Invarianten von Mengen bezglich Gleichzahligkeit sind). Dabe
27、i ist eine Wohlordnung auf einer Klasse A eine strikte lineare Ordnung auf A (d.h. eine Relation, die transitiv, asymmetrisch und semikonnex auf A ist), so da die Vorgnger jedes Elementes eine Menge bilden und jede nichtleere Teilmenge von A ein kleinstes Element hat. Auf einer endlichen Menge ist j
28、ede strikte lineare Ordnung eine Wohlordnung, und die endlichen Ordinalzahlen kann man mit den endlichen Kardinalzahlen, d.h. mit den natrlichen Zahlen gleichsetzen. Die Ordinalzahlen sind selbst wohlgeordnet, bilden aber keine Menge. Sie werden oft, wie auch natrliche Zahlen, als Indizes verwendet.
29、 Sie sind dafr in universeller Weise brauchbar, da sich die Elemente jeder Menge mit Ordinalzahlen durchindizieren lassen. a e e e Zitierte Normen DIN 1302 DIN 13 302 DIN 44 300 Teil 5 DIN 66000 IS0 31-11 11978 DIN1 DIN 5473 92 W 2794442 0177539 242 I DIN 5473 Seite 29 Allgemeine mathematische Zeich
30、en und Begriffe Mathematische Strukturen: Zeichen und Begriffe Informationsverarbeitung; Begriffe, Aufbau digitaler Rechensysteme Informationsverarbeitung: Mathematische Zeichen und Symbole Schaltalgebra Mathematical signs and symbols for use in the physical sciences and technology der Weitere Unter
31、lagen BARWISE, Jon (Hrsg.) : Handbook of Mathematical Logic. Amsterdam: North-Holland Publ. Comp., 1977 EBBINGHAUS, Heinz-Dieter ; FLUM, Jrg ; THOMAS, Wolfgang: Einfhrung in die mathematische Logik. 2. Aufl. Darmstadt : Wissensch. Buchges., 1986 LEVY, Azriel: Basic Set Theory, Berlin : Springer Verl
32、ag, 1979 Frhere Ausgaben DIN 5473 : 11.74, 06.76, DIN 5474 : 09.73 nderungen Gegenber der Ausgabe Juni 1976 und DIN 5474/09.73 wurden folgende nderungen vorge- nommen: a) b) Als Quantoren werden nur noch die Zeichen b ,3 empfohlen. c) d) e) f) Der Abschnitt ber Strukturen ist wesentlich erweitert wo
33、rden. g) DIN 5473 wurde mit DIN 5474 zusammengefat. Die Zeichen A ,V werden zur Darstellung iterierter Konjunktionen und Disjunktionen genommen. Das Verkettungszeichen o wurde durch o ersetzt, das Verkettungszeichen o wird durch Hintereinanderschreiben der Operanden dargestellt. Die Modaloperatoren O, 0 und a, wurden aufgenommen. Der Inhalt wurde vollstndig berarbeitet.
