1、August 2007DEUTSCHE NORM Normenausschuss Qualittsmanagement, Statistik und Zertifizierungsgrundlagen (NQSZ) im DINPreisgruppe 14DIN Deutsches Institut fr Normung e.V. Jede Art der Vervielfltigung, auch auszugsweise, nur mit Genehmigung des DIN Deutsches Institut fr Normung e.V., Berlin, gestattet.IC
2、S 03.120.30!,xf0“9856713www.din.deDDIN ISO 16269-7Statistische Auswertung von Daten Teil 7: Median Deutsch, EnglischStatistical interpretation of data Part 7: Median Estimation and confidence intervals (ISO 16269-7:2001); Text in German, EnglishInterprtation statistique des donnes Partie 7: Mdiane E
3、stimation et intervalles de confiance (ISO 16269-7:2001); Texte en allemand, anglaisAlleinverkauf der Normen durch Beuth Verlag GmbH, 10772 Berlin www.beuth.deGesamtumfang 27 SeitenPunktschtzung und Vertrauensbereiche (ISO 16269-7:2001);Text inDIN ISO 16269-7:2007-08 2 Nationales Vorwort Dieses Doku
4、ment wurde im Technischen Komitee ISO/TC 69, Anwendung statistischer Verfahren, vom frheren Unterkomitee 3, Anwendung statistischer Verfahren in der Normung, erarbeitet, dessen Sekretariat von AFNOR (Frankreich) gehalten wurde. Das zustndige deutsche Gremium ist der Arbeitsausschuss NA 147-00-02 AA,
5、 Angewandte Statistik, im Normenausschuss Qualittsmanagement, Statistik und Zertifizierungsgrundlagen. Anhang A und Anhang B dieses Teils von ISO 16269 dienen nur zur Information. Der NA 147-00-02 AA bevorzugt das im Anhang A dargestellte klassische Verfahren, weil dieses im Gegensatz zu der Methode
6、, die im Hauptteil der Norm dargestellt ist, universell fr alle Stichprobenumfnge und fr alle Vertrauensniveaus anwendbar ist. Es wird auf die Mglichkeit hingewiesen, dass fr Teile dieses Teils von ISO 16269 Patentrechte bestehen knnen. Das DIN bernimmt keine Verantwortung fr die Kennzeichnung solch
7、er Rechte. Die Normenreihe ISO 16269 umfasst unter dem Haupttitel Statistische Auswertung von Daten die folgenden Teile, von denen sich einige noch in Erarbeitung befinden: Teil 1: Leitfaden zur statistischen Auswertung von Daten Teil 2: Darstellung statistischer Daten Teil 3: Tests auf Abweichung v
8、on der Normalverteilung Teil 4: Erkennung und Behandlung von Ausreiern Teil 5: Schtzung und Tests fr Mittelwerte und Varianzen fr die Normalverteilung, mit Gtefunktionen der Tests Teil 6: Ermittlung von statistischen Anteilsbereichen Teil 7: Median Punktschtzung und Vertrauensbereiche Teil 8: Ermitt
9、lung von Prognosebereichen DIN ISO 16269-7:2007-08 3 Leerseite DIN ISO 16269-7:2007-08 4 Statistische Auswertung von Daten Teil 7: Median Punktschtzung und Vertrauensbereiche Inhalt Seite1 Anwendungsbereich. 62 Normative Verweisungen. 63 Begriffe und Formelzeichen 63.1 Begriffe 63.2 Formelzeichen. 8
10、4 Anwendbarkeit 85 Punktschtzung 86 Vertrauensbereich 106.1 Allgemeines. 106.2 Klassisches Verfahren . 106.3 Kleine Stichproben (5 n 100) 106.4 Groe Stichproben (n 100) 14Anhang A (informativ) Klassisches Verfahren zur Ermittlung von Vertrauensgrenzen fr den Median 18Anhang B (informativ) Beispiele
11、.20Tabellen Tabelle 1 Genaue Werte von k fr Stichprobenumfnge von 5 bis 100: einseitig begrenzter Fall . 12begrenzter Fall 13Tabelle 3 Werte von u und c fr den einseitig begrenzten Fall. 16Tabelle 4 Werte von u und c fr den zweiseitig begrenzten Fall. 16Formbltter Formblatt A Berechnung eines Schtzw
12、erts fr den Median der Grundgesamtheit . 21Formblatt B Berechnung eines Vertrauensbereichs fr den Median 26Tabelle 2 Genaue Werte von k fr Stichprobenumfnge von 5 bis 100: zweiseitig DIN ISO 16269-7:2007-08 5 Statistical interpretation of data Part 7: Median Estimation and confidence intervals Conte
13、nts Page1 Scope72 Normative references73 Terms, definitions and symbols 73.1 Terms and definitions .73.2 Symbols94 Applicability .95 Point estimation.96 Confidence interval .116.1 General .116.2 Classical method.116.3 Small samples (5 n 100).116.4 Large samples (n 100) 15Annex A (informative) Classi
14、cal method of determining confidence limits for the median .19Annex B (informative) Examples .21Tables Table 1 Exact values of k for sample sizes varying from 5 to 100: one-sided case12Table 2 Exact values of k for sample sizes varying from 5 to 100: two-sided case13Table 3 Values of u and c for the
15、 two-sided case16Table 4 Values of u and c for the two-sided case16Forms Form A Calculation of an estimate of a median .23Form B Calculation of a confidence interval for a median27DIN ISO 16269-7:2007-08 6 1 Anwendungsbereich Dieser Teil von ISO 16269 legt die Verfahren fest, mit denen ein Punktscht
16、zwert und Vertrauensbereiche fr den Median einer beliebigen stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Grundgesamtheit auf der Grundlage einer Zufallsstichprobe aus dieser Grundgesamtheit ermittelt werden. Diese Verfahren sind verteilungsfrei,das heit sie erfordern keine Kenntnis der Familie von V
17、erteilungsfunktionen, zu der die Verteilung der Grundgesamtheit gehrt. hnliche Verfahren knnen zur Schtzung von Quartilen und Perzentilen angewen-det werden. ANMERKUNG Der Median ist das zweite Quartil und das fnfzigste Perzentil. hnliche Verfahren fr andere Quartileoder Perzentile werden in diesem
18、Teil von ISO 16269 nicht beschrieben. 2 Normative Verweisungen Die folgenden normativen Dokumente enthalten Festlegungen, die durch Verweisung in diesem Text Bestandteil dieses Teils von ISO 16269 sind. Bei datierten Verweisungen, nachfolgenden Ergnzungen oder Revisionen gilt keine dieser neueren Au
19、sgaben. Vertragspartner, deren Vereinbarungen auf diesem Teil vonISO 16269 basieren, werden jedoch gebeten, die Mglichkeit zu prfen, ob die jeweils neuesten Ausgabender im Folgenden genannten normativen Dokumente angewendet werden knnen. Bei undatierten Verweisungen gilt die letzte Ausgabe des in Be
20、zug genommenen normativen Dokuments. Die Mitglieder von IEC und ISO fhren Verzeichnisse der gegenwrtig gltigen Internationalen Normen. ISO 2602, Statistische Auswertung von Ermittlungsergebnissen Schtzung des Erwartungswertes Vertrauensbereich ISO 3534-1, Statistik Begriffe und Formelzeichen Teil 1:
21、 Wahrscheinlichkeit und allgemeine statistische Begriffe 3 Begriffe und Formelzeichen 3.1 Begriffe Fr die Anwendung dieses Teils von ISO 16269 gelten die Begriffe nach ISO 2602 und ISO 3534-1 und die folgenden Begriffe. 3.1.1 k-te Ranggre einer Stichprobe Wert des k-ten Elements in einer Stichprobe,
22、 wenn die Elemente in nicht-absteigender Wertefolge geordnet sind ANMERKUNG Fr eine Stichprobe mit n Elementen in nicht-absteigender Wertefolge ist die k-te Ranggre xk. Dabei ist x1 x2 xn3.1.2 Median einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung Wert, fr den die Anteile der Verteilung zu beiden Seite
23、n des Wertes jeweils genau einer Hlfte entsprechen ANMERKUNG In diesem Teil von ISO 16269 wird der Median einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung Median der Grundgesamtheit genannt und mit dem Symbol M bezeichnet. DIN ISO 16269-7:2007-08 7 1 Scope This part of ISO 16269 specifies the procedures
24、 for establishing a point estimate and confidence intervals for the median of any continuous probability distribution of a population, based on a random sample size from the population. These procedures are distribution-free, i.e. they do not require knowledge of the family of distributions to which
25、 the population distribution belongs. Similar procedures can be applied to estimate quartiles and percenttiles. NOTE The median is the second quartile and the fiftieth percentile. Similar procedures for other quartiles or percentiles are not described in this part of ISO 16269. 2 Normative reference
26、s The following normative documents contain provisions which, through reference in this text, constitute provisions of this part of ISO 16269. For dated references, subsequent amendments to, or revisions of, any of these publications do not apply. However, parties to agreements based on this part of
27、 ISO 16269 are encouraged to investigate the possibility of applying the most recent editions of the normative documents indicated below. For undated references, the latest edition of the normative document referred to applies. Members of ISO and IEC maintain registers of currently valid Internation
28、al Standards. ISO 2602, Statistical interpretation of test results Estimation of the mean Confidence interval ISO 3534-1, Statistics Vocabulary and symbols Part 1: Probability and general statistical terms 3 Terms, definitions and symbols 3.1 Terms and definitions For the purposes of this part of IS
29、O 16269, the terms and definitions given in ISO 2602 and ISO 3534-1 and the following apply. 3.1.1 kth order statistic of a sample value of the kth element in a sample when the elements are arranged in non-decreasing order of their values NOTE For a sample of n elements arranged in non-decreasing or
30、der, the kth order statistics is xkwhere x1 x2 xn3.1.2 median of a continuous probability distribution value such that the proportions of the distribution lying on either side of it are both equal to one half NOTE In this part of ISO 16269, the median of a continuous probability distribution is call
31、ed the population median and is denoted by M. DIN ISO 16269-7:2007-08 8 3.2 Formelzeichen a untere Wertegrenze der Variablen in der Grundgesamtheit b obere Wertegrenze der Variablen in der Grundgesamtheit C Vertrauensniveau c Konstante zur Ermittlung des Wertes von k in Gleichung (1) k Rangzahl der
32、fr die untere Vertrauensgrenze verwendeten Ranggre M Median der Grundgesamtheit n Stichprobenumfang T1 aus einer Stichprobe abgeleitete untere Vertrauensgrenze T2 aus einer Stichprobe abgeleitete obere Vertrauensgrenze u Quantil der standardisierten Normalverteilung xi i-tes kleinstes Element in ein
33、er Stichprobe, wenn die Elemente in nicht-absteigender Wertefolge geordnet sind xMedian der Stichprobe y mit Hilfe von Gleichung (1) berechneter Zwischenwert zur Ermittlung von k 4 Anwendbarkeit Das in diesem Teil von ISO 16269 beschriebene Verfahren ist fr jede stetige Grundgesamtheit gltig, sofern
34、 die Stichprobe zufllig entnommen wird. ANMERKUNG Kann angenommen werden, dass die Verteilung der Grundgesamtheit nherungsweise eine Normalverteilung ist, so ist der Median der Grundgesamtheit nherungsweise gleich dem Mittelwert der Grundgesamtheit,und die Vertrauensgrenzen sollten in bereinstimmung
35、 mit ISO 2602 berechnet werden. 5 Punktschtzung Ein Punktschtzwert fr den Median der Grundgesamtheit ist durch den Median der Stichprobe, x% , gegeben. Der Median der Stichprobe ergibt sich durch Nummerierung der Stichprobeneinheiten in nicht-absteigender Wertefolge. Er ist dann fr ungerade n der We
36、rt mit der Rangzahl (n + 1)/2 oder fr gerade n der arithmetische Mittelwert der Werte mit den Rangzahlen (n/2) und (n/2) + 1. ANMERKUNG Dieser Schtzwert ist fr asymmetrische Verteilungsfunktionen im Allgemeinen nicht erwartungstreu; ein fr jegliche Grundgesamtheit erwartungstreuer Schtzwert existier
37、t jedoch nicht. DIN ISO 16269-7:2007-08 9 3.2 Symbols a lower bound to the values of the variable in the population b upper bound to the values of the variable in the population C confidence level c constant used for determining the value of k in equation (1) k number of the order statistic used for
38、 the lower confidence limit M population median n sample size T1 lower confidence limit derived from a sample T2 upper confidence limit derived from a sample u fractile of the standardized normal distribution xi ith smallest element in a sample when the elements are arranged in a non-decreasing orde
39、r of their values xsample median y intermediate value calculated to determine k using equation (1) 4 Applicability The method described in this part of ISO 16269 is valid for any continuous population, provided that the sample is drawn at random. NOTE If the distribution of the population can be ass
40、umed to be approximately normal, the population median is approximately equal to the population mean and the confidence limits should be calculated in accordance with ISO 2602. 5 Point estimation A point estimate of the population median is given by the sample median, x% . The sample median is obtai
41、ned by numbering the sample elements in non-decreasing order of their values and taking the value of the (n + 1)/2th order statistic, if n is odd, or the arithmetic mean of the (n/2)th and (n/2) + 1th order statistics, if n is even. NOTE This estimator is in general biased for asymmetrical distribut
42、ions, but an estimator that is unbiased for any population does not exist. DIN ISO 16269-7:2007-08 10 6 Vertrauensbereich 6.1 Allgemeines Ein zweiseitig abgegrenzter Vertrauensbereich fr den Median der Grundgesamtheit ist ein geschlossenes Intervall T1, T2. Dabei ist T1100) Fr Stichprobenumfnge grer
43、 als 100 kann fr das Vertrauensniveau (1 ) ein Nherungswert von k als ganzzahliger Teil des aus folgender Gleichung gewonnenen Wertes ermittelt werden: += cnnuny4,01121(1) Dabei ist u ein Quantil der standardisierten Normalverteilung; Werte von u werden in Tabelle 3 fr einen einseitig begrenzten Ver
44、trauensbereich und in Tabelle 4 fr einen zweiseitig begrenzten Vertrauensbereich angegeben; c wird in Tabelle 3 fr einen einseitig begrenzten Vertrauensbereich und in Tabelle 4 fr einen zweiseitig begrenzten Vertrauensbereich angegeben. Die mithilfe der empirischen Gleichung (1) ermittelten Werte vo
45、n k stehen in vlliger bereinstimmung mit den in Tabelle 1 und Tabelle 2 aufgefhrten genauen Werten. Vorausgesetzt, dass alle acht Nachkommastellenvon u erhalten bleiben, ist diese Nherung uerst genau und liefert die genauen Werte fr k fr alle acht Vertrauensniveaus bei allen Stichprobenumfngen von 5
46、 bis ber 280 000, und zwar sowohl fr einseitig als auch fr zweiseitig begrenzte Vertrauensbereiche. Ein Beispiel fr die Berechnung der Vertrauensgrenzen fr groe Stichproben wird im Abschnitt B.2 gegeben und im Formblatt B in Anhang B dargestellt. ANMERKUNG Zur leichteren Handhabung werden die Werte
47、von c in Tabelle 3 und Tabelle 4 auf die Mindestanzahl Nachkommastellen angegeben, die erforderlich ist, um die grtmgliche Genauigkeit der Gleichung (1) zu erreichen. DIN ISO 16269-7:2007-08 15 6.4 Large samples (n 100) For sample sizes in excess of 100 sampling units, an approximation of k for the
48、confidence level (1 ) may be determined as the integer part of the value obtained from the following equation: += cnnuny4,01121(1) where u is a fractile of the standardized normal distribution; values of u are given in Table 3 for a one-sided confidence interval and in Table 4 for a two-sided interv
49、al; c is given in Table 3 for a one-sided confidence interval and in Table 4 for a two-sided interval. The values of k obtained by means of the empirical equation (1) are in complete agreement with the correct values given in Tables 1 and 2. Provided all 8 decimal places of u are retained, this approximatio
