1、UNIN INTERNACIONAL DE TELECOMUNICACIONESUIT-T E.507SECTOR DE NORMALIZACINDE LAS TELECOMUNICACIONESDE LA UITRED TELEFNICA Y RDSICALIDAD DE SERVICIO, GESTIN DE LA REDE INGENIERA DE TRFICOMODELOS PARA LA PREVISINDEL TRFICO INTERNACIONALRecomendacin UIT-T E.507(Extracto del Libro Azul)NOTAS1 La Recomend
2、acin UIT-T E.507 se public en el fascculo II.3 del Libro Azul. Este fichero es un extracto delLibro Azul. Aunque la presentacin y disposicin del texto son ligeramente diferentes de la versin del Libro Azul, elcontenido del fichero es idntico a la citada versin y los derechos de autor siguen siendo l
3、os mismos (Vase acontinuacin).2 Por razones de concisin, el trmino Administracin se utiliza en la presente Recomendacin para designar auna administracin de telecomunicaciones y a una empresa de explotacin reconocida. UIT 1988, 1993Reservados todos los derechos. No podr reproducirse o utilizarse la p
4、resente Recomendacin ni parte de la misma decualquier forma ni por cualquier procedimiento, electrnico o mecnico, comprendidas la fotocopia y la grabacin enmicropelcula, sin autorizacin escrita de la UIT.Fascculo II.3 - Rec. E.507 1Recomendacin E.5071)Fascculo II.3 - Rec. E.507MODELOS PARA LA PREVIS
5、IN DEL TRFICO INTERNACIONAL1 IntroduccinPara elaborar modelos economtricos y de series cronolgicas y formular las previsiones correspondientes hayque dominar diversos mtodos y tcnicas que tratan una variedad de situaciones diferentes. As pues, el propsito de estaRecomendacin es exponer algunas de la
6、s ideas fundamentales sin entrar en explicacin de detalles, para los cualespueden consultarse las publicaciones citadas en la lista de referencias. No pretende, por tanto, constituir una guacompleta para la elaboracin de modelos economtricos y de series cronolgicas y la formulacin de las previsiones
7、consiguientes.La presente Recomendacin contiene tambin algunas directrices para la elaboracin de diversos modelos deprevisin: identificacin del modelo, inclusin de variables explicativas, ajuste de irregularidades, estimacin deparmetros, verificacin del diagnstico, etc.Esta Recomendacin describe ade
8、ms diversos mtodos para evaluar los modelos de previsin y elegir elmodelo.2 Elaboracin del modelo de previsinA fin de facilitar la descripcin de este procedimiento, cabe dividirlo en cuatro etapas. La primera consiste en labsqueda de una clase de modelos tiles para describir la situacin real. Ejempl
9、os de tales clases son los modelossimples, los modelos de suavizamiento, los modelos de autorregresin, los modelos de autorregresin integrados conmedia mvil (autoregressive integrated moving average, ARIMA) o los modelos economtricos. Antes de elegir la clasede modelos ha de analizarse la influencia
10、 de las variables externas. Si determinadas variables externas tienenrepercusiones importantes en la demanda de trfico, se las debe incluir en los modelos de previsin, siempre que sedisponga de datos anteriores suficientes.El paso siguiente consiste en adoptar, a ttulo de ensayo un modelo determinad
11、o, dentro de la clase de modelosseleccionada. Si la clase es demasiado extensa para que resulte prctico efectuar ajustes directos a los datos, puedenutilizarse mtodos aproximados para identificar subclases. Los datos disponibles y el conocimiento del sistema sugerirnuna subclase de modelos de extens
12、in apropiada. Asimismo, en algunos casos, puede utilizarse este procedimiento deseleccin para obtener estimaciones preliminares aproximadas de los parmetros del modelo. Seguidamente, el modeloprovisional se ajusta a los datos mediante la estimacin de los parmetros. De ordinario, se emplean estimador
13、es de losmtodos de los mnimos cuadrados, o de la mxima verosimilitud.La etapa siguiente es la verificacin del modelo. Este procedimiento se denomina a menudo verificacin deldiagnstico. Su objeto es establecer la medida en que el modelo se ajusta a los datos y si la discrepancia se consideraexcesiva,
14、 indicar posibles remedios. As pues, el resultado de esta etapa puede ser la adopcin del modelo, si el ajustefuese aceptable. Si, en cambio, ste fuese insuficiente, ello indicar que deben estimarse los parmetros de nuevosmodelos provisionales y efectuar en stos la verificacin del diagnstico.1)El tex
15、to de la antigua Recomendacin E.506 del Libro Rojo, al que se ha aadido un volumen considerable de nuevos textos,se ha convertido en las Recomendaciones E.506 y E.507 actuales.2 Fascculo II.3 - Rec. E.507En la figura 1/E.507 estn representadas las etapas del procedimiento de elaboracin del modelo.Et
16、apas del procedimiento de elaboracin del modelo3 Diferentes modelos de previsinEl objetivo de este 3 es dar una breve descripcin general de los modelos de previsin ms importantes. En elManual del GAS 10 citado en 5, figura una descripcin ms detallada de los modelos.3.1 Modelos de ajuste de curvasEn
17、los modelos de ajuste de curvas la tendencia del trfico se extrapola calculando los valores de los parmetrosde una funcin que se prev caracterice el crecimiento del trfico internacional con el tiempo. Los clculos numricospara algunos modelos de ajuste de curvas pueden efectuarse utilizando el mtodo
18、de los mnimos cuadrados.A continuacin se dan ejemplos de modelos de ajuste de curvas corrientes utilizados para la previsin del trficointernacional:Lineal: Ytabt=+(3-1)Parablica: Yabtctt= +2(3-2)Exponencial: Yaetbt= (3-3)Logstica: YMaetbt=+1(3-4)Gompertz: ()YMatbt= (3-5)dondeYtes el trfico en el ins
19、tante t,a, b, c son parmetros,M es un parmetro que describe el nivel de saturacin.En las figuras 2/E.507 y 3/E.507 se muestran las diversas curvas de tendencia.Las curvas logstica y de Gompertz difieren de las curvas lineal, parablica y exponencial porque tiene un nivelde saturacin o asinttico. Para
20、 informacin ms detallada vase 10.Fascculo II.3 - Rec. E.507 3Ejemplo de ajuste del trfico telefnico internacional utilizando diferentes modelosEjemplos de ajuste de curvas4 Fascculo II.3 - Rec. E.5073.2 Modelos de suavizadoEmpleando un proceso de suavizado en el ajuste de curvas, es posible calcular
21、 los parmetros del modelo demodo que se ajusten perfectamente a los datos actuales, pero no necesariamente a los datos obtenidos hace ya tiempo.El proceso de suavizado ms conocido es el de la media mvil. El grado de suavizado est controlado por elnmero de observaciones ms recientes incluidas en la m
22、edia. Todas las observaciones incluidas en la media tienen lamisma ponderacin.Adems de los modelos de media mvil, existe otro grupo de modelos de suavizado basados en la ponderacinde las observaciones. Los modelos ms corrientes son:- suavizado exponencial simple,- suavizado exponencial doble,- regre
23、sin con descuento,- mtodo de Holt,- modelos estacionales de Holt-Winters.Por ejemplo, en el mtodo del suavizado exponencial, la ponderacin de las observaciones anteriores disminuyegeomtricamente con el tiempo de acuerdo con la siguiente ecuacin:$()$m= - +m-tttaY a11(3-6)donde:Ytes el trfico medido e
24、n el instante t,mtes el nivel estimado en el instante t, ya es el factor de descuento y (1 - a) es el parmetro de suavizado.La repercusin de las observaciones anteriores sobre las previsiones est controlada por la magnitud del factordescuento.La utilizacin de modelos de suavizado es especialmente ad
25、ecuada para previsiones a corto plazo. Para msinformacin vanse 1, 5 y 9.3.3 Modelos de autorregresinSi la demanda de trfico, Xt, en el instante t se puede expresar como una combinacin lineal de anterioresobservaciones equidistantes de la demanda de trfico pasada, el proceso es un proceso de autorreg
26、resin. En tal caso elmodelo viene definido por:XX X Xatt t ptpt=+- -FF F11 2 2.(3-7)dondeates el ruido blanco en el instante t;F con k, k = 1, .p son los parmetros de autorregresin.AR(p) denota el modelo puesto que el orden del modelo es p.Se pueden estimar los parmetros utilizando anlisis de regres
27、in. Debido a tendencias comunes, las variablesexgenas (Xt-1, Xt-2, . Xt-p) suelen guardar una estrecha correlacin. Por consiguiente, las estimaciones de losparmetros estarn correlacionadas. Por otra parte, es difcil hacer pruebas significativas de las estimaciones.Otra posibilidad consiste en calcul
28、ar los coeficientes empricos de autocorrelacin y utilizar seguidamente lasecuaciones de Yule-Walker para estimar los parmetros Fk. Este procedimiento puede aplicarse cuando las seriescronolgicas Xt son estacionarias. Si no lo fuesen, stas a menudo podrn convertirse en estacionarias, por ejemplodifer
29、enciando las series. El procedimiento de estimacin se indica en el A.1.Fascculo II.3 - Rec. E.507 53.4 Modelos de autorregresin integrados con media mvil (modelos ARIMA, autoregressive integrated movingaverage)Una extensin de la clase de los modelos de autorregresin que incluye los modelos de media
30、mvil se denominamodelos de autorregresin de media mvil (modelos ARIMA, autoregressive integrated moving average). Un modelo demedia mvil de orden q viene dado por la expresinXa a a att t t qtq=- - - -qq q11 2 2. (3-8)dondeates el ruido blanco en el instante t; q k son los parmetros de media mvil.Sup
31、oniendo que el trmino de ruido blanco de los modelos de autorregresin del 3.3 puede describirsemediante un modelo de media mvil, se obtiene el modelo ARIMA (p, q).XX X Xaa a att t ptptt t qtq=+ + +- - - - -FF F11 2 2 11 22. .qq q(3-9)El modelo ARIMA describe una serie cronolgica estacionaria. Si, la
32、 serie cronolgica es no estacionaria, esnecesario diferenciar la serie. Esto se hace como sigue:Sea Ytla serie cronolgica y B el operador de retrocesoXBYtdt=-()1 (3-10)donded es el nmero de diferencias para que la serie sea estacionaria.El nuevo modelo ARIMA (p, d, q) se halla insertando la ecuacin
33、(3-10) en la ecuacin (3-9).El mtodo de anlisis de las series cronolgicas de este tipo fue ideado por G. E. P. Box y G. M. Jenkins 3. Paraanalizar dichas series y formular las previsiones correspondientes debe utilizarse generalmente un conjunto de programasdestinados al tratamiento de series cronolg
34、icas.Como se indica en la figura 1/E.507, se adopta un modelo provisional. Para ello, se determinan lastransformaciones necesarias y el nmero de parmetros de autorregresin y de media mvil. La eleccin se basa en laestructura de las autocorrelaciones y de las autocorrelaciones parciales.El paso siguie
35、nte indicado en la figura 1/E.507 es el procedimiento de estimacin. Se emplea la estimacin pormxima verosimilitud. Desafortunadamente, es difcil hallar estos valores debido a la necesidad de resolver un sistemano lineal de ecuaciones. En la prctica debe disponerse para estos clculos de un programa d
36、e computador. El modelo deprevisin se basa en la ecuacin (3-9) y el procedimiento para formular previsiones con una anticipacin de l unidades detiempo se indica en el A.2 del anexo A.Los modelos de previsin descritos hasta ahora son modelos de una sola variable. Tambin es posible introducirvariables
37、 explicativas. En este caso el sistema ser descrito por un modelo de funcin de transferencia. Los mtodos deanlisis de series cronolgicas de un modelo de funcin de transferencia son bastante semejantes a los mtodos descritosanteriormente.En 1, 2, 3, 5, 11, 15 y 17 figuran descripciones detalladas de
38、los modelos ARIMA.3.5 Modelos espaciales de estados con filtrado de KalmanLos modelos espaciales de estados constituyen una manera de representar procesos temporales discretos pormedio de ecuaciones de diferencias. El mtodo empleado para elaborar los modelos espaciales de estado permite laconversin
39、de cualquier modelo lineal general en una forma adecuada para la estimacin recursiva y la previsin. En 1puede hallarse una descripcin ms detallada de los modelos espaciales de estado ARIMA.Para un proceso estocstico, esta representacin puede tener la siguiente forma:XXZtttt+=+1F w (3-11)yYHXvttt=+ (
40、3-12)6 Fascculo II.3 - Rec. E.507dondeXtes un vector-s de variable de estado en el instante t,Ztes un vector-s de eventos determinsticos,F es una matriz de transiciones de s x s que puede, en general depender de t,wtes un vector-s de errores aleatorios de modelado,Ytes un vector-d de medidas en el p
41、eriodo t,H es una matriz de d x s denominada la matriz de observacin, yvtes un vector-d de errores de medida.Tanto wten la ecuacin (3-11) como vten la ecuacin (3-12) son secuencias aleatorias aditivas con estadsticoconocido. El valor esperado de cada secuencia es el vector cero y wty vtsatisfacen la
42、s condiciones:EQtjTttjww d= para todos los valores de t, j, (3-13)Evv RtjTttj=d para todos los valores de t, j,dondeQty Rtson matrices definidas no negativas,2)ydtjes la delta de Kronecker.Qtes la matriz de covarianza de los errores de modelado y Rtes la matriz de covarianza de los errores de medida
43、; wty vtse suponen que no estn correlacionadas y se denominan ruido blanco. En otras palabras:EvtjTw=0 para todos los valores de t, j, (3-14)yEvXtT00= para todos los valores de t. (3-15)Segn las hiptesis formuladas anteriormente, se determinar Xt,tde modo que:EX X X Xtt tTtt t()(),-=sea mnimo, (3-16
44、)dondeXt,tes una estimacin del vector de estado en el instante t, yXtes el vector de variables de estado verdaderas.La tcnica de filtrado de Kalman permite la estimacin recursiva de variables de estado para aplicaciones enlnea. Esto se hace de la manera siguiente. Suponiendo que hay una variable exp
45、licativa Zt, cuando se dispone de unnuevo punto de datos, se utiliza para actualizar el modelo:XX KYHXtt tt t t tt, ,()=+-11(3-17)dondeKtes la matriz de ganancia de Kalman que puede calcularse recursivamente 18.Intuitivamente, la matriz de ganancia determina qu ponderacin relativa se dar al ltimo er
46、ror de previsinobservado para corregirlo. A fin de crear una proyeccin k pasos ms adelante, se utiliza la siguiente frmula:XXtktktt+=,F(3-18)dondeXt+k,tes una estimacin de Xt+kdadas las observaciones Y1, Y2,., Yt.2)Una matriz A es definida y no negativa si, y slo si para todos los vectores z, zTAz 0
47、.Fascculo II.3 - Rec. E.507 7Las ecuaciones (3-17) y (3-18) muestran que la tcnica de filtrado de Kalman conduce a un procedimiento deprevisin conveniente que es recursivo por naturaleza y proporciona estimaciones de varianza mnima, no sesgadas, delproceso temporal discreto de inters.Para ms informa
48、cin, vanse 4, 5, 16, 18, 19 y 22.El filtro de Kalman funciona bien cuando los datos examinados son estacionales. Los datos de carga de trficoestacionales pueden representarse con una serie cronolgica peridica. De esta manera, puede obtenerse un filtro deKalman estacional superponiendo un modelo de crecimiento lineal con un modelo estacional. Para un anlisis msdetallado de las tcnicas de filtro de Kalman para datos estacionales, vase 6 y 20.3.6 Modelos de regresinLas ecuaciones (3-1) y (3-2) son modelos de regre
