1、考研数学（数学一）模拟试卷 296 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在0，1有连续导数，且 f(0)=0，令 ，则必有（A）（B）（C）（D）2 设 P(x)在(-，+)连续，且以 T 为周期，则 是方程(*)有解 y=y(x)0 且以 T 为周期的（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分且必要条件（D）既不充分也不必要条件3 设 f(x)在 一 ，有定义，且 f(0)=f(0)=0，f (0)=a0，又 收敛，则 p 的取值范围是（A）（B）（C） (1，+)（D）1 ，+) 4 下列命题中不正确的是（A） 在区域 D=(x
2、，y)(x，y)(1，0)内与路径无关（B） 在区域 D=(x，y)(x，y)(0，0)内不是与路径无关（C）设 P(x， y)，Q(x，y)在区域 D 内有连续的一阶偏导数，又则 Qdy 在区域 D 内与路径无关（D） 在区域 D=(x，y)(x，y)(0，0)上不存在原函数5 已知 ，则代数余子式 A21+A22=（A）3（B） 6（C） 9（D）126 已知 1,2,3,4 是 3 维非零向量，则下列命题中错误的是（A）如果 4 不能由 1,2,3 线性表出，则 1,2,3 线性相关（B）如果 1,2,3 线性相关 1,2,3,4 线性相关，那么 1,2,3,4 也线性相关（C）如果 3
3、 不能由 1,2 线性表出， 4 不能由 2,3 线性表出，则 1 可以由1,2,3,4 线性表出（D）如果秩 r(1， 1+2， 2+3)=r(4,， 1+4,2+4,3+4,)，则 4 可以由1， 2， 3 线性表出7 商店出售 10 台洗衣机，其中恰有 3 台次品现已售出一台洗衣机，在余下的洗衣机中任取两台发现均为正品则原先售出的一台是次品的概率为（A）（B）（C）（D）8 设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，X 1，X 2， X25 是取自总体 X 的简单随机样本， 为样本均值，若 ，则 =（A）（B） 5（C）（D）25二、填空题9 曲线 F： 在点 处的切线方程是_.10 设
4、在 x=0 连续且满足 g(X)=1+2x+0(x)(x0)又 F(X)=fg(x)，则 F(0)=_.11 设 其中 f(u，v)是连续函数，则 dz=_12 微分方程(2xsiny+3x 2y)dx+(x2+x2cosy+y2)dy=0 的通解是_13 已知 义矩阵 A 和 B 相似， A*是 A 的伴随矩阵，则A *+3E=_.14 设随机变量 X，Y 独立同分布 N(， 2)，其联合密度函数 f(x，y)在(2，2) 处有驻点，且 f(0，0)= 则(X，Y)服从的分布是三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设函数 f(x)在(0，+)内可导，f(x)0,且15 求
5、f(x)；16 求证：f(x)在(0，+)上有界17 计算二重积分 x2+y2=1,x2+y2=2x所围中间一块区域。18 设 u=u(x，y)由方程组 u=f(x，y，z ，t)，g(y，z，t)=0 ，h(z，t)=0 所确定，其中f，g， h 对各变量有连续的偏导数，且 求18 设 xOy 平面第一象限中有曲线 F：y=)，(x) ，过点 A(0， )，y (x)0又M(x，y) 为 F 上任意一点，满足：弧段 的长度与点 M 处 F 的切线在 x 轴上的截距之差为 19 导出 y=y(x)满足的积分、微分方程和初始条件；20 求曲线厂的表达式21 设 f(x，y)在全平面有连续偏导数，
6、曲线积分 在全平面与路径无关，且 求 f(x，y)22 已知 A=(1,2,3,4)是 4 阶矩阵，其中 1,2,3,4 是 4 维列向量若齐次方程组Ax=0 的通解是 k(1，0，一 3，2) T，证明 2,3,4 是齐次方程组 A*x=0 的基础解系22 设 n 阶实对称矩阵 A 满足 A2=E，且秩 r(A+E)=k23 求二次型 xTAx 的规范形；24 证明 B=E+A+A2+A3+A4 是正定矩阵，并求行列式B的值25 设 X，Y 是两个离散型随机变量，X 只取一 1 和 1 两个值，y 只取一 1，0，1三个值，已知 EX=02，EY=0 25，PX=一 1， Y=1=02，PX
7、=1，Y= 一 1=01， PY=一 1=02试求 X 与 y 的联合概率分布与它们的协方差26 设随机变量 X:N(0，1)，i=1 ，2 且相互独立，令 Y2=X12+X22，试分别计算随机变量 Y1 与 Y2 的概率密度考研数学（数学一）模拟试卷 296 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 【分析一】考察 f(x)与 f(x)的关系设 x0，1，则由牛顿一莱布尼兹公式及 f(0)=0，有 由积分基本性质，并考虑到，有 于是故选 A【分析二】同样考察 f(x)与f (x)的关系由拉格朗日中值定理知当 x0，1 时 f(x
8、)=f(x)f(0)-f()x,(0,x)故选 A2 【正确答案】 C【试题解析】 方程(*)的解 y(x)0以 T 为周期 且 C0，又故选 C3 【正确答案】 B【试题解析】 实质上是确定 n+ 时无穷小 关于 的阶方法 1 由泰勒公式，方法 2 用洛必达法则确定 n0 使得 因此有相同的敛散性，即仅当 收敛时 收敛p 的取值范围是 故选 B4 【正确答案】 C【试题解析】 【分析一】若熟悉积分与路径无关的判别法则，则可知 C 不正确在 C 中的条件下，若又有区域 D 是单连通的，则 在区域 D 与路径无关；若 D 不是单连通的，则积分 不一定与路径无关 【分析二】关于A：易求原雨数 因此
9、 在 D 内与路径无关当 P(x，y)，Q(x，y)在 D 连续时，在 D 内与路径无关 Pdx+Qdy 在 D 原函数因而 B，D 或均正确或均不正确由于这四个结论中只有一个不正确，因而 B，D 均正确故应选 C5 【正确答案】 B【试题解析】 对行列式A按第 2 行展开，有 2A21+2A22+A23+A24=9构造行列式 则A 和B第 2 行元素代数余子式相同对 B按第 2 行展开，又有 A21+A22+2A23-2A24=0联立， 可得 A21+A22=6故选B6 【正确答案】 B【试题解析】 例如 1=(1，0，0) T， 2=(0，1，0) T， 3=(0，2，0) T， 4=(0
10、，0，1)T，可知 B 不正确，应选 B关于 A：如果 1,2,3 线性无关，义因 1,2,3,4 是 4个 3 维向量，它们必线性相关，而知 4 必可由 1,2,3 线性表出天于 C：由已知条件，有(I)r( 1， 2)r(1， 2， 3)，()r( 2， 3)r(2， 3， 4)持 r(2， 3)=1，则必有 r(1， 2)=r(1， 2， 3)，与条件(I)矛盾故必有 r(2， 3)=2那么由()知 r(2,3,4)=3，从而 r(1,2,3,4)=3因此 1 可以由 2,3,4 线性表出关于D：经初等变换有( 1， 1,2， 2+3)( 1,2， 2+3)( 1,2,3)，(4， 1+
11、4， 2+4， 3+4)( 4,1,2,3)( 1,2,3,4)，从而 r(1,2,3)=r(1,2,3,4)因而 4 可以由 1,2,3 线性表出7 【正确答案】 B【试题解析】 设 A 表永“第一次取出是次品”，B 表示“在余下的洗衣机中任取两台为正晶”，则由全概率公式，有由贝叶斯公式，可得故应选 B8 【正确答案】 B【试题解析】 由于 XN(， 2)，故有而 依题意 故应选 B二、填空题9 【正确答案】 或【试题解析】 【分析一】易写出题设，F 的参数方程 z=cost，y=sint，z=2 一cost+sint点 P 在 F 上，对应 F 在 P 点的切向量F 在 P点切线方程是 【
12、分析二】曲线厂作为两曲面的交线，在 P 点的切向量 其余同前【分析三】若用交面式表示切线，由 x2+y2=1 在 P 点的法向量 求得该柱面在 P 点的切平面方程为 ，即 F 在 P 点的切线方程是10 【正确答案】 4e 【试题解析】 由 g(x)在点 x=0 处连续及 g(x)=1+2x+o(x)(x0)由复合函数求导法及变限积分求导法11 【正确答案】 【试题解析】 【分析一】这是一元函数 与二元函数 t=xy2 的复合函数，由一阶全微分形式不变性【分析二】先求偏导数： 于是12 【正确答案】 其中 C 为 常数【试题解析】 这不是一阶线性方程与变量可分离方程，也不是齐次方程与伯努力方程
13、，因此，考察其是否是全微方程，将方程表为 pdx+Qdy=0，因在全平面上所以是全微分方程，求通解归结为求 Pdx+Qdy 的原因数u(x，y)方法 1。凑微分法由于(2xsiny+3x 2y)dx+(x3+x2cosy+y2)dy=(sinydx2+x2dsiny)+(ydx3+x3dy)+ dy3=d(x2siny+x3y+ y3)因此，通解为，其中 C 为 常数方法 2。不定积分法由，对 x 积分得 u=x2siny+x3y+C(y)又由得 因此得通解 其中 C 为 常数13 【正确答案】 27【试题解析】 由 可知矩阵 B 的特征值为 2，3，一 2又由矩阵 AB 知矩阵 A 的特征值
14、亦为 2，3，一 2故A=2.3.(一 2)=一 12那么，A *的特征值为 6，一 6，一 4，从而 A*+3E 的特征值为 9，一 3，一 1于是A *+3E=9.(一 3).(一 1)=2714 【正确答案】 N(2，2；2，2；0)【试题解析】 由于 X，Y，独立同分布，故f(x,y)在(2，2)处有驻点，可知=2又 即 ，得 2=2所以 (Y，Y)服从正态分布 N(2，2；2，2；0) 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 题设中等式左端的极限为 1型，先转化成m 导数的定义及复合函数求导法得于是积分得，即 由得 C=1因此16 【正确答案】 证法 1
15、。因 f(x)在(0 ，+)连续，又 ，所以 f(x)在(0，+)上有界证法 2。当 x(0，+)时显然有 即 f(x)在(0， +)上有下界为证明 f(x)在(0，+)上也有上界可利用熟知的不等式：当时有 从而当 时 又当 时直接可得 故当 x(0，+) 时 f(x)17 【正确答案】 D 如图，关于 x 轴对称 于是其中 D1=Dy0方法 1。在 Oxy 直角坐标系中先 x 后 y 的积分顺序(不必分块) 其中，两圆周的交点是 于是方法 2。作极坐标变换，并选用先对 积分后对 r 积分的顺序 x2+y2=2x 的极坐标方程是r=2cos，于是 D1 的极坐标表示是方法 3。作极坐标变换后，
16、若选择先对 r 积分的顺序，则 D1 要分块表示：其中，x 2+y2=1 与 x2+y2=2x 的交点 对应的 于是18 【正确答案】 这里有 5 个变量，3 个方程，因而确定 3 个因变量，其余两个为自变量按题意：y 为自变量，于是 u，z，t 均为因变量由第二、第三个方程知，z 与 y 只是一的函数，因此 对 y 求偏导数，由复合函数求导法得方程，是以 为未知数的二元线性方程组，因系数行列式不为零有唯一解，即 代入19 【正确答案】 先求出 F 在点 M(x，y)处的切线方程 Yy(x)=y(x)(X 一 x)，其中(X， Y)是切线上点的坐标在切线方程中令 Y=0，得 x 轴上的截距 又
17、弧段 的长度为 ，按题意得 这是积分、微分方程，两边对 x 求导，就可转化为二阶微分方程：又由条件及式中令 x=0 得因此得初值问题 问题 与是等价的20 【正确答案】 下面求解这是不显含 x 的二阶方程，作变换 =y，并以 y 为自变量得 分离变量得由 时 P=1C =0将上面两式相减再积分得 其中则 就是所求曲线厂的表达式21 【正确答案】 (I) 在全平面与路径无关积分得 f(x，y)=siny+C(x)()求 f(x，y)转化为求 C(x)方法 1。f(x，y)dx+xcosydy=sinydx+xcosydy+C(x)dx即sint2+2t2cost2+C(t)=2t因此 f(x，y
18、)=siny+2xsinx 2 一2x2cosx2方法 2。 取特殊路径如图所示，由于即 C(t)=2tsint2 一2t2cost2因此 f(x，y)=siny+2xsinx 2 一 2x2cosx222 【正确答案】 由解的结构知 nr(A)=1，故秩 r(A)=3因 A*A=AE=0 ，即A*(1,2,3,4)=0，故 1,2,3,4 都是 A*x=0 的解由 1=3324 与 r(A)=3 有A=(1,2,3,4)=(3324,2,3,4)(0 2,3,4)，可知 2,3,4 线性无关由 r(A)=3 得 r(A*)=1，那么 nr(A*)=3综上可知， 2,3,4 是 A*x=0 的
19、基础解系23 【正确答案】 设 为矩阵 A 的特征值，对应的特征向量为 ，即 =，0，则 2=2由于 2=E，从而( 2 一 1)=0又因 0，故有 21=0，解得 =1 或=一 1因为 A 是实对称矩阵，所以必可对角化，且秩 r(A+E)=k，于是那么矩阵 A 的特征值为： 1(k 个)，一 1(n 一 k 个)故二次型 xTAx 的规范形为 y12+yk2 一 yk+12一 yn224 【正确答案】 因为 A2=E，故 B=E+A+A2+A3+A4=3E+2A所以矩阵 B 的特征值是：5(k 个) ， 1(n 一 k 个)由于 B 的特征值全大于 0 且 B 是对称矩阵，因此 B 是正定矩
20、阵，且B=5 k.1n-k=5k25 【正确答案】 首先我们列出 X 与 Y 的联合概率分布结构表(见表 1)，表中未知的 pij 待求 根据联合分布与边缘分布间的关系及数学期望定义容易求出表 l 中 Pij(i=1，2，j=1 ，2，3)各值，对照表 1，具体计算如下：1)P 11=p.1 一 P21=0201=01；2)EY= 一102+P .3=025=p .3=045，又P.1+P.2+P.3=02+p .2+045=1=P .2=035，p 13+p23=p.3，即02+p 23=0 45=p 23=0 25；3)EX=一 p1.+p2.=0 2，又p1.+p2.=1=p 1.=04，p 2.=06，于是 p12=p1.一 p11 一 p13=040102=0 1， P22=p.2 一 p12=03501=025从上述计算结果可得 X 与 Y 的联合概率分布(见表 2)为EXY=(一 1)(一 1)01+( 一 1)102+1( 一 1)01+110 25=005，于是 cov(X，Y)=EXYEXEY=005 02025=026 【正确答案】 (I)因 X1 与 X2 独立且同服从标准正态分布 N(0，1)，故(X 1，X 2)的联合概率密度为 当 y0 时，PY 1Y：0；当 y0 时，F y，(y)=PY1Y= =PX12+X22y2于是 Y1 的概率密度为
