1、考研数学三（大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立，S n=X1+X2+X2n，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当 n 充分大时 Sn 近似服从正态分布，只要 X1，X 2，X n（A）有相同期望和方差（B）服从同一离散型分布（C）服从同一均匀分布（D）服从同一连续型分布 2 假设随机变量 X1，X 2，相互独立且服从同参数 的泊松分布，则下面随机变量序列中不满足切比雪夫大数定律条件的是（A）X 1，X 2，X n，（B） X1+1，X 2+2， Xn+
2、n，（C） X1，2X 2，nX n，（D）3 设随机变量序列 X1，X n，相互独立，根据辛钦大数定律，当 n时依概率收敛于其数学期望，只要X n，n1（A）有相同的数学期望（B）有相同的方差（C）服从同一泊松分布（D）服从同一连续型分布，4 设 Xn 表示将一枚匀称的硬币随意投掷 n 次其“正面”出现的次数，则5 设随机变量序列 X1，X 2，X n，相互独立，则根据辛钦大数定律，当 n时 依概率收敛于其数学期望，只要X n，n1（A）有相同的期望（B）有相同的方差（C）有相同的分布（D）服从同参数 p 的 01 分布6 设随机变量 X1，X 2，相互独立，记 Yn=X2n-X2n-1(n
3、1)，根据大数定律，当n时 依概率收敛到零，只要X n，n1（A）数学期望存在（B）有相同的数学期望与方差（C）服从同一离散型分布（D）服从同一连续型分布7 设 X1，X 2，X n，相互独立且都服从参数为 (0)的泊松分布，则当n时以 (x)为极限的是8 设随机变量序列 X1，X 2，X n，相互独立，EX i=，DX i=2，i=1，2，令 =PYnp，则（A）X n：n=1，2，满足辛钦大数定律（B） Xn：n=1，2，满足切比雪夫大数定律（C） p 可以用列维一林德伯格定理近似计算（D）p 可以用拉普拉斯定理近似计算9 设随机变量 X 服从 F(3，4)分布，对给定的 (0 1)，数
4、F(3，4)满足PXF (3，4)=，若 PXx=1-，则 x=二、填空题10 将一枚骰子重复掷 n 次，则当 n时，n 次掷出点数的算术平均值 依概率收敛于_.11 设随机变量序列 X1，X n，相互独立且都服从正态分布 N(， 2)，记Yn=X2n-X2n-1，根据辛钦大数定律，当 n 时 依概率收敛于_12 随机从数集1，2，3， 4，5 中有返回的取出 n 个数 X1，X 2，X n，对任何0， ，则a=_，b=_13 设随机变量序列 X1，X n，相互独立且都在(-1，1)上服从均匀分布，则=_(结果用标准正态分布函数 (x)表示)14 设随机试验成功的概率 p=020，现在将试验独
5、立地重复进行 100 次，则试验成功的次数介于 16 和 32 次之间的概率 =_15 设 X1，X 2，X 100 是独立同服从参数为 4 的泊松分布的随机变量， 是其算术平均值，则 P 4392_16 设随机变量 X1，X 2，X n，Y 1，Y 2，Y n 相互独立，且 Xi 服从参数为 的泊松分布，Y i 服从参数为 的指数分布，i=1 ，2，n，则当 n 充分大时，近似服从_分布，其分布参数为_与_17 设总体 XE()，则来自总体 X 的简单随机样本 X1，X 2，X n 的联合概率密度 f(x1，x 2， ，x n)=_.18 设总体 X-P()，则来自总体 X 的简单随机样本
6、X1，X 2，X n 的样本均值 的概率分布为_ 19 设(2 ，1，5，2，1，3，1)是来自总体 X 的简单随机样本值，则总体 X 的经验分布函数 Fn(x)=_.20 已知 2 2(n)，则 E(2)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 设 X1，X 2，X n，相互独立，其概率分布为22 对某一目标进行多次同等规模的轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是个随机变量，假设其期望值为 2，标准差是 13，计算在 100 次轰炸中有 180 颗到 220 颗炸弹命中目标的概率23 假设某种型号的螺丝钉的重量是随机变量，期望值为 50 克，标准差为 5 克求：()100 个螺
7、丝钉一袋的重量超过 51 千克的概率；()每箱螺丝钉装有 500 袋，500 袋中最多有 4的重量超过 51 千克的概率24 假设随机变量 X1，X n 相互独立，服从同参数 的泊松分布记 Sn=，当 n 充分大时，求 Sn 的近似分布25 假设排球运动员的平均身高(单位：厘米)为 ，标准差为 4求 100 名排球运动员的平均身高与所有排球运动员平均身高之差在(-1，1)内的概率26 一大袋麦种的发芽率为 80，从中任意取出 500 粒进行发芽试验，计算其发芽率的偏差不超过 2的概率27 有 100 道单项选择题，每个题中有 4 个备选答案，且其中只有一个答案是正确的规定选择正确得 1 分，选
8、择错误得 0 分假设无知者对于每一个题都是从 4 个备选答案中随机地选答，并且没有不选的情况，计算他能够超过 40 分的概率28 设某种商品的合格率为 90，某单位要想给 100 名职工每人一件这种商品试求：该单位至少购买多少件这种商品才能以 975的概率保证每人都可以得到一件合格品?考研数学三（大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为列维一林德伯格中心极限定理的条件是，X 1，X 2，X n 独立同分布而且各个随机变量的数学期望和方差存在显然 4 个选项中只有选项(
9、C)满足此条件：均匀分布的数学期望和方差都存在 选项(A)不成立，因为X1，X 2，X n 有相同期望和方差，但未必有相同的分布，所以不满足列维一林德伯格中心极限定理的条件；而选项(B)和(D)虽然满足同分布，但数学期望和方差未必存在，因此也不满足列维一林德伯格中心极限定理的条件，故选项(B)和(D)一般也不能保证中心极限定理成立【知识模块】 大数定律和中心极限定理2 【正确答案】 C【试题解析】 切比雪夫大数定律的条件有三个：第一个条件要求构成随机变量序列的各随机变量是相互独立的显然无论是 X1， ，X 2，还是X1+1， X2+2， ，X n+n， ，X 1，2X 2，nX n，以及 X1
10、，都是相互独立的；第二个条件要求各随机变量的期望与方差都存在由于 EXn=，DX n=，E(X n+n)=+n，D(X n+n)=，E(nX n)=n，D(nX n)=n2，因此四个备选答案都满足第二个条件；第三个条件是方差 DX1，DX n，有公共上界，即 DXnc，c 是与 n 无关的常数对于(A)：DX n=+1；对于(B)：D(X n+n)=DXn=+1；对于(C)：D(nX n)=n2DXn=n2 没有公共上界；对于(D)： 综上分析，只有(C)中方差不满足方差一致有界的条件，因此应选(C)【知识模块】 大数定律和中心极限定理3 【正确答案】 C【试题解析】 辛钦大数定律要求：X n
11、，n1独立同分布且数学期望存在选项(A)、(B)缺少同分布条件，选项 (D)虽然服从同一分布但期望不存在，因此选(C)【知识模块】 大数定律和中心极限定理4 【正确答案】 C【试题解析】 由于 ，因此根据“二项分布以正态分布为极限分布”定理，有故选(C)【知识模块】 大数定律和中心极限定理5 【正确答案】 D【试题解析】 由于辛钦大数定律除了要求随机变量 X1，X 2，X n，相互独立的条件之外，还要求 X1，X 2，X n，同分布与期望存在，只有选项 (D)同时满足后面的两个条件，应选(D).【知识模块】 大数定律和中心极限定理6 【正确答案】 B【试题解析】 由于 Xn 相互独立，所以 Y
12、n 相互独立选项 (A)缺少“同分布”条件；选项(C)、(D)缺少“数学期望存在 ”的条件，因此它们都不满足辛钦大数定律，所以应选(B) 事实上，若 EXN=，DX N=2 存在，则根据切比雪夫大数定律：对任意 0 有【知识模块】 大数定律和中心极限定理7 【正确答案】 C【试题解析】 由于 X1，X 2，X n，相互独立同分布，其期望和方差都存在，且 以 (x)为极限，故应选(C) 【知识模块】 大数定律和中心极限定理8 【正确答案】 B【试题解析】 由于 X1，X 2，相互独立，其期望、方差都存在，且对所有i=1，2，DY i=2l(l 2)，因此X n：n=1，2，满足切比雪夫大数定律，
13、应选(B)【知识模块】 大数定律和中心极限定理9 【正确答案】 A【试题解析】 由 PXx=1- 可知，PX x= ，即 x=F(3，4)又由 F1-(n1，n 2)= 故选(A)【知识模块】 数理统计的基本概念二、填空题10 【正确答案】 72【试题解析】 设 X1，X 2，X n 是各次掷出的点数，它们显然独立同分布，每次掷出点数的数学期望 EX=216=72因此，根据辛钦大数定律， 依概率收敛于 72【知识模块】 大数定律和中心极限定理11 【正确答案】 2 2【试题解析】 由于X n，n1相互独立，故 Yn=X2n-X2n-1(n1)相互独立并且都服从N(0，2 2)，所以 =DYn+
14、(EYn)2=22，根据辛钦大数定律，当 n 时 依概率收敛于 22【知识模块】 大数定律和中心极限定理12 【正确答案】 3，11【试题解析】 依题意 X1，X n 相：互独立且有相同的概率分布：PX i=k= (k=1，2，3，4，5)，与相同的数学期望： EXi= (1+2+3+4+5)=3根据辛钦大数定律，当 n 时， 依概率收敛于 3，即 a=3同理，依概率收敛于 11，即 b=11【知识模块】 大数定律和中心极限定理13 【正确答案】 【试题解析】 由于 Xn 相互独立且都在 (-1，1)上服从均匀分布，所以EXn=0，DX n= ，根据独立同分布中心极限定理，对任意 xR 有【知
15、识模块】 大数定律和中心极限定理14 【正确答案】 0.84【试题解析】 以 X 表示“在 100 次独立重复试验中成功的次数 ”，则 X 服从参数为(n，p)的二项分布，其中 n=100，p=020，且由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，知随机变量 近似服从标准正态分布 N(0，1)因此试验成功的次数介于 16 和 32 次之间的概率(3)-(-1)=(3)-1-(1)=09987-(1-08413)=084，其中 (u)是标准正态分布函数【知识模块】 大数定律和中心极限定理15 【正确答案】 0.975【试题解析】 由于 EXk=DXk=4， 因为n=100 充分大，故由列维一林德伯格定理知，
16、 近似地服从正态分布N(4，0 2 2)因此，有【知识模块】 大数定律和中心极限定理16 【正确答案】 正态，2n，n(+ 2)【试题解析】 X 1+Y1，X 2+Y2，X n+Yn 相互独立同分布因EXi=DXi=， EYi=，DY i=2，故 E(Xi+Yi)=2，D(X i+Yi)=+2，当 n 充分大时，近似服从正态分布，其分布参数【知识模块】 大数定律和中心极限定理17 【正确答案】 【试题解析】 总体 X 的概率密度 由于 X1，X 2，X n 相互独立，且与总体 X 服从同一指数分布，因此【知识模块】 数理统计的基本概念18 【正确答案】 【试题解析】 由泊松分布的可加性可知，当
17、 X1， X2 独立时，X 1+X2P(2) ，继而有 X1，X 2，X n 独立同为 P()分布时，的概率分布为【知识模块】 数理统计的基本概念19 【正确答案】 【试题解析】 将各观测值按从小到大的顺序排列，得 1，1，1，2，2，3，5，则经验分布函数为【知识模块】 数理统计的基本概念20 【正确答案】 n【试题解析】 由 2 分布的典型模式，而 XiN(0，1)，且 Xi 相互独立，由于 =D(Xi)+E(Xi)2=1+0=1，所以【知识模块】 数理统计的基本概念三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 EX i=0，DX i= ，对任何 i=l，2，DX
18、i1，且题设X1，X 2，X n，相互独立，因此随机变量序列 X1，X 2，X n，满足切比雪夫大数定律，即对任何 0，因此当 n时，Y n 依概率收敛于 0【知识模块】 大数定律和中心极限定理22 【正确答案】 设第 i 次轰炸中命中目标的炸弹数为 Xi，100 次轰炸中命中目标的炸弹总数为 X，则 X=X1+X100，且 X1，X 100 相互独立同分布EX i=2，DX i=13 2，EX=200，DX=169 应用独立同分布中心极限定理，X 近似服从正态分布 N(200，169)，则有 P180X220=PX-20020=2(154)-1=0 876【知识模块】 大数定律和中心极限定理
19、23 【正确答案】 () 假设置表示袋中第 i 颗螺丝钉的重量，i=1 ，100，则X1，X 100 相互独立同分布，EX i=50，DX i=52记一袋螺钉的重量为 S100，则应用列维-林德伯格中心极限定理可知 S100 近似服从正态分布 N(5000，50 2)，且 PS1005100=1-PS 1005100=1-(2)=002275 ( )设 500 袋中重量超过 51 千克的袋数为 Y，则 Y 服从参数 n=500，p=0 02275 的二项分布EY=11.375，DY=11.116应用棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，可知 Y 近似服从参数 =11375， 2=11116 的正态分布
20、，于是【知识模块】 大数定律和中心极限定理24 【正确答案】 由于 Xi 服从泊松分布，故 EXi=DXi=，又因 X1，X n 相互独立，所以 根据独立同分布的列维-林德伯格中心极限定理，当 n 充分大时，S n-n 近似服从正态分布 N(n，n)，因此SN 近似服从正态分布 N(n+n，n)【知识模块】 大数定律和中心极限定理25 【正确答案】 设 100 名中第 i 名运动员身高为 Xi，i=1 ，100，可以认为X1，X 2，X 100 相互独立同分布，且 EXi=p，DX i=16，应用独立同分布中心极限定理， 近似服从正态分布 N(，04 2)，于是【知识模块】 大数定律和中心极限
21、定理26 【正确答案】 设 500 粒麦种中发芽粒数为 X，则 X 近似服从二项分布B(500，08)由于 n=500 相当大，根据拉普拉斯中心极限定理 X 近似服从正态分布 N(400，80) ，于是有【知识模块】 大数定律和中心极限定理27 【正确答案】 设 X 表示 100 个题中他能选对的题数，则 X 服从二项分布B(100，025)，从而 EX=25，DX=18 75，应用拉普拉斯中心极限定理，X 近似服从正态分布 N(25，1875)，于是 PX40=1-PX40=1-(346)=00003【知识模块】 大数定律和中心极限定理28 【正确答案】 设至少购买 n 件，n 件中合格品数为 X，易见 X 服从二项分布B(n，09) ，且 n100，根据拉普拉斯中心极限定理，X 近似服从二项分布N(09n ，009n) 依题意 PX100=0975，【知识模块】 大数定律和中心极限定理
