1、考研数学三（微积分）模拟试卷 167 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 yy(x)为微分方程 2xydx(x 21)dy 0 满足初始条件 y(0)1 的解，则y(x)dx 为 ( )（A）ln3（B） ln3（C） ln3（D） ln32 设平面区域 D：1x 2y 24，f(x，y)是区域 D 上的连续函数，则 dxdy 等于( )（A）2 12rf(r)dr（B） 212rf(r)dr 01rf(r)dr（C） 212rf(r2)dr（D）2 12rf(r2)dr 01rf(r2)dr3 设函数 f(x)在x 内有定义且f(x)x 2，则
2、f(x)在 x0 处( )（A）不连续（B）连续但不可微（C）可微且 f(0)0（D）可微但 f(0)04 设 f(x)在 x0 的某邻域内连续，若 2，则 f(x)在 x0 处( )（A）不可导（B）可导但 f(0)0（C）取极大值（D）取极小值二、填空题5 当 x0 时，3x4sinxsinxcosx 与 xn 为同阶无穷小，则 n_6 设周期为 4 的函数 f(x)处处可导，且 ，则曲线 yf(x)在( 3，f(3)处的切线为_7 11x2ln(x )(x 21) dx_8 设 zf(x，y)是由 e2yz xy 2z 确定的函数，则 _9 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算
3、步骤。10 求 11 12 13 设 f(x)g(abx)g(abx) ，其中 g(a)存在，求 f(0)14 设 f(x) 求 f(x)并讨论其连续性15 证明：对任意的 x，yR 且 xy，有 16 设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(x)0，证明： f(x)在(a ，b)内为凹函数17 求arcsinxarccosxdx18 01x4 dx19 证明： sinnxcosnnxdx2 n sinnxdx20 设直线 ykx 与曲线 y 所围平面图形为 D1，它们与直线 x1 围成平面图形为 D2(1)求 k，使得 D1 与 D2 分别绕 x 轴旋转一周成旋转体体积 V1 与 V2 之和
4、最小，并求最小值；(2)求此时的 D1D 221 (1)设 yf(x，t)，其中 t 是由 G(x，y，t)0 确定的 x，y 的函数，且 f(x，t) ，G(x，y ，t) 一阶连续可偏导，求 (2) 设 zz(x，y)由方程 zlnz yxet2 dt1确定，求 22 计算 (xy) 2dxdy，其中 D：ayx 2y 22ay(a0)23 设正项级数 un 收敛，证明 收敛，并说明反之不成立24 将 f(x) arctanxx 展开成 x 的幂级数25 求 y2ye 2x0 满足初始条件 y(0)1，y(0)1 的特解考研数学三（微积分）模拟试卷 167 答案与解析一、选择题下列每题给出
5、的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 2xydx (x21)dy0 得 0，积分得 ln(x21)lnylnC，从而 y ，由 y(0)1 得 C1，于是 y ，故 ，选(D) 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 dxdy 02d12rf(r)dr2 12rf(r)dr，选(A) 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 显然 f(0)0，且 f(x)0，所以 f(x)在 x0 处连续又由f(x)x 2 得 0 x，根据夹逼定理得 ，即 f(0)0，选(C) 【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 由 2 得
6、f(0)0，由极限保号性，存在 0，当 0x时， 0，从而 f(x)0f(0) ，由极值的定义得 f(0)为极小值，选(D) 【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 5【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 y2x4【试题解析】 得 f(1)2，再由 得 f(1)2，又 f(3)f(41)f(1)2，f(3)f( 41) f(1)2，故曲线 yf(x)在点(3，f( 3)处的切线为y22(x 3) ，即 y2x4【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 将 代入 e2yzxy 2z 中得 x0，e 2yzxy 2
7、z 两边求微分得 2e2yz(zdyydz)dx2ydydz 0，将x ，y ，z 0 代入得【知识模块】 微积分9 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 令 f(t) et，由微分中值定理，【知识模块】 微积分13 【正确答案】 2bg(a)【知识模块】 微积分14 【正确答案】 当 x0 时，f(x) ，当 x0 时，f(x)cosx，由f 1 ，f (0) 1，得 f(0)1，则 容易验证 f(x)1f(0)，所以 f(x)连续
8、【知识模块】 微积分15 【正确答案】 令 f(t) et，因为 f(t)e t0，所以函数 f(t)e t 为凹函数，根据凹函数的定义，对任意的 x，yR 且 xy，有 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 对任意的 x0，x 2(a，b)且 x1x2，取 ，由泰勒公式得 f(x)f(x 0)f(x 0)(xx 0) (xx 0)2，其中 介于 x0 与 x 之间因为 f(x)0，所以f(x)f(x0)f(x 0)(xx 0)， “”成立当且仅当“xx 0”，从而 两式相加得 f(x0)由凹函数的定义，f(x)在(a ，b)内为凹函数【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微
9、积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 sinnxcosnxdx2 n1 sinn2xd(2x)2 n1 0sinnsinnxdx2 n sinnxdx【知识模块】 微积分20 【正确答案】 (1)由方程组 得直线与曲线交点为 k1【知识模块】 微积分21 【正确答案】 (1)将 yf(x ，t)与 G(x，y，t)0 两边对 x 求导得 解得(2)当 x 0，y0 时，z 1zlnz xyet2 dt1 两边分别对 x 和 y 求偏导得【知识模块】 微积分22 【正确答案】 (xy) 2dxdy x22xyy 2)dxdy (x2y 2)dxdy【知识模块】 微积分2
10、3 【正确答案】 因为 0 (unu n1 )而 (unu n1 )收敛，所以根据正项级数的比较审敛法知 收敛，反之不一定成立，如级数 1010发散，因为unun1 0(n 1，2，) ，所以 收敛【知识模块】 微积分24 【正确答案】 f(0)0，f(x) f(x)f(0) 0xf(dx) 0x (x1)【知识模块】 微积分25 【正确答案】 原方程可化为 y2y e 2x，特征方程为 220，特征值为10， 22，y2y 0 的通解为 yC 1C 2e2x设 y2ye 2x 的特解为y*Axe 2x，代入原方程得 A ，从而原方程的通解为 yC 1(C 2 )e2x由 y(0)1，y(0)1 得【知识模块】 微积分
