1、2010 年山西省教师公开招聘考试（中学数学）真题试卷及答案与解析一、选择题1 复数(1+i)(1-i)=( )（A）2（B） -2（C） 2i（D）-2i2 设集合 ，那么命题“mA”是命题“mB” 的( )（A）充要条件（B）必要不充分条件（C）充分不必要条件（D）既不充分也不必要条件3 4 直线 2x-2y+3=0 的斜率为( )（A）2（B） -1（C） -2（D）15 下列函数为奇函数的是( )（A）y=x+3（B） y=x2（C） y=x2+x（D）y=x 36 已知平面向量 a=(1，-3)，b=(4 ，-2)，a+b 与 a 垂直，则 等于( )（A）-1（B） 1（C） -2
2、（D）27 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=BC=2，AA 1=1，则 AC1 与平面A1B1C1D1 所成角的正弦值为( )8 若函数 y=loga (x+b)(a0，a1)的图象过两点(-1，0)和(0，1) ，则( )（A）a=2 ，b=2 （C） a=2，b=1 9 经过圆 x2+2x+y2=0 的圆心，且与直线 x+y=0 垂直的直线方程是( )（A）x+y+1=0（B） x+y*1=0（C） x-y+1=0（D）x-y-1=010 设等比数列a n的公比 q=2，前 n 项和为 Sn，则（A）2 （B） 4 11 将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点
3、数 1，2，3，4，5，6 的正方体玩具)先后抛掷 3 次，至少出现一次 6 点向上的概率是( )12 （C） 1（D）2二、填空题13 记 的展开式中第 m 项的系数为 bm，若 b3=2b4，则 n=_。14 已知函数 y=2x-a 的反函数是 y=bx+3，则 a=_；b=_。15 已知变量 x，y 满足 则 x+y 的最小值是_。16 计算 的值为_。三、解答题17 已知 x2+y22=1，求证：18 已知函数 的最小正周期为 。（1) 求 的值；(2)求函数 f(x)在区间上的取值范围。19 若抛物线 y=x2 与 y=2x2-5x+m 的交点间的距离为 13，求 m 的值。20 如
4、图，在四面体 ABCD 中，CB=CD，ADBD，点 E，F 分别是 AB，BD 上的中点。 (1)求证：直线 EF平面 ACD；(2)求证：平面 EFC平面 BCD。21 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰。已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为各轮问题能否正确回答互不影响。(1)求该选手被淘汰的概率；(2)该选手在选拔中回答问题的个数记为 ，求随机变量 的分布列与数学期望。22 在等比数列an中，已知 a1=2，a 4=16。(1)求数列a n的通项公式 an；(2)若a3，a 5，分别为等差数列b n的第 3 项和第 5 项
5、，试求数列b n的通项公式 bn 及前n 项和 Sn。23 计算不定积分tan 2xdx 的值。24 如图，ACD 是等边三角形， ACB 是等腰直角三角形，ACB=90，BD 交AC 于点 E，AB=2。 (1)求 cosCBE 的值；(2)求 AE 的值。25 设函数 (1)对于任意实数 x，f(x)m 恒成立，求 m 的最大值；(2)若方程 f(x)=0 有且仅有一个实根，求 a 的取值范围。26 如下的三个图中，左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在右面画出(单位：cm) 。(1)按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体
6、积；(3)在所给直观图中连接 BC，求证：BC平面 EFG。27 已知曲线 (1)指出C1，C 2 各是什么曲线，并说明 C1 与 C2 公共点的个数；(2)若把 C1，C 2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线 。写出 的参数方程。公共点的个数和 C1 与 C2 公共点的个数是否相同? 说明你的理由。2010 年山西省教师公开招聘考试（中学数学）真题试卷答案与解析一、选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 (1+i)(1-i)=1-i 2=1+1=2，故选 A。2 【正确答案】 C【试题解析】 因为集合 ，故选 C。3 【正确答案】 B【试题解析】 ，故选 B。4 【正确答案】
7、D【试题解析】 由斜率的定义易知答案，故选 D。5 【正确答案】 D【试题解析】 由奇函数的定义可知满足 f(-x)=-f(x)的函数为奇函数，选项A，B，C 中的函数均不满足题意，故选 D。6 【正确答案】 A【试题解析】 因为 a+b 与 a 垂直，所以(a+b).a=0，所以 ，故选 A。7 【正确答案】 D【试题解析】 由题意易知 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成的角为 A1C1A，又故选 D。8 【正确答案】 A【试题解析】 将两点代入函数中，可得 解得 a=b=2，故选 A。9 【正确答案】 C【试题解析】 设与直线 x+y=0 垂直的直线方程为 y=x+a，将圆 x2+2x
8、+y2=0 的圆心(-1，0)代入得 y=x+1，故选 C。10 【正确答案】 C【试题解析】 ，故选 C。11 【正确答案】 D【试题解析】 12 【正确答案】 B【试题解析】 故选B。二、填空题13 【正确答案】 5【试题解析】 ，则由 b3=2b4 易知 n=514 【正确答案】 【试题解析】 因为 y=2x-a 的反函数是 ，且已知 y=bx+3 也为 y=2x-a 的反函数，所以15 【正确答案】 2【试题解析】 作图易知满足不等式组的区域为以点(1，1)，(1，2)，(2，2)为顶点的三角形区域内，故依图已知点(1，1)为图象的最低点，即(x+y) min=2。16 【正确答案】
9、0【试题解析】 三、解答题17 【正确答案】 设 x=cos，y=sin18 【正确答案】 (1) 函数 f(x)的最小正周期为 ，且 0，(2)由(1) 得 f(x)=19 【正确答案】 设两曲线交点坐标为 A(x1，y 1)， B(x2，y 2)，则联立方程组 解得 x2-5x+m=0。方程组有解， =25-4m 0 依题意知|AB|=13，20 【正确答案】 (1) 点 E，F 分别是 AB，BD 的中点，EF 是 AABD 的中位线，EFAD。EF 平面 ACD，AD 平面 ACD，直线 EF平面 ACD。(2)ADBD，EF AD， EFBD。CB=CD，点 F 是 BD 的中点，C
10、FBD 。又EFCF=FBD平面 EFC。 平面 EFC平面 BCD。21 【正确答案】 记“ 该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai (i=1，2，3)，则所以该诜手被淘汰的概率(2) 的可能值为 1，2，3，所以 的分布列为故22 【正确答案】 设a n的公比为 q，由已知得 16=2q3，解得 q=2。故数列a n的通项公式 an=2n。(2)由(1) 得 a3=8，a 5=32，则 b3=8，b 5=32，设b n的公差为 d，23 【正确答案】 tan 2xdx=(sec2x-1)dx=sec2xdx-dx=tanx-x+C(C 为任意常数)。24 【正确答案】 (1)BC
11、D=90+60=150，CB=AC=CD，CBE=15，(2)在 ABE 中，AB=2 ，25 【正确答案】 (1)f(x)=3x 2-9x+6=3(x-1)(x-2)，(-，+)，f(x)m，即 3x2-9x+(6-m)0 恒成立， =81-12(6-m)0， (2)当 x1 时 f(x)0；当 1x2 时 f(x)0；当 x2 时 f(x)0，当 X=1 时 f(x)取极大值当 x=2 时 f(x)取极小值 f(2)=2-a，故当 f(2)0 或f(1)0 时，方程f(x)=0 仅有一个实根，26 【正确答案】 (1)如图， (2)所求多面体的体积 (3)在长方体 ABCD-ABCD中，连接 AD，则 ADBC。点 F，G 分别为 AA，AD的中点，ADFG，FGBC。又 BC平面 EFG。27 【正确答案】 (1)C 1 的方程为 x2+y2=1，是以 O(0，0)为圆心，r=1 为半径的圆；C2 的方程为 ，是斜率为 k=1 的直线。圆心 C1 到直线 的距离为 1，C 1 与 C2 只有一个公共点。(2)压缩后的参数方程分别为所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和原来相同。
