1、2010 年江苏省教师公开招聘考试（中学数学）真题试卷及答案与解析一、选择题1 设 i 为虚数单位，则复数 在复平面内对应的点位于 ( )（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限2 某医院决定抽调甲、乙、丙、丁 4 名医护人员参加抗震救灾，先随机地从这 4 人中抽取 2 人作为第一批救灾医护人员，那么丁被抽到作为第一批救灾医护人员的概率是( )3 设全集 R，若集合 A=x|x-2|3，B=x|y=log 2 (x-1)，则 为( )（A）x|1 x5（B） x|x-1 或 x5（C） x|x1 或 x5（D）x|-1x54 已知 ，则导数 f(x0)等于( )5 一个几何体的
2、三视图如图所示，则该几何体的体积为( )6 在 这三个实数中，分数共有( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个7 计算不定积分xdx=( )8 如图所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的俯视图是( )9 假设一次“ 迎全运” 知识竞赛中共有 20 道题，对于每一道题，答对了得 10 分，答错了或不答扣 5 分，如果某位选手至少要答对 x 道题，其得分才会不少于 95 分，那么 x 等于( ) （A）14（B） 13（C） 12（D）1110 在ABC 中， C=90， BC=4cm，AC=3cm 把 ABC 绕点 A 顺时针旋转 90后，得到AB 1C1 (如图所
3、示)，则点 B 所走过的路径长为( )二、填空题11 化简 的结果是_12 计算不定积分 =_13 计算 =_14 如图，边长为 2 的正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，过点 O 的直线分别交AD、BC 于 E、F ，则阴影部分的面积是_15 观察下列等式： ；根据这些等式反映的结果，可以得出一个关于自然数 n 的等式，这个等式可以表示为_三、解答题16 计算：17 求函数 y=f(x)的单调区间；18 求 y=f(x)在-1 ，2上的最小值18 如图：已知正方体 ABCDA1B1C1D1，过 BD1 的平面分别交棱 AA1 和棱 CC1于 E、F 两点19 求证：A 1E=CF；20
4、若 E、F 分别是棱 AA1 和棱 CC1 的中点，求证：平面 EBFD1平面 BB1D120 已知公差 d 为正数的等差数列a n和公比为 q(q1)的等比数列b n21 若 对一切 nN*恒成立，求证：da 1q-a1；22 若 d1，集合a 3，a 4，a 5b3，b 4，b 5=1，2，3，4，5，求通项公式an，b n23 要建一间地面面积为 20m2，墙高为 3m 的长方形储藏室，在四面墙中有一面安装一扇门(门的面积和墙面的面积按一定的比例设计)已知含门一面的平均造价为300 元/m 2，其余三面的造价为 200 元/m 2，屋顶的造价为 250 元/m 2问怎样设计储藏室地面矩形
5、的长与宽，能使总价最低，最低造价是多少?23 已知函数 f(x)的定义域为 R，且对任意的实数 x，导函数 f(x)满足 0f(x)2且 f(x)1常数 c1 为方程 f(x)-x=0 的实数根，常数 c2 为方程 f(x)-2x=0 的实数根若对任意的闭区间a，b R，总存在 xo(a，b)，使等式 f(b)-f(a)=(b-a)f(x0)成立24 求证：方程 f(x)-x=0 不存在异于 c1 的实数根；25 求证：当 xc 2 时，总有 f(x)2x 成立；26 对任意的实数 x1、x 2，若满足|x 1-c1|1，|x 2-c2|1求证：|f(x 1)-f(x2)|42010 年江苏省
6、教师公开招聘考试（中学数学）真题试卷答案与解析一、选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 ，因此，z 在复平面内对应的点位于第一象限2 【正确答案】 A【试题解析】 丁被抽到作为第一批救灾医护人员的概率是是 ，因此本题选3 【正确答案】 C【试题解析】 A=x|x-2|3=x|-1x5 ，B=x|y=log 2 (x-1)=x|x1，所以AB=x|1x5，4 【正确答案】 D【试题解析】 所以 故选 D5 【正确答案】 B【试题解析】 由三视图可知，该几何体为棱锥，底面为菱形, =，高 h=4， 6 【正确答案】 B【试题解析】 分数一定是有理数， 是无理数，故不是分数，只有 是分数，选 B7
7、 【正确答案】 C【试题解析】 (C 为常数)，故选 C8 【正确答案】 D9 【正确答案】 B【试题解析】 设答对了 y 道题，其得分才会不少于 95 分10y-5(20-y)95，10y-100+5y55， 15y195，y13 ，故 x=13选 B10 【正确答案】 C【试题解析】 点 B 所走的路径是以 A 点为圆心， AB 长为半径的圆弧 BB1 的弧长，根据题意，可得 AB=5cm，圆弧所对的圆心角为 90，因此 B 所走过的路径长为cm二、填空题11 【正确答案】 -2a-b【试题解析】 =-2a-b12 【正确答案】 arctanx+C(C 为常数)【试题解析】 13 【正确答
8、案】 2【试题解析】 14 【正确答案】 1【试题解析】 由图可知，OFC 的面积等于 OAE 的面积，因此，阴影部分的面积等于OAD 的面积，即为正方形面积的 ，故阴影部分的面积是 15 【正确答案】 【试题解析】 由于 =，所以三、解答题16 【正确答案】 解 原式=2-1+2=3设函数17 【正确答案】 f(x)=2xe x-1+x2ex-1-x2-2x=(x2+2x)(ex-1-1)，令 f(x)=0，可得 x1=-2，x 2=0，x 3=1，函数增减情况如下表：由上表可知：函数 y=f(x)的增区间为(-2，0)和(1，+)，减区间为(-，-2)和(0，1)。18 【正确答案】 当
9、x-1，2时，f(x) 极小 =f(1)= ，所以y=f(x)在-1，2上的最小值为19 【正确答案】 由题知，平面 EBFD1 与平面 BCC1B1 交于 BF、与平面 ADD1A 交于 ED1， 又平面 BCC1B1平面 ADD1A1， D 1EFB，同理 BED1F 四边形EBFD1 为平行四边形， D1E=BF。 A 1D1=CB，D 1E=BF，D 1A1E=BCF=90， RtA1D1ERtCBF， A1E=CF20 【正确答案】 四边形 EBFD1 是平行四边形 AE=A1E，FC=FC 1， RtEABRtFCB， BE=BF， 故四边形 EBFD1 为菱形 连结 EF、BD
10、1、A 1C1 四边形 EBFD1 为菱形， EFBD1 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中， 有B1D1A1C1，B 1D1A1A B1D1平面 A1ACC1 又 EF 平面 A1ACC1， EFB 1D1 又 B1D1BD1=D1， EF平面 BB1D1 又 EF 平面 EBFD1， 故平面 EBFD1平面BB1D121 【正确答案】 an0，da n (q-1)，对一切 nN*恒成立又d0，q1， da1 (q-1)22 【正确答案】 1，2，3，4，5 这 5 个数中成等比且公比 q1 的三数只能为1，2，4， 只能是 b3=1，b 4=2，b 5=4，a 3=1，a 4=3，a
11、5=5 a n=a3+(n-3)d=2n-5，b n=b3qn-3=2n-323 【正确答案】 当储藏室地面矩形在门正下方的一边长为 4 米，另一边的长为 5米时，能使总造价最低，最低造价为 17000 元设地面矩形在门正下方的一边长为xm，则另一边的长为 m设总造价为 y 元，则y=20250+3x?300+(3x?200+32? ?200)=5000+1500(x+ )，其中 x0因为当且仅当 即 x=4 时取“=” ，所以，当 x=4 时y 有最小的值 17000，此时24 【正确答案】 假设存在实数 c0，c 1c0 且 f(c0)-c0=0 不妨设 c0c 1， 则存在c3(c0，c
12、 1)， 使等式 f(c1)-f(c0)=(c1-c0)f(c3)成立， 即 f(c3)(c1-c0)=c1-c0， 即 f(c3)=1，这与 f(x)1 矛盾，所以假设不成立， 故方程 f(x)-x=0 不存在异于 c1 的实数根25 【正确答案】 令 F(x)=f(x)-2x，则 F(x)=f(x)-2由已知 0f(x)2，则 F(x)0，所以 F(x)在定义域 R 上为单调递减函数因为 c2 是方程 f(x)-2x=0 的实数根，即 F(c2)=0，从而当 xc 2 时，F(x)F(c 2)=0，即 f(x)-2x0，f(x)2x所以，当xc 2 时，总有 f(x)2x 成立26 【正确答案】 当 x1=x2 时， |f(x 1)-f(x2)|=04，显然成立 当 x1x2 时，不妨设x1x 2 由定理可知，总存在 x0(x1，x 2)， 使得 f(x2)-f(x1)=f(x0)(x2-x1)， 所以|f(x 2)-f(x1)|=f(x0)|x2-x1|=|f(x0)|x2-c1-x1+c1|f(x0)|(|x2-c1|+|x1-c1|) ，由于 0f(x)2，|x 1-c1|1，|x 2-c1|1， 所以|f(x 0)|(|x2-c21|+|x1-c1|)2(1+1)=4， 故|f(x 1)-f(x2)|4 成立
