1、2010 年福建省教师公开招聘考试（中学数学）真题试卷及答案与解析一、选择题1 若集合 A=x1x3，B=xx2，则 AB 等于( )。（A）x 2 x3（B） xx1（C） x2x3（D）x x 22 1-2sin2225 等于( )。3 等比数列a n中，a 1=2，a 8=4，函数 f(x)=x(x-a1)(x-a2)(x-a8)，则 f(0)=( )。（A）2 5（B） 29（C） 212（D）2 154 设 z1、z 2 是复数，且 z12+z220，则正确的是( )。（A）z 12-z 22（B） z1、z 2 中至少有一个是虚数（C） z1、z 2 中至少有一个是实数（D）z 1
2、、z 2 都不是实数5 定义在 R 上的任意函数 f(x)，都可以表示成一个奇函数 g(x)和一个偶函数 h(x)之和，如果 f(x)=lg(10x+1)，那么( )。6 甲组有 5 名男同学、3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学，若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( )。（A）150 种（B） 180 种（C） 300 种（D）345 种7 不等式 的解集是( )。8 直线 x-y+m=0 与圆 x2+y2-2x-2=0 相切，则实数 m 等于( )。9 函数 y=lncosx(- )的图象是( )。10 已知 x0，y0，x+
3、2y+2xy=8 ，则 x+2y 的最小值是 ( )。（A）3（B） 4（C） 92（D）11211 已知 ，则导数 f(x0)等于( )。（A）-1（B） 3（C） 23（D）3212 函数 的零点个数为( )。（A）0（B） 1（C） 2（D）313 对于复数 a，b，c ，d，若集合 S=a，b，c，d具有性质“对任意 x，yS，必有xyS”，则当 时， b+c+d 等于( )。（A）1（B） -1（C） 0（D）i14 某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选修课 4 门，一位同学从中共选 3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )。（A）30 种（B） 35 种（C
4、） 42 种（D）48 种15 数学课程内容的呈现应注意层次性和( )。（A）实用性（B）延伸性（C）基础性（D）多样性二、填空题16 学生是数学学习的_，教师是数学学习的_、_和_。17 新课程倡导的数学教学方法有_、_和合作交流。18 直线 x-2y+5=0 与圆 x2+y2=8 相交于 A、B 两点，则AB=_ 。19 若函数 y=(12) 1-x +m 的图象与 x 轴有公共点，则 m 的取值范围是_。20 设ABC 的内角 A，B，C，所对的边分别是 a，b，c，若(a+b-c)(a+b+c)=ab，则角 C=_。三、解答题20 计算：21 -3 +(-1) 0-22 (x+1)2+
5、2(1-x)-x2。23 求函数 y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x 的最大值与最小值。23 已知函数 f(x)=x3-(k2-k+1)x2+5x-2，g(x)=k 2x2+kx+1，其中 hR。24 设函数 p(x)=f(x)+g(x)，若 p(x)在区间(0，3)上不单调，求 k 的取值范围；25 设函数 是否存在 k，对任意给定的非零实数 x1，存在唯一的非零实数 x2(x2x1)，使得 g(x2)-q(x1)成立? 若存在，求 k 的值；若不存在，请说明理由。25 如图所示，平面 PAD平面 AlBCD，四边形 ABCD 为正方形，PAD=90，且PA=AD=2，E
6、，F，G 分别是线段 PA、PD 、CD 的中点。26 求证：PB平面 EFG；27 在线段 CD 上是否存在一点 Q，使得点 A 到平面 EFQ 的距离是 45?28 求抛物线 y=x2 上的点到直线 x-y-2=0 的最短距离。29 写出课题“ 探索等腰三角形的性质 ”一课的教学目标。30 请对课题“ 探索直线平行的条件 ”一课的教材和学习任务进行分析。2010 年福建省教师公开招聘考试（中学数学）真题试卷答案与解析一、选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 因为 A=x1x3 ，B=xx2，所以，AB=x2x3。2 【正确答案】 B【试题解析】 由倍角公式可得：1-2sin 2225=c
7、os45=3 【正确答案】 C【试题解析】 函数 f(x)的展开式中 x 项的系数为 a1a 2a 8=(a0a 8)4=84=212，而 f(0)=a0a 2a 8=212，故选 C。4 【正确答案】 B【试题解析】 令 z1=2+2i，z 2=1-4i，则 z12=4+8i-4=8i，z 22=(1-4i)2=1-8i-16=-15-8i，故 z12+z22=8i+(-15-8i)=-150，显然满足 z12+z220，但 z12 与 z22 不能比较大小，故排除 A 项，令 z1=i，z 2=i，则 z12=-1，z 22=-1，显然满足 z12+z22=-1+(-1)=-20，但 z1
8、 与 z2 都是虚数，排除 C 项，令 z1=1，z 2=2i， 12=1，z 22=-4，显然满足z12+z22=1+(-4)=-30，但 z1=1 是实数，排除 D 项，故选 B。5 【正确答案】 C【试题解析】 f(-x)=lg(10 -x+1)= =lg(10x+1)-lg10x=lg(10x+1)-x，A、B、D 三项经过验证都不正确，对于选项 C，g(x)+h(x)=lg(10 x+1)=f(x)，g(x)显然为奇函数，h(-x)=lg(10 -x+1)+ =h(x)，即 h(x)为偶函数，符合题意，故选 C。6 【正确答案】 D【试题解析】 4 人中恰有 1 名女同学的情况有两种
9、，即这 1 名女同学来自甲组，或来自乙组，则所有不同的选法共有 C51C31C62+C52C61C21=345(种)。7 【正确答案】 D【试题解析】 易知 x1，可排除 B 项；由 x=0 是不等式的解，可排除 C 项；由x=3 是不等式的解，可排除 A 项，故选 D,(也可用分式不等式的解法，直接求解 )8 【正确答案】 C【试题解析】 圆 x2+y2-2x-2=0 即(x-1) 2+y2=3，圆心(1，0)，半径 ，由直线 x-y+m=0 与圆 x2+y2-2x-2=0 相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，即9 【正确答案】 A【试题解析】 由 y=lncosx(- ，)是偶函数，可
10、排除 B，D 两项，由 cosx 的值域可知选 A。10 【正确答案】 B【试题解析】 x+2y+2y=8，当 x+1=时，取得最小值，即：x=2，y=1。x+2y 的最小值为 4。11 【正确答案】 D【试题解析】 故选 D。12 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)的零点个数为 2 个。13 【正确答案】 B【试题解析】 S=a ，b，c，d，由集合中元素的互异性可知当 a=1 时，b=-1，c 2=-1，c=i，又“对任意 x，yS 必有 xyS”知当 c=i，d=-i；当 c=-i，d=i，即c+d=0， b+c+d=(-1)+0=-1。14 【正确答案】 A【试题解析】 从 7 门
11、选修课中选 3 门总共 C73 种选法，其中只选 A 类选修课有C33 种选法，只选 B 类选修课有 C43 种选法，所以两类课程中各至少选一门的选法有 C73-(C33+C43)=30(种)选法。15 【正确答案】 C二、填空题16 【正确答案】 主人，组织者，引导者，合作者17 【正确答案】 动手实践，自主探索18 【正确答案】 2【试题解析】 圆心到直线 x-2y+5=0 的距离为 ，则AB=219 【正确答案】 -1m0【试题解析】 首先作出 y=(12) 1-x 的图象(如下图所示)，欲使 y=(12) 1-x +m的图象与 x 轴有交点，则-1m0。20 【正确答案】 23【试题解
12、析】 由已知条件(a+b-c)(a+b+c)=ab 可得 a2+b2-c2+2ab=ab，即 a2+b2-C2=-ab，由余弦定理得： cosC= ，又因为 0B，所以 C=23。三、解答题21 【正确答案】 -3+(-1) 0- =3+1-3=1。22 【正确答案】 )(x+1) 2+2(1-x)=x2=x2+2x+1+2-2x-x2=3。23 【正确答案】 y=7-4sinxcosx+4cos 2x-4cos4x=7-2sin2x+4cos2x(1-cos2x)=7-2sin 2x+4cos2xsin2x=7-2sin2x+sin22x=(1-sin2x)2+6。 对于函数 z=(u-1)
13、2+6，u-1，1， 最大值为：z max=(-1-1)2+6=10； 最小值为：z min=(1-1)2+6=6。 故当 sin2x=-1 时，y取得最大值 10；当 sin2x=1 时，y 取得最小值 6。24 【正确答案】 p(x)=f(x)+g(x)=x 3+(k-1)x2+(k+5)x-1，p(x)=3x 2+2(k-1)x+(k+5)。因为 p(x)在(0，3)上不单调，所以 p(x)=0 在(0 ，3)上有实数解，且无重根。由 p(x)=0，得： k(2x+1)=-(3x2-2x+5)， 令 t=2x+1，有t(1，7)，记 h(t)=t+ 则 h(t)在(1，3 上单调递减，在
14、 3，7)上单调递增。所以 h(t)6，10)，于是(2x+1)+ 6，10)，得 k(-5， -2。而当 k=-2 时，p(x)=0 在(0，3)上有两个相等的实根 x=1，故舍去所以 k(-5，-2)。25 【正确答案】 由题意得，当 x0 时，q(x)=f(x)=3x 2-2(k2-k+1)x+5；当 x0 时，q(x)=g(x)=2k2x+k。因为当 k=0 时不合题意，所以 k0。下面讨论 k0 的情形。记A=g(x)x0)，B=f(x)x0，则 A=(k，+)，B=(5，+)， 当 x10 时，q(x)在(0，+)上单调递增，所以要使 q(x2)=q(x1)成立，只能 x20，且
15、A B，因此 k5；当 x10 时，q(x) 在(- ，0) 上单调递减，所以要使 q(x2)=q(x1)成立，只能 x20，且 B A，因此 k5，综合 ，得 k=5。当 k=5 时，有 A=B。则x10，q(x 1)B=A，即 x20，使得 q(x2)=q(x1)成立。因为 q(x)在(0，+)上单调递增，所以 x2 是唯一的。同理， x10，存在唯一的非零实数 x2(x2x1)，使得 q(x2)=q(x1)成立所以 k=5 符合题意。26 【正确答案】 以 A 为坐标原点， 分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系 A-xyz，则 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，
16、0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0 ，0，1)，F(0，1，1)，G(1 ，2，0) ，则(2，0，-2)=m(0，-1，0)+n(1 ，1，-1)，解得：m=n=2。 PB面 EFG。27 【正确答案】 假设在线段 CD 上存在一点 Q 满足题意，令 CQ=m，则 DQ=2-m，(0m2)Q(2-m，2，0)， =(0，1，0)，设平面 EFQ 的法向量，n=(1，y，z)，则 则 n=(1，0，2-m)，又 =(0，0，1)，A 到平面 EFQ 的距离故存在点 Q，CQ=2 3 满足题意。28 【正确答案】 根据题意可知，与直线 x-y-2=0 平行的抛物线 y=x2 的切线
17、对应的切点到直线 x-y-2=0 的距离最短，设切点坐标为 (x0，x 02)，那么=2x0=1， x0=12。切点坐标为抛物线上的点到直线的最短距离为29 【正确答案】 “ 探索等腰三角形的性质 ”的教学目标如下：知识与技能目标：学生通过实验探索发现等腰三角形的性质，掌握运用性质进行基本推理的技能，能应用等腰三角形的性质解决实际问题，进而获得初步分析、概括的能力。过程与方法目标：学生在通过折纸实验等探索等腰三角形的性质和证明的活动过程中，进一步经历观察、实验、归纳、推理、交流等活动，体验数学证明的必要性，培养学生数学说理的习惯，发展几何直觉与合情推理的能力。情感态度与价值观目标：通过等腰三角
18、形“三线合一” 的构图特点，体会几何图形的和谐美，体会在学习中和同学合作的重要性，并在数学学习活动中获得成功的体验，树立良好的自信心。30 【正确答案】 教材分析：生活中存在着丰富的几何图形，探索直线平行的条件就是在生动有趣的问题情境中，让学生经历探索直线平行的全过程，通过观察、操作、推理、交流等数学活动中，得到同位角的概念和“同位角相等，两直线平行” 的结论，同时教材在探索直线平行的条件中自然地引入了“三线八角” ，而不是孤立地处理这些内容。学习任务分析：在以前学习知识的基础上，培养学生的知识和能力，经历一系列探索、交流活动，发展空间观念；在数学中思考；通过“转动木条” 的活动，锻炼学生观察、想象、思考的能力；在实际操作中，使学生认识“同位角相等，两直线平行”的结论，并用自己的语言说出结论；同时应力图在学习中逐步达成学生的相关情感态度目标。
