1、2013 年上半年中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）真题试卷及答案与解析一、单项选择题1 下列命题不正确的是( )。（A）平面上到两定点的距离之和为定长(大于两定点间的距离)的动点轨迹是椭圆（B）平面上到定点与定直线距离之比为常数 p 且 0p1 的动点轨迹是椭圆（C）平面与圆锥的交线是椭圆（D）满足方程 的平面曲线是椭圆2 设 M 为 33 实数矩阵，a 为 M 的实特征值 的特征向量，则下列叙述正确的是( )。（A）当 0 时，Ma 垂直于 a（B）当 0 时，Ma 与 a 方向相反（C）当 0 时，Ma 与 a 方向相同（D）向量 Ma 与 a 共线3 将抛物线 绕它的对
2、称轴旋转一周，所得旋转曲面的方程是( )。（A）x 2+z2=2py（B） x2+y2=2pz（C） y2+z2=2px（D）x 2-y2=2pz4 在下列四个命题的证明中，极限 起重要作用的是( )。（A）正弦函数连续（B）指数函数连续（C）多项式函数连续（D）5 设函数 ，则 f(x)的零点个数为( )。（A）0（B） 1（C） 2（D）36 设 M、N 为随机事件，P(N)0，且条件概率 P(MN)=1，则必有（A）P(MN)P(M)（B） P(MN)P(N)（C） P(MN)=P(M)（D）P(MN)=P(N)7 普通高中数学课程标准(试验)的课程目标中提出了五种基本能力，下列不属于这
3、五种基本能力的是( )。（A）抽象概括（B）数据处理（C）推理论证（D）数学交流8 下列陈述可以作为数学定义的有( )。 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线；无穷小量是无限趋向于 0 的量 渐近线是与曲线很接近的直线（A）（B） （C） （D）二、简答题9 若曲线 y=x4 的一条切线 I 与直线 x+4y-8=0 垂直，求切线，的方程。10 设 Q(x)=x3+px+q，且 + 满足方程组 (1)证明 + 是 Q(x)=0 的根； (2)写出以 3。和 2 为根的一元二次方程。11 设平面闭区域 D=(x，y)x-y+10，x+y-30，且 x+3y-30求函数 f(x，y)=3x-y
4、在 D 上的最小值，并说明理由。12 简述高中数学课程的地位和作用。13 结合实例简要分析数学概念教学的基本要求。三、解答题14 设质点作匀速圆周运动，其轨迹为 r(t)=(x(t)，y(t)，其中 x(t)=Rcost，y(t)=Rsint，速度和加速度分别定义为 v(t)=(x(t)，y(t)，和 a(t)=(x(t)，y(t)。 (1)求v(t)和 a(t)； (2)证明y(t) =R 及 ，其中 v0=R； (3)若一飞行器绕地球作匀速圆周运动且只受重力作用(高度可忽略不计)，求其飞行速度的大小(设地球半径为 6400 千米，重力加速度为 g=10 米秒 2)。四、论述题15 普通高中
5、数学课程标准(实验)指出：“ 学生对基础知识和基本技能的理解与掌握是数学教学的基本要求，也是评价学生学习的基本内容；评价要注重对数学本质的理解和思想方法的把握，避免片面强调机械记忆，模仿以及复杂技巧。”请分别给出评价学生基础知识与基本技能掌握情况的具体建议，并举例说明。五、案例分析题16 案例：某教师在进行幂函数教学时，给学生出了如下一道练习题： 已知(a+1) -2(1-2a) -2，求 a 的取值范围。 某学生的解答过程如下： 问题： (1)指出该生解题过程中的错误，分析其错误原因； (2)给出你的正确解答(限用幂函数的图像和性质来解答)； (3) 指出你解题所运用的数学思想方法。六、教学
6、设计题17 “数列”是高中数学必修 5 的内容。普通高中数学课程标准 (实验)要求学生能“通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型；在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。” (1)请设计一道能用等比数列知识解决的实际问题并求解；(要求：给出问题情境；抽象出数量关系；建立数学模型；写出解答过程、讨论和反思。)(2)根据上面的问题情境设计一道开放题或探索题。2013 年上半年中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）真题试卷答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 平面与圆锥的交线可能是圆、椭圆、三角
7、形等形状，所以 C 不对。2 【正确答案】 D【试题解析】 由已知得 Ma=a，所以，Ma 与 a 共线。3 【正确答案】 B【试题解析】 抛物线 绕它的对称轴旋转。得到的旋转曲面的方程式为 0，则抛物线 绕它的对称轴旋转曲面的方程式为，化简得 x2+y2=2pz。4 【正确答案】 D【试题解析】 正弦函数连续的证明主要用正弦函数的和差化积公式，再结合夹逼法则进行证明；指数函数 y=ax 连续的证明用到 ；多项式函数连续的证明，用到了左极限=右极限=函数值，及连续函数四则运算。5 【正确答案】 B【试题解析】 由函数，显然 f(x)0，所以函数 f(x)是增函数。又因为当 x0 时 f(x)0
8、；当 x0 时，f(x) 0，所以函数 f(x)只有一个零解。6 【正确答案】 C【试题解析】 由已知得 P(MN)=P(M)+P(N)-P(MN)，P(M N)=P(M)。7 【正确答案】 D【试题解析】 五种基本能力是空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解和数据处理。8 【正确答案】 A【试题解析】 2、3 是概念的性质。二、简答题9 【正确答案】 因为与直线 x+4y-8=0(斜率 )垂直，且 k1k2=-1，则直线，的斜率 k2=4。对曲线 y 求导得 y=4x3，令 y=_4，求得 x=1。带入 y=x4，得 y=1，则 I 的方程为 y-1=4(x-1)。所以 y-1=4x-4，得
9、 4x-y-3=0。10 【正确答案】 (1)因为 3+3=-q，所以 (+)( 2-+2)=-q，(+)(+) 2-3=-q 3=-p，(+)(+) 2+p=-q(+)3+p(+)+q=0 又因为 Q(x)=x3+px+q，所以 +是 Q(x)=0 的根。 (2)以 3 和 3 为根的一元二次方程为(x- 3)(x-3)=0。 x 2-(3+3)x+33=0，所以方程为11 【正确答案】 函数 f 在 D 上的最小值为-1，运用线性规划可得。12 【正确答案】 高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最基本的内容，是培养公民素质的基础课程。高中数学课程对于认识数学与
10、自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力。高中数学课程是学习高中物理、化学、技术等课程和进一步学习的基础。同时。它为学生的终身发展，形成科学的世界观、价值观奠定基础，对提高全民族素质具有重要意义。13 【正确答案】 数学概念是反映客观事物在数量关系和空间形式方面的本质属性的思维形式。数学概念学习的本质就是概括出数学中一类事物对象的共同本质属性，正确区分同类事物的本质属性与非本质属性，正确形成数学概念的内涵和外
11、延。数学概念教学的基本要求有以下几点：(1)加强对数学概念的解剖分析数学概念是借助于数学语言符号来表达的，其用语、用词一般都非常严密、精练，具有高度的概括性，因而，有的概念叙述十分简练，寓意深刻；有的用符号、式子表示，比较抽象，对这些概念，教师必须抓住概念中的关键词句进行解剖分析，揭示每一个词、句、符号、式子的内在含义，使学生深刻理解概念的本质属性。(2)利用变式，突出概念的本质属性变式是指概念例证在非本质属性方面的变化，利用变式的目的是通过非本质属性的变化来突出本质属性，使学生获得的概念更精确、更稳定。(3)注意概念的对比和直观化数学中有许多概念是平行相关的概念，如果能将它们有机地联系在一起
12、进行类比，就可以收到由此及彼、温故而知新的效果，例如分数和分式的类比、数列、极限和函数极限的类比、平面几何与立体几何的类比等。有些数学概念之间，联系紧密，差别较小，形式相似，容易被学生混淆，对这些概念，就要让学生比较他们的内涵和外延，在比较中加以鉴别，澄清模糊。(4)注意概念体系的建构在数学概念教学中，不但要使学生掌握单个的概念，而且还要使学生掌握概念体系，建构良好的数学认知结构，新概念是在原有概念的基础之上形成的，或是原有概念的限制、延伸或扩充。因此。新旧概念之间有着内在的联系，如相邻关系、对立关系、矛盾关系、交叉关系、从属关系、并列关系等，这些联系是构建概念体系的前提。在经过每一章节的学习
13、之后，应引导学生将所学的概念加以整理、归类，理清概念之间的关系，特别是种属关系，将这些概念联点串线，建立章节或学科的概念网络体系，使概念纵横贯通，有助于学生深化对概念的理解，学生一旦形成了这样的概念体系，不仅有利于概念的储存和检索，而且有助于理解和吸收新概念。(5)注意概念产生的背景为帮助学生透彻理解并掌握所学的数学概念，关键的问题是不仅要让学生知道一节课学习的内容，更要让学生知道为什么要学这个内容，由“知其然” 发展到“知其所以然”，即使是教师直接告诉学生课题，也要作出充分的铺垫，使得学生觉得这个时候学习这个内容是应该的，自然而然的，不至于产生从天上掉下一个概念的感觉。长此以往，学生就会逐渐
14、在学习过程中自己给自己提出下一步要研究什么的问题，发展自我探求知识的能力。三、解答题14 【正确答案】 (1)v(t)=(Rcostot)，(Rsinwt)=(-Rwsinwt，Rwcoswt)=Rw(-sinwt， coswt) a(t)=v(t)=(-Rw2cstot，-Rw 2inwt)=-Rm2(costot，sinwt) (2)(3)由(2)可得，四、论述题15 【正确答案】 (1)评价对数学的理解，可以关注学生能否独立举出一定数量的用于说明问题的正例和反例。特别地，对核心概念学习的评价应该在高中数学学习的整个过程中予以关注。(2)评价应关注学生能否建立不同知识之间的联系，把握数学知
15、识的结构、体系。(3)对数学基本技能的评价，应关注学生能否在理解方法的基础上，针对问题特点进行合理选择，进而熟练运用。(4)数学语言具有精确、简约、形式化等特点，能否恰当地运用数学语言及自然语言进行表达与交流也是评价的重要内容。五、案例分析题16 【正确答案】 (1)忽略了偶次方，把问题复杂化导致分类不全面。 (2)解：由(a+1)-2(1 2a)-2 可得 所以 a 的取值范围是a 0a2 且 (3)运用了转化思想。六、教学设计题17 【正确答案】 (1) 创设情境，提出问题 在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋
16、盘的 64 个方格上，第一格放 1 粒小麦，第二格放 2 粒，第三格放 4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第 64 格。国王令官廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊。为什么呢? 问题 1：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗? (设计意图：设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性。故事内容紧扣本节课的主题与重点。) 师生互动：引导学生写出麦粒总数 1+2+22+23+263。带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和。这时对他们的这种思路给予肯定。 (设计意图：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所
17、谓的“无用功”，急急忙忙地抛出 “错位相减法”，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢?在这个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍。同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔。) 师生互动。探究问题 在肯定他们的思路后，接着问：1+2+2 2+23+263 是什么数列?有何特征?应归结为什么数学问题呢? 学情预设：探讨 1：设 S64=1+2+22+23+263，记(1)式，注意观察每一项的特征，有何联系?(学生会发现，后一项都
18、是前一项的 2 倍) 探讨2：如果我们把每一项都乘以 2，就变成了它的后一项，(1)式两边同乘以 2 则有2S64=2+22+23+263+264，记为(2)式。比较(1)(2)两式，你有什么发现? (设计意图：留出时间让学生充分地比较，等比数列前 n 项和的公式推导关键是变“加” 为“减”，在教师看来这是“ 天经地义 ”的，但在学生看来却是 “不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机。) 经过比较、研究，学生发现：(1)、(2) 两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：S 64=264-1。老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观
19、全过程。 反思：为什么(1)式两边要同乘以 2 呢? (设计意图：经过繁难的计算之后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简单了!让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心。) 故事结束，首尾呼应 最后我们回到故事中的问题，我们可以计算出国王奖赏的小麦约为 18410 19 粒，大约 7000 亿吨，用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽 10 米、厚 8 米的大道，大约是全世界一年粮食产量的 459 倍，显然国王兑现不了他的承诺。 (设计意图：把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服疲倦、继续积极思维。) 教学反思 对公式的教学，要使学生掌握与理解公式
20、的来龙去脉，掌握公式的推导方法，理解公式的成立条件，充分体现公式之间的联系。在教学中，采用“问题探究” 的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律：总结规律、应用规律四个阶段。 (2)引导学生将结论一般化，设等比数列a n，首项为 a1，公比为 g，如何求前项和Sn?这里，让学生自主完成，井喊一名学生上黑板，然后对个别学生进行指导。 (设计意图：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。) 学情预设：在学生推导完成后，再问：由(1-q)S n=a1-a1qn 得 对不对?这里的 q 能不能等于 1?等比数列中的公比能不能为 1?q=1 时是什么数列?此时 Sn=?(这里引导学生对 q 进行分类讨论，得出公式，同时为后回的例越教学打下基础。) 再次追问：结合等比数列的通项公式 an=a1qn-1，如何把 Sn 用 a1、a n、q 表示出来?(引导学生得出公式的另一形式) (设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力。这一环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而确有画龙点睛之妙用。)
