1、2013 年福建省教师公开招聘考试（中学数学）真题试卷及答案与解析一、选择题1 设 A(0，0)，B(4，0)， C(t+4，4)，D(t，4)(t R)，记 N(t)为平行四边形 ABCD 内部(不含边界 )的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数 N(t)的值域为( )。（A）9 ，10 ，11（B） 9，10，12（C） 9，11，12（D）10 ，11 ，122 命题“若一个数是负数，则它的平方是正数” 的逆命题是 ( )。（A）若一个数是负数，则它的平方不是正数（B）若一个数的平方是正数，则它是负数（C）若一个数不是负数，则它的平方不是正数（D）若一个数的平方不是正数
2、，则它不是负数3 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )。（A）y=x+1（B） y=-x2（C） y=1x（D）y=xx4 函数 y=ax-a(a0，a1)的图象可能是( )。5 某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50 亩，投入资金不超过 54 万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入- 总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩) 分别为( ) 。（A）50，0（B） 30，20（C） 20，30（D）0，506 设函数 f(x)=xex，则( ) 。（A）x=1 为 f(x)的极大值点（B） x=1 为 f(x)的极
3、小值点（C） x=-1 为 f(x)的极大值点（D）x=-1 为 f(x)的极小值点7 直角边之和为 12 的直角三角形面积的最大值等于( )。（A）16（B） 18（C） 20（D）不能确定8 设a n是首项大于零的等比数列，则 “a1a 2”是“ 数列a n是递增数列” 的( )。（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件9 设向量 a、 b、c 满足 a=b=1，a b=-12，a-c，b-c=60，则c的最大值等于( ) 。（A）2（B）（C）（D）110 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC、
4、CB 的长，则该矩形面积大于 20cm2 的概率为( ) 。11 阅读程序框图，运行相应的程序，当输入 x 的值为-25 时，输出 x 的值为( )。（A）-1（B） 1（C） 3（D）912 把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，然后向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图象是( )。13 在ABC 中， A=120，AB=5 ，BC=7 ， 的值为( )。（A）58（B） 85（C） 35（D）5314 给定两个长度为 1 的平面向量 ，它们的夹角为 90，如图所示，点 C在以 O 为圆心的圆弧 AB 上运动，若 ，其中
5、 x，yR，则 x+y的最大值是( ) 。（A）1（B）（C）（D）215 设椭圆 (a0 ，b0) 的离心率 e=12，右焦点 F(c，0)，方程 ax2+bx-c=0 的两个根分别为 x1，x 2，则点 P(x1，x 2)在( )。（A）圆 x2+y2=2 内（B）圆 x2+y2=2 上（C）圆 x2+y2=2 外（D）以上三种情况都有可能二、填空题16 数学教学活动必须建立在学生的认知_和已有_的基础上，教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学_的机会，帮助他们在自主探索和_的过程中真正理解和掌握数学知识技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。17 初中数学新课程的四大学
6、习领域是_、_、_、_。18 湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个直径为 12cm，深2cm 的空穴，则该球的表面积为_cm 2。19 定义两种运算： 的奇偶性为_。20 如图，目标函数 z=kx-y 的可行域为四边形 OABC(含边界)，A(1 ，0) ，C(0，1)，若 B(34，23)为目标函数取最小值的最优解，则 k 的取值范围是_。三、解答题21 简述义务教育数学课程标准的总目标。22 简述你对数学教学的看法。23 设 L 为正向圆周 x2+y2=1，计算 L (sinx2-yx2)dx+xy2dy。24 已知直线 l 夹在两条直线 l1：3x+y-2=0 和 x2
7、：x+5y+10=0 之间的线段被点D(2，-3)平分，求直线 l 的方程。25 求证：双曲线 xy=a2 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形面积等于常数。26 已知直线 x+2y-4=0 与抛物线 y2=4x 相交于 A、B 两点，O 是坐标原点，试在抛物线的弧 AOB 上求一点 P，使PAB 的面积最大。27 数学作文理论背景：从 2000 年开始，我国已把“探索型课堂学习” 列入教学计划，并规定了教学时间2001 年华东师范大学的张奠宙教授在一次给研究生的讲话报告中，提出了“数学作文 ”这个概念，它类似于国外学生做的“Project”，“数学作文”是“ 探索型课题”研究过程和结果的展
8、现形式，它不同于严格意义上的数学论文，它是数学“ 双基”的延伸，通过数学作文能够对数学基础进行整理，上升为更加理性的认识。请你用 200300 字简要地谈谈对“数学归纳法” 这个概念的认知。(注意数学语言的运用)2013 年福建省教师公开招聘考试（中学数学）真题试卷答案与解析一、选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 当 t=0 时， ABCD 的四个顶点是 A(0，0)，B(4，0)，C(4 ，4)，D(0，4)，符合条件的点有(1，1) ，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3) ，(3，1)，(3，2)，(3，3) ，共九个，N(t)=9，故选项 D 不正确，当 t=1
9、 时， ABCD的四个顶点是 A(0，0) ，B(4 ，0)，C(5 ，4)，D(1，4)，同理知 N(t)=12，故选项 A不正确，当 t=2 时， ABCD 的四个顶点是 A(0，0)，B(40)。C(6 ，4)，D(2，4)，同理知 N(t)=11，故选项 B 不正确。2 【正确答案】 B【试题解析】 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”，故选 B。3 【正确答案】 D【试题解析】 对于 A，非奇非偶，是 R 上的增函数，不符合题意；对于 B，是偶函数，不符合题意；对于 C，是奇函数，但不是增函数；对于 D，令 f(x)=x
10、 x，因为 f(-x)=-x-x =-f(x)，所以函数是奇函数；f(x)=xx=，函数是增函数，故选 D。4 【正确答案】 C【试题解析】 函数 y=ax-a(a0，a1)的图象可以看成把函数 y=ax 的图象向下平移a 个单位长度得到的，当 a1 时，函数 y=ax-a 在 R 上是增函数，且图象过点(1，0)，故排除 A、B ，当 0a1 时，函数 y=ax-a 在 R 上是减函数，且图象过点(1，0)，故排除 D，故选 C。5 【正确答案】 B【试题解析】 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x 亩，y 亩，种植总利润为 z 万元，由题意可知 ，故一年的种植总利润为：z=0554x+036y
11、-12x-0 9y=x+09y，作出约束条件如图阴影部分，平移直线 x+09y=0 ，当过点 A(30，20)时，一年的种植总利润 z 取最大值，故选 B。6 【正确答案】 D【试题解析】 由于 f(x)=xex，可得 f(x)=(x+1)ex，令 f(x)=(x+1)ex=0 可得 x=-1，令f(x)=(x+1)ex0 可得 x -1，即函数在(-1，+)上是增函数，令 f(x)=(x+1)ex0 可得 x-1 ，即函数在(-，-1)上是减函数，所以，x=-1 为 f(x)的极小值点，故选D。7 【正确答案】 B【试题解析】 设直角三角形的两直角边为 a、b，面积为 S，则 a+b=12，
12、122，ab36，直角三角形面积 S= ab18，故选 B。8 【正确答案】 C【试题解析】 若已知 a1a 2，则设数列a n的公比为 q，因为 a1a 2，所以有a1a 1，q，解得 q1，又 a10，所以数列a n是递增数列；反之，若数列a n是递增数列，则公比 q1 且 a10，所以 a1a 1q，即 a1a 2，所以“a 1a 2”是“数列an是递增数列”的充分必要条件，故选 C。9 【正确答案】 A【试题解析】 构造 =c，BAD=120，BCD=60，所以A，B，C，D 四点共圆，且圆的半径等于 1，可知当线段 AC 为直径时，c最大，最大值为 2，故选 A。10 【正确答案】
13、C【试题解析】 设 AC=x，则 BC=12-x，矩形的面积 S=x(12-x)20，x 2-12x+200， 2x10，由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于 20cm2 的概率 P= ，故选 C。11 【正确答案】 C【试题解析】 当输入 x=-25 时，x1，执行循环， x= -1=4； x=41，执行循环，x= -1=1，x =1，退出循环，输出的结果为x=21+1=3，故选 C。12 【正确答案】 A【试题解析】 将函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到的图象对应的解析式为：y=cosx+1，再将 y=cosx+1 图象向左平移 1个
14、单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图象对应的解析式为：y=cos(x+1)，曲线 y=cos(x+1)由余弦曲线 y=cosx 左移 1 个单位长度而得，曲线 y=cos(x+1)经过点 上函数值小于 0，由此可得，A 选项符合题意，故选 A。13 【正确答案】 C【试题解析】 由余弦定理得，BC 2=AC2+AB2-2ACABcosA，即 49=AC2+25-25ACcos120，解得 AC=3，根据正弦定理，14 【正确答案】 B【试题解析】 以 O 为原点，OA 所在直线为 x 轴， OB 所在直线为 y 轴建立直角坐标系。则 A(1，0) ，B(0， 1)，C(x ，3)，C
15、 点在圆 x2+y2=1 上，(x+y)2=x2+y2+2xy1+x2+y2=2，因此，x+y 的最大值是15 【正确答案】 A【试题解析】 x 1，x 2 是方程 ax2+bx-c=0 的两个根，则有 x1+x2=- x 1x 2=- ，又椭圆的离心率 e= ，则 x12+x22=(x1+x2)-2x1x 2= +12，所以，P(x 1，x 2)在圆 x2+y2=2 的内部。二、填空题16 【正确答案】 发展水平，知识经验，活动，合作交流17 【正确答案】 数与代数，空间与图形，统计与概率，实践与综合应用18 【正确答案】 400【试题解析】 如图，设球的半径为 Rcm，在 RtOO1A 中
16、，AO=Rcm，AOi=122=6cm，OO 1=(R-2)cm，则 R2=62+(R-2)2，解得 R=10cm，所以该球的表面积 S=4R2=4102=400(cm2)。19 【正确答案】 奇函数【试题解析】 由题意知，-f(x) ， f(x)是奇函数。20 【正确答案】 【试题解析】 直线 z=kx-y 的斜率为 k，B 为目标函数 z=kx-y 取最小值的最优解，过 B 点的直线 z=kx-y 与可行域只有一个交点， kABkk BC，又三、解答题21 【正确答案】 通过义务教育阶段的数学学习，学生能：1获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经
17、验。2体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。3了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度，总目标从以下四个方面具体阐述：22 【正确答案】 数学教学应当以学生的发展为本，教师不应是数学教学活动的“管理者”，而应成为学生数学学习活动的组织者、引导者、参与者，教师的主要职责是向学生提供从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动的机会，为学生的数学学习活动创设一个宽松的氛围，激发学生的求知欲，最大限度地发挥他们数学学习的潜能，让学生在活
18、动中通过“动手实践、自主探索、合作交流、模仿与记忆”等学习方式学习数学，获得对数学的理解，发展自我。23 【正确答案】 记 D：x 2+y21，根据格林公式，得24 【正确答案】 设 l 与 l1 的交点为 A(x1，y 1)，与 l2 的交点为 B(x2，y 2)，D(2，-3)是 AB 的中点， B(x2，y 2)在 l2 上，得 x2+5y2+10=0，即 4-x1+5(-6-y1)+10=0。A( )，又直线 l 过 A、D 两点，所以直线 l 的方程为 4x-y-11=0。25 【正确答案】 26 【正确答案】 AB为定值，要使PAB 面积最大，只要点 P 到 AB 的距离最大，即点 P 是抛物线的平行于 AB 的切线的切点，设 P(x，y)，由图可知，点 P 在x 轴下方的图象上， x=4，代入 y2=4z(y0)得 y=-4，P(4，-4)。27 【正确答案】 (1)数学归纳法作为归纳法的一种，它属于完全归纳。(2)数学归纳法的定义(或者解题步骤) 。(3)重难点突破：数学归纳法的重要性及注意点，在证明 P(k+1)时一定要用到归纳假设。(4)适用范围：可以证明与正整数相关的命题。(5)其他：数学归纳法从证明的方式来区分，可以有第一数学归纳法、第二数学归纳法、多重数学归纳法、跷跷板数学归纳法等。
