1、2014 年上半年中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）真题试卷及答案与解析一、单项选择题1 曲线 y=x3+x+1 在点(1， 3)处的切线方程为( )。（A）y=2x+1 （B） y=4x1 （C） y=4x+2 （D）y=3x2 欧式平面 R2 上的下列变换不是保距变换的是( )。（A）平移变换 （B）轴对称变换 （C）旋转变换 （D）投影变换3 积分 的值是( )。4 设随机变量 X 的数学期望E(X)+ ，下列等式中不恒成立的是( )。（A）E(E(X)=E(X) （B） E(XEX)=0（C） E(X+EX)=2EX （D）E(X 2)=(E(X)25 设 A(x1，y
2、 1)，t)，B(x 2,y2)，C(x 3,y3)为平面上不共线的三点，则三角形 ABC 的面积为( )。6 设 函数下列结论正确的是( )。（A）D(x)不是偶函数 （B） D(x)是周期函数（C） D(x)是单调函数（D）D(x)是连续函数7 下列不属于义务教育数学课程标准(2011 年版)规定的第三学段“图形与几何”领域内容的是( ) 。（A）图形的性质 （B）图形的变化 （C）图形与位置 （D）图形与坐标8 “三角形内角和 180”，其判断的形式是 ( )。（A）全称肯定判断 （B）全称否定判断（C）特称肯定判断 （D）特称否定判断二、简答题9 设 ，x(0 ，+) ，证明：(1)f
3、x)在其定义域内单调增加；(2)10 求方程 x4+x3+x2+1=0 四个复根中落在第一象限的那个根，要求用根式表达。 (提示：做变量替换 z+ )11 证明 =1(a0，a1)12 简要论述义务教育数学课程标准(2011 年版)中提出的空间观念的含义。13 下列框图反应了三角函数与其他学科内容之间的关系，请用恰当词语补充完整。三、解答题14 设三维空间中椭圆 (1)证明 的中心为原点，并求 的长轴和短轴的长度。(2)证明：任给一个椭圆，存在参数 R 和 k，使得 与给定椭圆全等。四、论述题15 如何认识数学的抽象性?在数学教学中如何处理抽象与具体之间的关系，请结合实例谈谈你的看法。五、案
4、例分析题16 案例： 下面是某位同学用开方法解方程的过程。 求(3x+1) 2 一 4=0 方程中的值 解：(3x+1) 2 一 4=0 移项(3x+1) 2=4 开平方 3x+1=2 移项 3x=1 所以 x= 问题： (1) 该同学的解题过程哪步错了?分析其原因。 (2) 针对该生情况，请你设计一个辅导教学片段(可以为师生问答形式)，并说明设计意图。 (3)除了开方法外，本题还可以用哪些方法解答(至少列举两种)?六、教学设计题17 初中数学“ 分式” 包括三方面教学内容：分式、分式的运算、分式方程。针对上述内容，请完成下列任务：(1)分析“分数”在分式教学中的作用。(2)设计三道分式方程题
5、要求： 分式方程能转化成一元一次方程； 三道分式方程题逻辑联系紧密；三道分式方程题，由易到难，体现教学要求；说明你的设计意图)(3)指出解分式方程中所蕴含的数学思想方法。(4)分析解分式方程时，可能产生增根的原因并设计一道相应的训练题。2014 年上半年中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）真题试卷答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 先求出 y=x3+x+1 在点(1 ，3)处切线的斜率为 4，再根据过(1，3) ，得到切线方程为 y=4x 一 1。2 【正确答案】 D【试题解析】 投影变换是对图形整体进行缩放变换，不一定是保距变换。3 【正确答案】 B【
6、试题解析】 由定积分的几何意义很容易得到 。4 【正确答案】 D【试题解析】 E(X 2)=(E(X)2 的条件是方差为 0 的时候，故 D 错。5 【正确答案】 B【试题解析】 由行列式的定义展开计算可得。6 【正确答案】 B【试题解析】 狄利克雷函数是周期函数，但是却没有最小正周期，它的周期是任意非零有理数(周期不能为 0)，而非无理数。因为不存在最小正有理数，所以狄利克雷函数不存在最小正周期。函数为偶函数：处处不连续；不是单调函数。7 【正确答案】 C【试题解析】 选项 C 图形与位置是义务教育数学课程标准 (2011 年版)规定的第二学段“图形与几何”领域内容。8 【正确答案】 A【试
7、题解析】 这句话可以理解为“所有的三角形内角和都是 180”，所以为全称的肯定判断。二、简答题9 【正确答案】 证明：(1)由已知得 f(x)=lnt 1x=lnx，任取 x1，x 2(0，+)且x1x 2，又 f(x1)f(x2)=lnx1lnx2= 0 则 f(z)在其定义域内单调递增。 (2)证明：由已知得10 【正确答案】 11 【正确答案】 当 a1 时，设 =1+hn(hn0)那么有：a=(1+h n)n=1+nhn+Cn2hn2+hnnnhn0h n 由夹逼准则得。12 【正确答案】 主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之
8、间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。13 【正确答案】 基本初等函数 性质锐角三角函数应用三、解答题14 【正确答案】 证明：(1)由已知得，椭圆 为圆柱 x2+y2=R2 与 z=kx 平面相截所得，因为圆柱 x2+y2=R2 与的中心为原点，z=kx 平面的中心为原点。故的中心为原点。 椭圆 的交点为椭圆的两个端点(R，0，kR)，(R，0，kR)，因为椭圆的长轴与短轴相互垂直，则另两个端点为椭圆与直线。当k1 时长轴长为 ，短轴长为 。 (2)在 z=kx上以直线为 纵轴 n 建立直角坐标系，可得 的平面方程为 与 R 无关，故对任意给定的一个椭圆其两轴长分别为
9、 a，b 均可找到参数 k，R 使得 a2=R2(1+k2)，。即证。四、论述题15 【正确答案】 (1)数学的抽象性可以归纳为以下几类：不仅数学概念是抽象的，而且数学方法也是抽象的，并且大量使用抽象的符号。数学的抽象是逐级抽象的，下一次的抽象是以前一次的抽象材料为其具体背景。高度的抽象必然有高度的概括。 (2)首先要着重培养学生的抽象思维能力所谓抽象思维能力，是指脱离具体形象、运用概念、判断、推理等进行思维的能力。按抽象思维不同的程度，可分为经验型抽象思维和理论型抽象思维。在教学中，我们应着重发展理论型抽象思维，因为只有理论型抽象思维得到充分发展的人才能很好地分析和综合各种事物，才有能力去解
10、决问题。其次要培养学生观察能力和提高抽象、概括能力。在教学中，可通过实物教具，利用数形结合，以形代数等手段。例如，讲对数函数有关性质时，可先画出图象，观察图象抽象出有关性质就是一例。五、案例分析题16 【正确答案】 (1)该同学在开平方 3x+1=2 这一步出现了错误，原因是对平方根的概念没有掌握。其次在最后得出根 x= 这一步也出现了错误，原因是对一元二次方程根的个数及写法没有掌握。 (2)师：32=?，(3) 2=? 生：9 师：根据平方根的定义，9 的平方根为多少? 生：3 师：a(a0)的平方根为多少? 生：当 a0 时，平方根有两个 当 a=0 时，平方根为 0 (由数字到字母，由具
11、体到抽象，让学生理解平方根的概念及掌握开平方运算)师：x 2=16，x=? 师：本题中(3x+1) 24=0，开平方那一步怎么运算，可以得到几个答案，也就是有几个根? 生：3x+1=2 或3x+1=2，可以得到两个答案，本题有两个不相等的实数根。 师：(2x+3) 216=0这个题目请写出完整的步骤。 生：解：(2x+3) 216=0 移项(2x+3) 2=16 开平方2x+3=4 或 2x+3=4 移项 2x=1 或 2x=7 所以方程的两根为 师：非常好。步骤也很完整。以后注意细节，继续努力。 (由易到难，由浅人深，让学生能运用开平方法解方程) 在整个辅导教学片段中，通过师生问答形式，根据
12、学生已有的知识提出问题，启发学生反思自己做题中的错误以及错误的原因所在，帮助学生真正领悟开平方法解方程的正确解题方法，并通过巩固练习的方式，一步一步，由易到难，由具体到抽象促进能力的提高。 (3)公式法： 解：(3x+1) 24=0 3x2+2x1=0 a=3，b=2 ， c=1 =b24ac=160 方程有两个不相等的实数根 因式分解法：(3x+1) 24=0，因式分解得：(3x+3)(3x 一1)=0，于是得：3x+3=0 或 3x1=0 x1=1，x 2=六、教学设计题17 【正确答案】 (1)“分数”为分式的学习作铺垫，分数与分式联系紧密，二者是具体与抽象、特殊与一般的关系。分数的有关
13、结论与分式的相关结论具有一致性，即数式通性。可以通过类比分数的概念、性质和运算法则，得出分式的概念、性质和运算法则。由分数引入分式，既体现了数学学科内在的逻辑关系，也是对类比这一数学思想方法和科学研究方法的渗透。 (2) =1(设计意图：通过简单的题目练习分式方程的解法) =3(设计意图：含有分式运算的分式方程，巩固分式运算法则) (设计意图：含有增根的分式方程，让学生意识到增根产生的原因，以及体会解分式方程的一般过程中检验的必要性) (3)类比思想，转换化归思想 (4)可能产生增根的原因为在解分式方程去分母的过程中扩大了未知数的取值范围。 训练题：若方程 =l 有增根 x=2，求 m 的值。训练题应用题：从 2004 年 5 月起某列车平均提速 v 千米时，用相同的时间，列车提速前行驶 s 千米，提速后比提速前多行驶 50 千米，提速前列车的平均速度为多少 ?(两道题目二选一即可)
