1、2015 年上半年中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）真题试卷及答案与解析一、单项选择题1 与命题“y=f(x)在 x0 连续”不等价的命题是( )（A）对任意数列x n，x nx 0，有 f(x)=f(x0)（B） |xx 0|，有|f(x) f(x 0)|（C）存在数列x n，x nx 0，有 f(xn)f(x 0)（D）对任意数列x n，x nx n， nN 有|f(x n)f(x 0)|2 已知集合 M=y|y=x2，x 1，1，N=y|y=e x，x0，则集合 MN=( )（A）(， 1（B） (1，1（C）（D）13 a，bR 是“ab”是“a 2b 2”成立的( )
2、（A）充分条件但不是必要条件（B）充分必要条件（C）必要条件但不是充分条件（D）以上都不是4 设 x= 是代数方程 f(x)=0 的根，则下列结论不正确的是( )（A）x 是 f(x)的因式（B） x 整除 f(x)（C） (，0)是函 y=f(x)的图象与 x 轴的交点（D）f()=05 三次函数 y=ax3+bx2+cx+d 的导函数图象如图，则此三次函数的图象是 ( )6 直线 与平面 ：x+y+z=2 的位置关系是( )（A）平行（B）相交但不垂直（C）垂直（D）直线 L 在平面 上7 义务教育阶段的数学课程应该具有( )（A）基础性、普及型、发展性（B）实践性、普及型、选拔性（C）基
3、础性、实践性、选拔性（D）实践性、普及型、发展性8 下面是关于学生数学学习评价的认识：通过考察学生的知识技能就可以对学生的数学学习进行全面评价；通过考察学生的情感与态度就可以对学生的数学学习水平进行评价；数学学习的评价重在学习过程，对于学习结果不必看重；数学学习的评价重在激励学生学习，而不是改进教师教学。其中，不正确的是( )（A）（B） （C） （D）二、简答题9 设 x=024 ，请写出 x 的既约分数形式。10 某人从 A 处开到 D 处上班，若各路段发生堵车事件是相互独立的，发生堵车的概率如图所示(例如路段 AC 发生堵车的概率是 1 10)。请选择一条由 A 到 D 的路线，使得发生
4、堵车的概率最小，并计算此概率。11 设ABC 的三条边分别为 a，b，c ，且 a2+b2=c2。证明：ABC 是直角三角形。(这是勾股定理的逆命题)12 举例说明运用综合法证明数学结论的思维过程和特点。13 简述“尺规作图 ”的基本要求，并写出古希腊时期“几何作图三大问题”的基本内容。三、解答题14 已知方程 表示的几何图形是椭圆，求出其短半轴与长半轴的长度。四、论述题15 以初中阶段的函数概念为例，阐述数学课程内容的呈现如何体现螺旋上升的原则。五、案例分析题15 下面是两位教师关于等边角形的教学过程：问题：请从下面三个方面对甲乙两位教师的教学过程进行评价：16 引入的特点；17 教师教的方
5、式；18 学生学的方式。六、教学设计题18 某位教师在讲完“ 相交线与平行线 ”这部分内容后，设计了一节 相交线与平行线的复习课，在这节课中，他设计了如下一组题：题 1如图 1，BE 平分ABD，DE 平分 BDC，且1+2=90 。 BE 与有什么样的位置关系?请说明理由。AB 与 CD 有什么样的位置关系?请说明理由。题 2如图 2，AB CD 且1+2=80，求 BED 的度数。题 3如图 3，直线 l 交 AB 于点 F、交 CD 于点G，点 E 是线段 GF 上的一点(点 E 与点 F、G 不重合) ，设ABE=，CDE=；BED=。试探索 、 之间的关系，并说明理由。阅读上述教学设
6、计片段，完成下列任务：19 从这组习题分析这节复习课的教学目标；20 分析这三道题的设计意图，并说明这组习题设计的特点；21 请你在图 3 的基础上，编一道类似习题，并给出答案。2015 年上半年中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）真题试卷答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 A、B、D 选项均能说明 y=f(x)在 x0 出连续； f(xn)表示数列f(x n)的极限，为一个确定值， f(xn)f(x 0)这种表述就是错误的。故选 C。2 【正确答案】 D【试题解析】 由题可知，M=0，1，N=y|y1，所以 MN=1。故选 D。3 【正确答案】 D【试题解
7、析】 若 a0b，则 ab 时，存在 a， bR 使得 a2b 2，从而“ab”不是“a 2b 2”的充分条件；若 ab 0，则 a2b 2 时，存在 a，bR 使得 ab，从而“ab”也不是 “a2b 2”的必要条件。故选 D。4 【正确答案】 D【试题解析】 若 x= 是代数方程的重根，则有 f()=0；若 x= 不是重根，则有f()0。故选 D。5 【正确答案】 B【试题解析】 由已知图象可知，三次函数的导函数 y的符号沿 x 轴方向从负无穷到正无穷，依次为正、负、正，对应三次函数的图象沿 x 轴方向从负无穷到正无穷走向应为增、减、增。故选 B。6 【正确答案】 B【试题解析】 由题可知
8、，直线 L 的方向向量 l=(2，1，3)，平面 的法向量n=(1，1，1) ，两向量不共线，即直线 l 和平面 不垂直，且 ln=213=2，所以直线 L 和平面 也不平行。故选 B。7 【正确答案】 A【试题解析】 义务教育阶段的数学课程应具有：基础性、普及性和发展性。故选A，8 【正确答案】 D【试题解析】 学习评价的主要目的是为了全面的了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学。评价既要关注学生学习的结果，也要注重其学习的过程；既要关注学生数学学习的水平，也要重视学生在数学活动中所表现出来的情感与态度。故选 D。二、简答题9 【正确答案】 024 10000=243131
9、31024 100=24313131，两式相减可得 024 9900=2407，则 024 =24079900。10 【正确答案】 由 A 到 D 的路线有两条，分别是 ABD，A CD。走 ABD 发生堵车的慨率为 P1=1(1 )=415，走 ACD 发牛堵车的概率为 P2=1(1 )=14。显然，P 2P 1，所以走 ACD 路线发生堵车的概率最小，概率为 14。11 【正确答案】 以 a，b 长为直角边做 RtA1B1C1，设斜边长为 d，则由勾股定理的 a2+b2=d2，又 a2+b2=c2，所以 c=d。则 RtA1B1C1 与ABC 全等，故ABC 是直角三角形。12 【正确答案
10、】 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法证明的思维过程：用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论。则综合法用框图表示为：综合法的特点：综合法是由因导果，也就是从“已知” 看“未知”，其逐步推理，实际是寻找使结论成立的必要条件。例如：对于任意的 a0，b0，满足基本不等式 的证明过程。综合法证明：因为( )20，所以 a+b2 0所以 a+b2 所以成立。13 【正确答案】 (1)尺规作图的基本要求：它使用的直尺和圆规带有想象性质，跟现实中的并非完全相同；直尺必须没有刻度，无限长
11、，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度；圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉成你之前构造过的长度。(2)古希腊“几何作图三大问题”是三个作图题，要求只使用圆规和直尺求出这三道题的解：立方倍积，即求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍；化圆为方，即作一正方形，使其与给定圆的面积相等；三等分角，即分一个给定的任意角为三个相等的部分。直到 19 世纪古希腊“ 几何作图三大问题 ”才被证实是不可能的。三、解答题14 【正确答案】 已知椭圆即为柱面 x2+y2=1 与平面 ：px+qy+z=0 的交线。平面 过坐标原点，椭圆的中心在坐标原
12、点。设椭圆上任意一点 P(x，y，z)，则原点 O与 P 的距离 r 的最大、小值即为椭圆的长半轴与短半轴长。r= ，当 z=0 时。r min=1，当且仅当py=qx 时，取等号。故椭圆的短半轴为 1，长半轴长为四、论述题15 【正确答案】 数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如分数、函数、概率、数形结合、逻辑推理、模型思想等。因此，教材在呈现相应的数学内容与思想方法时，应根据学生的年龄特征和知识积累，在遵循科学性的前提下，采用逐步递进、螺旋上升的原则。螺旋上升是指在深度、广度等方面都要有实质性的变化，即体现出明显的阶段性要求。例如，函数是“ 数与
13、代数”的重要内容，也是义务教育阶段学生比较难理解和掌握的数学概念之一，标准在三个学段中均安排了与函数相关的内容目标，希望学生能够逐渐加深对函数的理解。因此，教材对函数内容的编排应体现螺旋上升的原则，分阶段逐渐深化。依据内容标准的要求，教材可以将函数内容的学习分为三个主要阶段：第一阶段，通过一些具体实例，让学生感受数量的变化过程以及变化过程中变量之间的对应关系，探索其中的变化规律和基本性质，尝试根据变量的对应关系作出预测，获得函数的感性认识。第二阶段，在感性认识的基础上，归纳概括出函数的定义，并研究具体的函数及其性质，了解研究函数的基本方法，借助函数的知识和方法解决问题等，使学生能够在操作层面认
14、识和理解函数。第三阶段，了解函数与其他相关数学内容之间的联系(例如，与方程之间、不等式之间的联系)，使得学生能够一般性地了解函数的概念。五、案例分析题16 【正确答案】 甲教师的引入存在优点也存在缺陷。优点是一开始复习了上节内容，巩固旧知识，但是并没有进行新旧知识间的衔接过渡，并没有达到降低学生对新知识的认知难度的目的。乙教师的引入存在优点也存在缺陷优点是一开始复习了上节内容，巩固旧知识，并联系生活实际让学生观察等边三角形的特点降低学生对新知识的认知难度。但是在巩固旧知识时并没有进行新旧知识间的衔接过渡，使学生对等边三角形与等腰三角形之间的关系没有得到一个初步的感官认识。17 【正确答案】 甲
15、教师的教学方法存在优点也存在缺陷，在教学开始开门见山地介绍本节课题，抛出问题：什么样的三角形叫等边三角形?等边三角形的三个内角都相等吗?等边三角形是轴对称图形吗? 引起学生的有意注意，使学生迅速进入学习状态，对本节内容的基本轮廓有了大致了解，但是没有进行合理的情境创设，将知识全盘塞给学生，剥夺了学生发现问题、提出问题进而解决问题的过程，无法激发学生学习新知识的兴趣，学生只能机械地配合教师教学。在进行等边三角形判定的过程中，教师没有做好充分的课前准备，预设学生在课堂中提出各种问题的突发情况，采取回避方式来应对学生提出“从角来说，我认为三个内角都是 60的三角形是等边三角形”的观点，这不符合新课程
16、标准中对教师的要求，会限制学生思维，扼杀学生探求真理的欲望，不利于学生的成长。乙教师的教学方法存在优点也存在缺陷。优点是充分发挥了学生地位，动手操作、小组合作探究、开放性问题等环节的设置，激发了学生开动脑筋自。主探究的兴趣并能够调动学生参与课堂教学活动的积极性。缺点在于，教师对“等边三角形有什么性质?”这一开放性问题的提出并不能充分突出 “等边三角形”这节的核心通过与等腰三角形性质的探究过程迁移到对等边三角形性质的探究。为第二个开放性问题的解决造成了一定的阻碍。18 【正确答案】 甲教师的学生在学习过程中，只是机械地配合教师的提问，完成本节课的教学。甲教师在日常教学过程中没有注意给学生培养善于
17、思考、提出问题、发现问题、解决问题的良好习惯的机会。导致学生学习的积极性不高，对学习内容存在疑问也不会及时提出。乙教师的学生在学习过程中，动手操作能力，合作探究意识均很强，学习积极性高，对学习过程中存在的疑问，能够提出，并善于通过自主探究、合作交流解决问题。六、教学设计题19 【正确答案】 知识与技能目标：能够利用平行线的性质与判定定理，判断两条直线是否平行；能够利用两直线相交的性质求相交直线的夹角度数。过程与方法目标：通过对两直线的位置关系进行观察、猜想、探索等过程，初步形成几何直观，发展形象思维与抽象思维，锻炼合情推理和演绎推理能力，并能清晰地表达自己的想法，情感态度与价值观目标：在学习过
18、程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心。养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯，形成实事求是的科学态度。20 【正确答案】 第一道题目，给出已知条件 BE 平分 ABD，DE 平分BDC ，且1+2=90，通过两个问题引导学生思考，利用角平分线的性质，先判断出 BE 与DE 的位置。这道题目结合学生的已有知识经验，加深巩固对两直线平行判定定理的应用，为第三道题目的猜想做铺垫。第二道题目，在第一道题目的基础之上对题目进行变形，已知 ABCD 且1+2=80，结合第一道题目解题的经验，利用两直线平行的性质求出的度数。这道题目的主要设计意图为加深巩固学生对两直线平行的
19、性质的应用，并为第三道题目的猜想做铺垫第三道题目，在前两题的铺垫下，将具体角变为抽象角，学生结合前两道题目的解题经验，进行猜想、探索证明这道题目的主要设计意图是加深巩固学生对两直线平行的性质的应用，提高学生合情推理和演绎推理能力，以及将所学知识融会贯通的能力。三道题目逻辑联系紧密，考虑到学生的认知顺序，遵循由浅入深，由易到难，由表及里等一系列规律，让学生能够拾级而上，循序渐进，步步深入。以达到能够将所学知识灵活运用并初步形成几何直观，发展形象思维与抽象思维，锻炼合情推理与演绎推理能力的目的。21 【正确答案】 如题图 3，直线 l 交 AB 于点 F、交 CD 于点 G，点 E 是线段 GF上的一点(点 E 与点 F、G 不重合)，设ABE= ，CDE=，BED=。试探索、 之间的关系满足何条件时，AB 与 CD 平行，并说明理由。当 += 时 AB 与 CD 平行。连结 BD，因为三角形 BDE 的内角和为 180，所以EBD+EOB=180BED，当 += 时， EBD+EDB+=180 BED+=180，则 AB 与 CD 平行。
