1、2015 年安徽省教师公开招聘考试（中学数学）真题试卷及答案与解析一、选择题1 复数 (i 为复数单位)在复平面内对应的点位于( )。（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限2 商店将某种商品按原价提高 40后标价，后来为了拓宽销路，先后两次降价，仍获利 15，设平均每次降价的百分率为 x，则下列方程正确的是( )。（A）40(1-x) 2=1+15（B） 40(1-2x)=1+15（C） (1+40 )(1-x)2=1+15（D）(1+40)x(1-15)=(1-x) 23 已知函数 f(x)=(x+3)(x-a)为偶函数，函数 g(x)=x3+4sinx+b+2 为奇函数，
2、则 a+b 的值为( )。（A）1（B） 2（C） 3（D）44 如图，正方形 ABCD 的边长为 4 厘米，动点 P、Q 同时从点 A 出发，沿正方形的边匀速移动，点 P 沿 ABCD 方向移动，速度为 1 厘米秒，点 Q 沿 ADCB 方向移动，速度为 2 厘米秒，两点相遇时移动停止，设APQ 面积为y(平方厘米 )，移动时间为 t(秒) ，则以下图象能够正确反映 y 与 t 之间的函数关系是( )。5 若 6 位同学站成一排，其中甲、乙两位同学相邻站立，则不同的站法有( )。（A）120（B） 240（C） 360（D）7206 下列说法不正确的是( )。（A）“0x 2”是“x-12”
3、的充分不必要条件（B） “若 a0，则 x2-x+a=0 有两个相异的实根的逆否命题为真命题（C）函数 y=loga(x-2)+1(a0 且 a1)的图象恒定过(3，1)（D）若矩阵7 a2，则双曲线 的离心率的取值范围是( )。8 关于数学，下列说法不正确的是( )。（A）数学是人类文化的主要组成部分（B）数学是自然科学和技术科学的基础（C）数学在形成人类理性思维过程中发挥主要作用（D）数学是研究空间形式和数量关系的科学，因而由几何和代数组成9 关于数学的推理，以下说法正确的是( )。数学推理包含合情推理和演绎推理无论是合情推理还是演绎推理都未必正确在解决数学问题的过程中，合情推理和演绎推理
4、功能不同，推理是数学思维基本方式（A）（B） （C） （D）10 普通高中数学课程标准指出，应注重数学知识与实践的联系，发展学生的应用意识和能力，下列与发展学生的应用意识和能力没有直接关系的是( )。（A）通过丰富的实例引入数学知识（B）通过类比等方式使学生体会数学知识之间的关系（C）引导学生应用数学解决实际问题（D）向学生介绍数学在社会中的广泛应用二、填空题11 计算 。12 由函数 y=ex 的图象与 y=-2x，x=1，x=3 所围成的封闭面积为。13 计算： 。14 设正数 a， b 满足 a+b=3，则 最大值为。15 普通高中数学课程标准中指出的数学建模环节包括实际情境、数学模型、
5、数学结果检验、修改或可用成果。三、解答题15 16 按照以上等式的规律写出第(4)个等式；17 用含 n(nN*)的等式表示这个规律，并证明它的正确性。17 已知函数18 求函数 f(x)的单调递减区间；19 若ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c， f(A)=2，a=5 ，b=4 ，求 c 的值。19 已知数列a n前 n 项和为 Sn，且 Sn=2n2-n，数列b n满足 bn=nan+7n(nN*)20 求数列a n的通项公式。21 证明： 。21 如图，已知四棱锥 PABCD 底面 ABCD 为矩形，侧棱 PAABCD，AB=AP= AD=2，E、F 分别为 PC、AB 的
6、中点。22 证明：EF面 PAD。23 求三棱锥 BPFC 的体积。23 已知函数 f(x)=xlnx-1。24 求函数 f(x)的图象在 x=1 处的切线方程；25 若对任意 x(0，+)，2f(x)x 2+2ax+1 恒成立，求实数 a 的取值范围。四、教学设计题25 以下是幂函数(高中必修一，第二章基本初等函数 123 幂函数)的教学片段：教师首先出示 5 个具体问题：(1)如果张红购买了每千克 1 元的蔬菜 W 千克，那么她需要支付 P=W 元，这里 P 是 W 的函数。(2) 如果正方形的边长是 a，那么正方形的面积是 s=a2，这里 s 是 a 的函数。(3)如果正方体的边长是 a
7、，那么正方体的体积是 V=a3，V 是 a 的函数。(4)如果一个正方形场地的面积是 s，那么这个正方形的边长是 ，a 是 s 的函数。(5)如果某人 ts 内骑车行进 1km，那么他骑车的平均速度 =t-1kms，这里 是 t 的函数。请学生观察其中的函数式，并思考：以上问题中的函数具有什么样的共同特征?学生对这些函数进行观察和思考后会提出这些函数都具有 y=xa 的特点。教师：我们将这种新的函数叫作幂函数。那么，如何进行语言定义呢? 学生：函数 y=xa 叫作幂函数，其中 x 是自变量，a 是常数。接着教师给出几个具体的函数让学生辨析哪些是幂函数，哪些不是幂函数，为什么?阅读以上材料，并回
8、答以下问题：26 给出片段中对幂函数概念教学所采用的设计方法是什么?27 请对这种概念教学的设计方法进行描述。28 请用另外一种概念教学的方法对幂函数概念的教学过程进行简要设计。五、案例分析28 观察以下两个框图，回答问题。求任意负角的三角函数框图：29 以上两个框图体现了什么数学思想?30 请描述这种思想；31 用以上思想解方程：9 x+3x-2=0。31 “勾股定理 ”(某教科书八年级下册 )的探究教学片段。首先教师让学生在方格纸上画出直角边分别为 3 和 4 以及 6 和 8 的两个直角三角形，量出两三角形斜边长，并填下表：学生：在这两个直角三角形中，都有两直角边的平方等于斜边的平方。
9、教师：既然这样，由此我们得出如下猜想(教师板书)。 猜想：直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方。 a 2+b2=c2 教师：以上我们所得到的只是猜想，下面我们用几何画板对以上猜测进行验证。(接着教师用几何画板中的拖拽功能验证猜想的正确性)。 教师：通过以上验证，证明我们的猜想是正确的，从而得到勾股定理(毕达哥拉斯定理)32 从教学中师生角色的角度看，以上探究教学过程中存在什么问题?33 从数学探究的角度对以上探究教学的过程进行改进。2015 年安徽省教师公开招聘考试（中学数学）真题试卷答案与解析一、选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 因为 ，所以复数 在复平面内对应的点位于第一象限。2
10、【正确答案】 C【试题解析】 设原价为 a，则有 a(1+40)(1-x) 2=a(1+15)。3 【正确答案】 A【试题解析】 由函数 f(x)=(x+3)(x-a)为偶函数知 a=3；函数 g(x)=x3+4sinx+b+2 为奇函数知，g(0)=b+2=0，b=-2 。所以 a+b=3-2=1。4 【正确答案】 D【试题解析】 y 是关于 t 的分段函数：在 Q 点从 A 点运动到 D 点的过程中，P 点从 A 点运动到 AB 的中点，此时 0t2，y= t2t=t2；在 Q 点从 D 点运动到 C 点的过程中，P 点从 AB 的中点运动到 B 点，此时 2t4，y= 4t=2t；之后
11、P、Q两点都在 BC 边上运动，直到相遇后停止，此时 4t 44-(2t-8)-(t-4)=32-6t。根据解析式知正确答案为 D 选项。5 【正确答案】 B【试题解析】 甲乙捆绑后再排序，A 22A55=240。6 【正确答案】 D【试题解析】 A 项，解x-12 得-1x3，所以 “0x2”是“x-12”的充分不必要条件，A 项描述正确；B 项，由=1-4a0 得 ，所以命题“若a0，则 x2-x+a=0 有两个相异的实根”为真命题，其逆否命题也是真命题，B 项描述正确；C 项，当 x=3 时，y=1 对于所有的 a0 且 a1 都成立，即 C 项描述正确；D 项，矩阵 AB= ，所以 D
12、 项描述不正确。7 【正确答案】 B【试题解析】 双曲线离心率，当 a2 时，e 是关于a 的单调递增函数， ，所以离心率的取值范围是 。8 【正确答案】 D【试题解析】 数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。数学科学是自然科学、技术科学等科学的基础，并在经济科学、社会科学、人文科学的发展中发挥越来越大的作用。数学的应用越来越广泛，正在不断地渗透到社会生活的方方面面，它与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用。数学是人类文化的重要组成部分，数学
13、素质是公民所必须具备的一种基本素质。从内容上说，现代数学在习惯上分成数理逻辑、数论、代数学、几何学、拓扑学、函数论、泛函分析、微分方程、概率论和数理统计、计算数学等分支，同时也产生了一些边缘性学科，如运筹学、控制论等。所以 D 项描述不正确。9 【正确答案】 C【试题解析】 合情推理包括归纳和类比推理，其中归纳是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，得到的结论不一定正确；而演绎推理是由一般到特殊的推理，得到的结论一定正确。所以不正确，答案选 C。10 【正确答案】 B【试题解析】 普通高中数学课程标准指出，在数学教学中，应注重发展学生的应用意识；通过丰富的实例引入数学知识，引导学生
14、应用数学知识解决实际问题，经历探索、解决问题的过程，体会数学的应用价值。帮助学生认识到：数学与我有关，与实际生活有关，数学是有用的，我要用数学，我能用数学。二、填空题11 【正确答案】 0。【试题解析】 12 【正确答案】 e 3-e+8。【试题解析】 围成的封闭图形如图所示， 则其面积=13(ex+2x)dx-(ex+x2) 13-e3-e+8。13 【正确答案】 e 2。【试题解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 根据不等式的性质有：(当 2a+1=2b+3 时等号成立)，即。15 【正确答案】 提出问题。【试题解析】 数学建模过程的流程图如下。三、解答题16 【正确答案】 17 【正
15、确答案】 18 【正确答案】 得函数f(x)的单调递减区间为 ，其中 kZ。19 【正确答案】 由余弦定理有： ，代入 a=5，b=4，化简得 c2-4c-9=0，解得 c=2+ (负值舍去)。20 【正确答案】 a n=Sn-Sn-1=2n2-n-2(n-1)2-(n-1)=4n-3。21 【正确答案】 b n=nan+7n=n(4n-3)+7n=4n(n+1)，则 ，所以有。22 【正确答案】 取 PD 的中点 G，连接 EG、AG，因为 E、F 分别为 PC、AB 的中心，所以有 ，即有 ，四边形 AFEG 为平行四边形，于是有 EFGA，又 GA面 PAD，所以 EF面 PAD。23
16、【正确答案】 24 【正确答案】 f(x)=lnx+1，f(1)=1，f(1)=-1，所以函数 f(x)的图象在 x=1 处的切线方程为 y-(-1)=x-1，即 y=x-2。25 【正确答案】 2f(x)=2(xlnx-1)x 2+2ax+1，因为 x0，所以有，即题设等价于 式对于任意 x(0，+)恒成立，令，求出函数 g(x)的最大值即可。 对 g(x)求导得，于是有 g(x)在区间(0，3)上单调递增，在区间(3 ，+)上单调递减，x=3 是函数 g(x)的极大值点也是最大值点。即 g(x)g(3)=ln3-2。 所以满足题设条件的口的取值范围为ln3-2 ，+)。四、教学设计题26
17、【正确答案】 归纳法。27 【正确答案】 所谓归纳推理，就是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)。归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。28 【正确答案】 前面我们学习了函数定义，研究了函数的一般性质，并且研究了指数函数和对数函数。函数这个大家庭有很多成员，如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等。它们在数学中都承担着各自的任务，每个成员又都有它们各自鲜活的个性。今天，我们利用研究指数函数、对数函数的研究方法，再来认识一位新成员。 请大家看如下问题。 请将下列问题中的 y 表示成 x 的函数。1如果张红购买了
18、每千克 1 元的水果 x 千克，那么她需要支付 y=x 元；2如果正方形的边长为 x，那么正方形的面积 y=x2；3如果正方体的边长为 x，那么立方体的体积 y=x3；4如果一个正方形场地的面积为 x，那么这个正方形场地的边长 y=；5如果某人以 x m3s 的速度向蓄水池注入了体积为 1 m3 的水，那么他注水的时间 y=x-1s。 (板书：y=x ，y=x 2，y=x 3， ，y=x -1)抽取这几个解析式结构上的共同特征：我们能够发现它们的右端都是幂的形式，并且底数是自变量 x，幂指数是常数。也就是说，它们可以写成 y=xa 的形式，这种形式的函数就是幂函数。(板书课题：幂函数) 探究新
19、知 幂函数的定义(形式定义) 一般地，形如 y=xa(aR)的函数称为幂函数，其中 a 是常数。 自变量 x 是幂的底数，换句话说，幂的底数是单变量 x，幂指数是个常数，幂的系数是 1，符合上述形式的函数，就是幂函数。 请同学们举出一个具体的幂函数。 从引例和同学们刚才举的例子中，我们可以发现，幂指数 a 可以是正数、负数，也可以是 0。幂函数与指数函数、对数函数一样，都是基本的初等函数。五、案例分析29 【正确答案】 转化与化归思想。30 【正确答案】 所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂问题通过变换转化
20、为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。31 【正确答案】 令 t=3x(t0) ，9 x+3x-2=0 可转化为一元二次方程 t2+t-2=0，容易解得 t=1 或-2(舍去) ，故 t=1=3x，x=0。32 【正确答案】 有效的教学应该是学生为主体，教师为组织者、引导着、合作者，对学生采用启发式教学方式，但是以上教学很明显忽略了学生为教学主体的这一教学关键之处。这种教学方式与传统的灌输式教学相似，以教师的教为主，学生只是被动地解决问题，不符合新课程标准的要求。33 【正确答案】 (一) 创设情境，大胆猜想 12002 年北京召开了被
21、誉为数学界“奥运会”的国际数学家大会，这就是当时采用的会徽。你知道这个图案的名字吗? 你知道它的背景吗? 你知道为什么会用它作为会徽吗 ? 2相传2500 年前，古希腊的数学家毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系。请同学们也观察一下，看看能发现什么? (1)观察三个正方形之间的面积的关系；(2)把面积的关系转化为边的关系。结论：等腰直角三角形三边的特殊关系：斜边的平方等于两直角边的平方和。3等腰直角三角形有上述性质，其他直角三角形也有这个性质吗?4猜想：命题 1 (二) 验证猜想，得出结论 1赵爽弦图证明法： 已知，如右图： 在ABC 中，C
22、=90 ，A、 B、C 的对边为 a、b、c 。 求证：a 2+b2=c2 分析：(1)让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。 (2)拼成如图所示，其等量关系为：4S+S 小正 =S 大正 4 ab+(b-a)2=c2，化简可证：a 2+b2=c2 (3)发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。 (4)勾股定理的证明方法，达 300 余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代数学家赵爽之手。激发学生的民族自豪感和爱国情怀。 2毕达哥拉斯证明法 已知：在ABC 中，C=90，A、 B、C 的对边为a、b、c。 求证：a 2+b2=c2。 分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。 左边 S=4 ab+c2。 右边 S=(a+b)2 左边和右边面积相等，即 2ab+c2=(a+b)2 化简可证：a 2+b2=c2 3得出结论：如果直角三角形的两直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么 a2+b2=c2。
