1、2015 年河南省教师公开招聘考试（中学数学）真题试卷及答案与解析一、选择题1 复数 z=1-i， 是 z 的共轭复数，则 的值为( )。（A）1（B）（C） 2（D）2 b2 是直线 与圆 x2+y2-4y=0 相交的 ( )条件。（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件3 函数 所对应的图象如图所示，则上述函数正确的排列顺序为( ) 。（A）（B） （C） （D）4 微分方程 ( )奇解。（A）没有（B）有一个（C）有两个（D）有三个5 某班迎新晚会原定五个节目，已排在节目单中，由于同学们情绪很高临时又增加了两个，如果将这两个节目排入原来的节目单中，
2、那么不同的安排方法有( )种。（A）42（B） 30（C） 20（D）12二、填空题6 已知数列 an 为等比数列，且 a2013+a2015= ，则 a2014(a2012+2a2014+a2016)的值为。7 如图，已知抛物线 x2=8y 被直线 y=4 分成两个区域 W1，W 2(包括边界 )，圆 C：x 2+(y-m)2=r22(m0)(1)若 m=3，则圆心 C 到抛物线上任意一点距离的最小值是。(2)若圆 C 位于 W2 内(包括边界)且与三侧边界均有公共点，则圆 C 的半径是。8 已知正实数 x，y，z 满足 的最小值为。9 函数 为奇函数，则实数 a=。10 为测量山高 MN，
3、选择 A 和另一座山顶 C 位测量观测点，从 M 点测得 A 点的俯角 MAN=30，C 点的仰角CAB=45以及MAC=75，从 C 点测得MCA=60，已知山高 BC=200m，则山高 MN=m。三、解答题10 设函数 ，xR。11 当 时，求函数 f(x)的值域；12 已知函数 y=f(x)的图象与直线 y=1 有交点，求相邻两个交点间的最短距离。12 已知数列a n满足 a1(0，1)，a n+1=an2+an+c(nN+)。13 证明，对任意 a1(0， 1)，a n(0，1)的充要条件是 ；14 若 a1= ，c=0，数列b n满足 ，设Tn=b1+b2+b3+bn，R n=b1b
4、2b3bn，若对任意的 n10(nN+)不等式 kn-n2(5Rn-Tn)2015的解集非空，求满足条件的实数 k 的最小值。14 已知椭圆 C： (ab0)，右焦点 在椭圆上。已知直线 l：y=kx 与椭圆 C 交于 A，B 两点，P 为椭圆上异于 A，B 的动点。15 求椭圆 C 的标准方程；16 若直线 PA，PB 的斜率都存在，证明 kPAkPB= ；17 若 k=0，直线 PA，PB 分别与直线 x=3 相交于 M，N，直线 BM 与椭圆 C 相交于 Q(异于点 B)，求证 A，Q，N 三点共线。17 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD 平面 ABCD，四边形 ABCD 是菱形，
5、AC=2，BD= ，且 AC，BD 交于点 O，E 是 PB 上任意一点。18 求证 ACDE；19 已知二面角 A-PB-D 的余弦值为 ，若 E 为 PB 的中点，求 EC 与平面 PAB所成角的正弦值。20 求微分方程 的解。2015 年河南省教师公开招聘考试（中学数学）真题试卷答案与解析一、选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 2 【正确答案】 A【试题解析】 直线 与圆 x2+y2-4y=0 相交 圆心(0，2)到直线的距离小于半径 2，即，反之不成立。因此是充分不必要条件。3 【正确答案】 A【试题解析】 特殊值法：当 x=0 时，因此可以排除 B、D ，由于 ex+e-x12，
6、故 的图象总是在 图象的上方，因此对应顺序为，选 A。4 【正确答案】 A【试题解析】 方程 在区域 xy 上有定义且连续， 在 yx 上有定义且连续，故不满足解的存在唯一性定理条件的点集只有 y=x，即若该方程有奇解必定是 y=x，但 y=x 不是该方程的解，故该方程无奇解。5 【正确答案】 A【试题解析】 插空法：原来 5 个节目共有 6 个空，加入第一个节目有 6 种情况，之后加入第二个节目有 7 种情况，67=42，因此共有 42 种安排方法。二、填空题6 【正确答案】 2。【试题解析】 由积分的几何意义可得积分 表示圆 x2+y2=4，在第一象限的图形的面积，即四分之一圆，故可得 a
7、2013+a2015= 。所以 a2014(a2012+2a2014+a2016)=a20132+2a20142+a20152=a20132+2a2013a2015+a20152=(a2013+a2015)2=2。7 【正确答案】 (1)3 ；(2)【试题解析】 (1)设抛物线上与圆心距离最近的点为(x，y)，则这个点距离圆心的距离 (y0)，由于点在抛物线上，故(当 y=0 时取等号) 。此时抛物线上与圆心距离最近的点为(0，0)，即为坐标原点。 (2) 根据题意得，圆 C 与y=4，x 2=8y(y4 时)三条线段相切。所以圆 C 的圆心为 (0，m)，半径 r=m-4，方程可写成 x2+
8、(y-m)2=(m-4)2。联立抛物线方程和圆 C 的方程消去 x 整理得，y 2+2(4-m)y+8(m-2)=0根据题意，方程中 y 有两个相等的实数根，即 =4(4-m)2-48(m-2)=4(m2-16m+32)=0，解之得 (另外一个解舍去)。所以。8 【正确答案】 。【试题解析】 9 【正确答案】 -1。【试题解析】 f(x)是奇函数，因此 f(-x)=-f(x)，且 f(0)=0，代入得：，即 a+2=1，a=-1。10 【正确答案】 。【试题解析】 设山高 MN 为 xm，MAN=30，则MA=2xm。BC=200m，CAB=45 ，AC= m，在MAC 中， MAC=75，M
9、CA=60，则AMC=45，由正弦定理：。三、解答题11 【正确答案】 f(x)的值域为。12 【正确答案】 函数 y=f(x)的图象与直线 y=1 有交点，相邻两个交点间的最短距离为 。13 【正确答案】 数学归纳法：当 a1(0，1)时，a 2=-a12+a1+c ca 2c+ ，a 2(0，1)则 ，反之也成立。所以对a1(0，1)，a 2(0，1) 的充要条件是 。假设 an(0，1)的充要条件是，下面证明 an+1(0，1)的充要条件是 。a n+1=-an2+an+c，a n(0， 1)，则 ca n+1 ，若 an+1(0，1)则，则 an+1(0，1)，也成立。综上，对任意 a
10、1(0，1)，an(0，1)的充要条件是 。14 【正确答案】 a n+1=-an2+an+c，当 c=0 时，另一方面：由于 an+1= an- an2= an (1- an)所以 kn-n2(5Rn-Tn)2015，化为 ，由于对任意 n10，n N+有解，当 n=20，。所以k=200 75。15 【正确答案】 由已知得， 代入椭圆方程可得：16 【正确答案】 设 P(x0，y 0)，A(x 1，y 1)，B(-x 1，-y 1)，则因为直线 PA，PB 的斜率都存在，可表示为17 【正确答案】 k=0 时，P(x 0，y 0)，A(-2 ，0)，B(2，0)，设 PA 的斜率为 n，则
11、PB 的斜率为 直线 PA：y=n(x+2) ，M(3，5n)直线 PB：所以直线 BM：y=5n(x-2)，直线 AN： 直线 BM 与椭圆 C 联立，解得交点 Q 为(2，0)或 ，因为 Q 为异于点 B 的一点，故 Q 点坐标为 将 Q 点代入直线 AN 中可验证，Q 点在 AN 上，故 A，Q，N 三点共线。18 【正确答案】 因为 PD平面 ABCD，所以 ACPD。又四边形 ABCD 是菱形，所以 ACBD，所以 AC平面 PDB，且 DEC 平面 PDB，所以 ACDE。19 【正确答案】 在PDB 中，EOPD， EO平面 ABCD，分别以 OA，OB，OE所在直线为 x 轴，
12、y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设 PD=t，则 A(1，0，0)，。 由上题知，平面 PBD 的一个法向量为 n1=(1，0，0)，设平面 PAB 的法向量为n2=(x，y，z)，则根据 令 y=1，得平面 PAB 的一个法向量为 二面角 A-PB-D 的余弦值为 ，则cos n 1n2设 EC 与平面 PAB 所成的角为 ， EC 与平面 PAB 所成角的正弦值为 。20 【正确答案】 用常数变易法解答：方程转化为所以有 x=yec，其中 c 是任意实数。所以有xc(y)=yec(y)c(y)=y2，有 y=ec(y)c(y)=(ec(y)，两边积分得：。另解：由 得 ydx-(x+y3)dy=0，记 M(x， y)=y，N(x，y)=-(x+y 3)，则 ，从而得到一个积分因子 ，两边乘以积分因子 (y)，。
