1、2015 年浙江省教师公开招聘考试（中学数学）真题试卷及答案与解析一、选择题1 已知全集 U=R，A=x x0)，B=xx1，则集合 =（A）x x0（B） xx1（C） x0x1（D）x 0 x12 设a n是公比为 q 的等比数列，则 “q1”是“a n为递增数列”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件3 若空间中四条两两不同的直线 l1，l 2，l 3，l 4 满足 l1l2，l 2l3，l 3l4，则下列结论一定正确的是（A）l 1l4（B） l1l4（C） l1 与 l4 既不垂直也不平行（D）l 1 与 l4 的位置关系不确定4
2、某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（A）8-2（B） 8-（C）（D）5 将函数 的图象向左平移 个单位，再向上平移 2 个单位，则所得图象的一个对称中心是（A）-20（B） -5（C） 5（D）206 的展开式中 x2y3 的系数是7 若正实数 x，y 满足 ，则 x+y 的最大值是8 在ABC 中，D 为 BC 的中点，若A=120 ， 的最小值是9 已知 ab 0，椭圆 C1 的方程为 ，双曲线 C2 的方程为 ，C 1 与C2 的离心率之积为 ，则 C2 的渐近线方程为（A）（B）（C） x2y=0（D）2xy=010 在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 a，b，a=b=1
3、，ab=0，点 Q 满足(a+b)，曲线 C=P =acos+bsin，02，区域P 0r PQR，rR。若 C 为两段分离的曲线，则（A）1rR3（B） 1r3R（C） r1R3（D）1r3R二、填空题11 义务教育数学课程标准(2011 年版)强调，课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。课程内容的组织要重视过程，处理好的关系。12 培养学生的数学推理能力，是中学数学教学实践的重要目标之一。是以个别(或特殊)的知识为前提，推出一般性知识为结论的推理。13 极限 (b0)的值是。14 由椭圆 所围成的平面图形的面积是。15 设向量 a=(2，1，-1) ，向量 b=(1，
4、-1，2)，则向量积 ab=。三、解答题16 什么是数学探究? 组织探究教学应注意哪些问题?17 如何培养学生空间想象的基本能力?18 求 。19 已知矩阵 A 的伴随矩阵 A*= 且 ABA-1=BA-1+3E，求 B。20 某学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为 p，若第一次及格，则第二次及格的概率也为 p；若第一次不及格，则第二次及格的概率为 。(1)若至少有一次及格，则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。(2)若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。四、案例分析20 分析材料应明确表明观点、逻辑清晰、证据恰当、有理有据。 阅读下列材料，回答后面的问题。 某教师教
5、学“正弦定理” 的片段如下： (一)创设情境，引入课题 展示情景：船从港口 B 航行到港口 C，测得 BC 的距离为 600m，船在港口 C 卸货后继续向港口 A 航行，由于船员的疏忽没有测得 CA 距离，如果船上有测角仪我们能否计算出 A 到 B 的距离? 学生思考后提出可测量A，C。 师：若已知测得BAC=75，ACB=45，AB=? 生：画出一个相似的三角形，利用相似比求出 AB约为 490m。 师：能否利用解直角三角形的知识，精确计算出 AB 呢? 生：能!最终求得 m。 师(追问)：若 AC=b，AB=c ，能否用 B、b、C 表示 c 呢? 生：能! 师引导学生类似地得到 。习惯写
6、成对称形式，因此有 ，是否任意三角形都有这种边角关系呢? (二)数学实验，验证猜想 师先引导学生通过特殊例子检验，学生利用等边三角形、等腰直角三角形等验证是成立的。 师：在直角三角形中，你能证明吗? 生：能!(过程略 ) 师：那么任意三角形是否也成立呢?先做个实验! 学生分组实验，每组画一个三角形，度量出三边和三个角，通过实验数据计算出比值，发现比值近似地相等。然后借助多媒体演示三角形的形状发生改变，但是三个比值相等。于是形成猜想： (三)证明猜想，得出定理 师：如何证明呢? 学生在直角三角形，锐角三角形，钝角三角形中分别证明(略)。 师：我们把这条性质称为正弦定理。还有其他证明方法吗?21
7、问题：分析说明该案例的教学目标。第二环节采取了数学实验的教学方式。与科学实验相比，数学实验具有怎样的特征?22 问题：用向量法证明正弦定理。举例说明，正弦定理可以解哪些类型的三角形?2015 年浙江省教师公开招聘考试（中学数学）真题试卷答案与解析一、选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 AB=x x1 或 x0，所以 =x0x1。2 【正确答案】 D【试题解析】 等比数列，若公比 q0，则数列正负交替；若公比 q0，则数列单增或单减。数列单调递增有两种情况，是首项大于 0 且公比大于 1，是首项小于 0 且公比介于 0 和 1 之间。数列单调递减有两种情况，是首项大于 0 且公比介于 0 和
8、 1 之间，是首项小于 0 且公比大于 1。3 【正确答案】 D【试题解析】 如图，可以把四条直线放在长方体 ABCD-ABCD中考虑，如果AB 是 l1，AA是 l2，AD是 l3，DC是 l4，那么有 l1l4；如果 AB 是 l1，DD是l2，AB 是 l3，CC是 l4，那么有 l1l4；如果 AB 是 l1，DD 是 l2，AD是 l3，AB是 l4，那么有 l1 与 l4 相交但不垂直；如果 AB 是 l1，DD是 l2，AB 是 l3，BC 是l4，那么有 l1 与 l4 异面。所以 l1 与 l4 的位置关系不确定。4 【正确答案】 B【试题解析】 几何体是一个正方体去掉两个四
9、分之一圆柱，所以体积为 23-212 2=8-。5 【正确答案】 C【试题解析】 函数 的中心点是 ，kZ，因为函数图象平移时原来的中心点也相应地平移，即为 。当 k=1 时，即为 。6 【正确答案】 A【试题解析】 C 52( x)2(-2y)3=-20x2y3。7 【正确答案】 B【试题解析】 由题意，有 (当 x=y 时不等式取等号)，令 x+y=t，则有 ，解得 1t4。所以 x+y 的最大值是4。8 【正确答案】 D【试题解析】 9 【正确答案】 A【试题解析】 根据题意，曲线 C1 与 C2 离心率之积，所以 ，故 C2 的渐近线为。10 【正确答案】 A【试题解析】 根据题意，可
10、得点 ，曲线 C 是以原点 O 为圆心，半径为 1的单位圆，区域 是以点 Q 为圆心，以 r 和 R 为半径的圆环区域，由于 C是两段分离的曲线，所以区域 和曲线 C 相交，且圆环区域 的内圆和外圆分别都不和曲线 C 相切。所以有 1rR3。二、填空题11 【正确答案】 过程与结果。【试题解析】 义务教育数学课程标准(2011 年版)强调：课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。课程内容的呈现应注意层次性和多样性。12 【正确答案】 归纳推理
11、。【试题解析】 归纳推理的定义就是以个别(或特殊)知识为前提推出一般性知识结论的推理。13 【正确答案】 。【试题解析】 型，运用洛必达法则， 。14 【正确答案】 ab。【试题解析】 二重积分当被积函数是 1 时积分得到的是积分区域的面积，椭圆区域 ，则 。区域 D 用参数方程表示：x=arcos，y=brsin(0r1，0r2) ，所以 。15 【正确答案】 (1，-5 ，-3) 。【试题解析】 三、解答题16 【正确答案】 数学探究即数学探究性课题学习，是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程。这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给
12、出解释或证明。组织探究教学应注意的问题：(1)教师应努力成为数学探究课题的创造者，有比较开阔的数学视野，了解与中学数学知识有关的扩展知识和内在的数学思想，认真思考其中的一些问题，加深对数学的理解，提高数学能力，为指导学生进行数学探究做好充分的准备，并积累指导学生进行数学探究的资源。(2)教师要成为学生进行数学探究的组织者、指导者、合作者。教师应该为学生提供较为丰富的数学探究课题的案例和背景材料；引导和帮助而不是代替学生发现和提出探究课题，特别应该鼓励和帮助学生独立地发现和提出问题；组织和鼓励学生组成课题组合作地解决问题；指导和帮助学生养成查阅相关的参考书籍和资料、在计算机网络上查找和引证资料的
13、习惯；一方面应该鼓励学生独立思考，帮助学生建立克服困难的毅力和勇气，另一方面应该指导学生在独立思考的基础上用各种方式寻求帮助；在学生需要的时候，教师应该成为学生平等的合作者，教师要有勇气和学生一起进行探究。(3)教师应该根据学生的差异，进行有针对性的指导。在鼓励学生创新的同时，允许一部分学生可以在模仿的基础上发挥自己的想像力和创造力。(4)数学探究的结果以课题报告或课题论文的方式完成。课题报告包括课题名称、问题背景、对事实的观察分析、对结果的猜测、对结果的论证、合作情形、对探究结果的体会或评论、引证的文献资料等方面。(5)可以通过小组报告、班级报告、答辩会等方式交流探究成果，通过师生之间和学生
14、之间的讨论来评价探究学习的成绩，评价主要是正面鼓励学生的探索精神，肯定学生的创造性劳动，同时也指出存在的问题和不足。(6)数学探究报告及评语可以记入学生成长记录，作为反映学生数学学习过程的资料和推荐依据。对于学生中优秀的报告或论文应该给予鼓励，可以采取表扬、评奖、推荐杂志发表、编辑出版、向高等学校推荐等多种形式。(7)教材在适当的章节应该提供一些数学探究课题的案例和背景材料，可以提供一些由学生完成的数学探究的案例。可以为教师指导数学探究学习提供一些参考性的建议。17 【正确答案】 (1)加强教学的直观性空间想象能力的培养，首先要建构，即通过实物图形语言文字或数学符号的叙述在头脑中形成正确直观的
15、形象过程，能够正确想象空间形式的直观图，包括位置关系和数量关系。其次是识别，即能正确指出直观图形中形成空间的形状和性质，明确直观图和实物图的区别和联系。(2)强化学生识图和画图的训练空间想象能力是形象思维和逻辑思维交替作用的思维过程，几何语言(即几何图形)是表达这种思维的最好语言，识别和绘制直观图是发展空间想象能力的关键。(3)培养学生数形结合的思想数具有概括和抽象的特征，形具有具体化和形象化的特点。数形结合是直观与抽象，感知与思维的结合，在结合过程中需要空间想象能力。在数形结合中，数通过形提供直观形象而得到直观简捷的解决，而形的问题也可以通过数的计算和化简来解决。(4)训练学生证明、归纳、总
16、结的能力在教学中，通过联系实际、观察模型或类比平面几何的结论来提出命题；对于提出的命题，不要轻易肯定或否定它，要多用几个特例进行检验，最好做到否定举出反面例子，肯定给出证明，以研究性课题的形式给出，要从中体验创造数学知识。18 【正确答案】 19 【正确答案】 根据题意有A *=A 3=8，所以 A=2。因为 ABA-1=BA-1+3E，所以 ABA-1-BA-1=3E (A-E)BA-1=3E A-1(A-E)BA-1A=3E (E-A-1)B=3E B=3(E-A-1)-1。 又由伴随矩阵的性质，AA *=A E ，所以进而可求得20 【正确答案】 他取得该资格需要第一次及格或第一次不及格
17、第二次及格，所以概率为 。 如果他第二次已经及格(记为事件 B)，记第一次及格为 A，此时第一次及格的概率记为 p1，第一次不及格记为 。根据题意，P(BA)=p1， 。如果已知他第二次已经及格，那么他第一次及格的概率为 。四、案例分析21 【正确答案】 教学目标知识与技能：(i)发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法：(ii)运用正弦定理解三角形、初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题。过程与方法：通过对定理的探究，发现数学规律的思维方法与能力；通过对定理的证明和应用，提高独立解决问题的能力和体会分类讨论和数形结合的思想方法。情感态度与价值观：(i)通过对三角形边角关系的探究学习，经
18、历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物规律，培养探索精神和创新意识：(ii)体会数学的科学价值、应用价值，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界，进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化修养。由中学数学课程标准和数学学科本身的特点可以看出，数学实验具有以下几个特点：(i)以问题为载体。通过对实际问题的解决，培养学生用数学知识解决实际问题的意识和能力。(ii)以学生为主体，数学实验要求学生多用脑，多动手进行具有探索性、验证性的操作，在老师的指导下探索建立模型解决实际问题的方法，在失败和成功中获得真知。22 【正确答案】 用向量法证明正弦定理 如图， ABC，以点 A 为原点，AB 为 x 轴，过点 A 垂直 AB 的直线为 y 轴，建立直角坐标系。则向量 在 y 轴上的投影为 在 y 轴上的投影为，易知 。同理可得， 。利用正弦定理可以实现边角互化，解决以下两类问题：(i)已知两角和任一边，求其他两边和一角。此时三角形只有一解。例子：在ABC 中， ，A=45，C=75，那么由正弦定理可求得。(ii)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。此时三角形可能无解，或一解，或两解。例子：在ABC 中，已知 ，B=45，那么 A=60或 120。
