1、2015 年福建省教师公开招聘考试（中学数学）真题试卷（精选）及答案与解析一、选择题1 设 i 为虚数单位，复数 Z=(1-m2)+(1+m)i(mR)为纯虚数，则 m 值为( )。（A）-1（B） 0（C） 1（D）1 或-12 设 A=xx 2-2x-30，B=x xa，若 AB=A，则 a 的取值范围是( )。（A）1 ，+)（B） (1，+)（C） 3，+)（D）(3 ，+)3 在等差数列a n中，a 1+a5+a9=2，则 tan(a2+a8)值为( )。4 若方程 a2x2+(2a+3)y2+2ax+a=0(aR)表示圆，则 a 的值为( )。（A）a=1 或 a=-3（B） a=
2、3 或 a=-1（C） a=-1（D）a=35 在平面直角坐标系中，已知点 A(1，0)和点 B(0， 1)，设动点 P(x，y)，其中x，y 0，1，记 ，则 的取值范围是( )。6 在三棱锥 OABC 中，若 OA，OB，OC 两两垂直，且 OA=OB=OC=1，则点 O到平面 ABC 的距离为( )。7 设一组正数 X1，X 2，X 3，X 4 的方差 S2= (X12+X22+X32+X42-4)，则数据X1，X 2+1，X 3+1，X 4+2 平均数是( )。（A）1（B） 2（C） 3（D）48 在判断函数 f(x)=x3+ax+5(aR)单调性过程中渗透的主要数学思想是( )。（
3、A）分数与整合思想，方程与函数思想（B）分数与整合思想，特别与一般思想（C）数列集合思想，或然与必然思想（D）方程与函数思想，特别与一般思想9 “由不在同一直线上三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形” ，这种定义方式是( ) 。（A）递归定义（B）关系定义（C）外延定义（D）发生定义10 证明通常分成直接法和间接法，下列证明方式属于间接法的是( )。（A）分析法（B）综合法（C）反证法（D）比较法二、填空题11 。12 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)=3 x，则 f(log32)的值为。13 义务教育数学课程标准(2011 年版)指出模型思想的建立是学生体
4、会和理解与联系的基本途径。14 数学规则之间关系分为、和并列关系。三、解答题15 设函数 f(x)=cos2x+2asinx-a(xR，a R)的最大值为 2，求 a 的值。15 已知函数 f(x)=x3- x2+bx+c。16 若函数 f(x)的图象上有与直线 平行的切线，求 b 的取值范围；17 若 f(x)在 x=1 处取得极值，且 x-1，2 时 f(x) c2 恒成立，求 C 的取值范围。17 已知椭圆 (a b0) 离心率是 ，若左焦点到直线 距离为 4。18 求椭圆方程；19 过点 P(0，3)的直线与椭圆交于不同两点 M，N(M 在 P 和 N 之间)，记，求 的取值范围。19
5、 已知数列a n满足 a1=a，a n+1=+1+ (nN*)当 a 取不同值时，得到不同数列，例如当 a=1 时，得无穷数列 ；当 时，得有穷数列 ，-1，0。20 当 a 为何值时， a4=0；21 设数列b n满足 b1=-1，b n+1= (nN*)当 a=bi(i=1，2，3)时数列a n各是有穷数列还是无穷数列；当 a=bn(nN*)时，猜想数列a n都为有穷数列并给予证明。四、简答题21 在ABC 中，a= ，b=1，C=30 ，试判断ABC 的形状。解：根据余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC =1 所以 c=1，又由正弦定理得所以A=60 ，B=180-60-30=9
6、0故ABC 是直角三角形。问：22 指出解题过程的错误之处，并分析产生错误原因；23 给出正确解法，并简述应采取哪些数学措施避免此类错误发生。2015 年福建省教师公开招聘考试（中学数学）真题试卷（精选）答案与解析一、选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 Z 为纯虚数，则有 1-m2=0 且 1+m0，故 m=1。2 【正确答案】 C【试题解析】 A=xx 2-2x-30即为 A=x-1x3，B=xxa且 AB=A 则a3。3 【正确答案】 D【试题解析】 由等差数列性质得 a1+a5+a9=3a5=2，则 a5= ，所以 a2+a8=2a5=，则有 tan(a2+a8)= 。4 【正确答案
7、】 C【试题解析】 a 2x2+(2a+3)y2+2ax+a=0(aR)表示圆，则可得 a2=2a+30 且圆的半径，故 a=-1。5 【正确答案】 D【试题解析】 ，由于x，y 0，1，所以当 x=y= 取得最小值 ，当 x=y=0 或 1 时取得最大值 0。6 【正确答案】 A【试题解析】 利用等体积性，V O-ABC=VA-OBC。7 【正确答案】 B【试题解析】 由方差的简化计算公式 S2= (X12+X22+X32+X42)- 知，X1，X 2，X 3，X 4 的平均数是 1，进而得到所求结果。8 【正确答案】 D【试题解析】 函数通过求导计算驻点体现了方程与函数思想，在讨论参数 a
8、 的不同取值和根据导函数的符号判断原函数单调性时体现了特别与一般思想。9 【正确答案】 D【试题解析】 用事物发生或形成过程中的情况作为种差，这种定义方式称为发生定义。题目中叙述了三条线段首尾相连组成三角形的过程。10 【正确答案】 C【试题解析】 反证法是先假设结论不成立，进而推出矛盾，证明结果正确性。是间接法证明。二、填空题11 【正确答案】 。【试题解析】 原题是 型求极限，应用洛必达法则，分子、分母求导后代入得。12 【正确答案】 。【试题解析】 由于原函数为奇函数，当 x0 时，f(x)=-f(-x)=-3 -x，故 f(log32)= 。13 【正确答案】 数学；外部世界。14 【
9、正确答案】 下位；上位。三、解答题15 【正确答案】 f(x)=cos 2x+2asinx-a=1-sin2x+2asinx-a=-(sinx-a)2+a2-a+1 当 a1 时，f(x)max=-(1-a)2+a2-a+1=a=2。当 a-1 时，f(x) max=-(-1-a)2+a2-a+1=-3a=2， (舍去)。当-1a1 时，f(x) max=a2-a+1=2，则。故 a=2 或 。16 【正确答案】 对函数 f(x)求导得 f(x)=3x2-x+b，已知函数存在与直线 平行的切线，则 3x2-x+b= 有解，则有 =1-43(b- )0，解得 b 。17 【正确答案】 f(x)在
10、 x=1 处取得极值，说明 f(x)在 x=1 处等于 0，即有 f(1)=3-1+b=0，所以 b=-2。下面计算函数 f(x)在区间-1，2上的最大值。令 f(x)=3x2-x-2=0，得 x1=- ，x 2=1。所以最大值在 和 f(2)二者中取到， ，f(2)=2+c，则 f(x)在 x-1，2上的最大值为 2+c。因为函数 f(x)= x3- x2+bx+cc 2 恒成立，即有 2+cc 2，解得 c-1，或 c2。18 【正确答案】 左焦点为 F1(-c，0)，则 F1 到直线的距离代入，得 a=3，由b2+c2=a2，得 b=2。所以椭圆方程为 。19 【正确答案】 设 M(x1
11、，y 1)，N(x 2，y 2)，若直线 PM 斜率不存在，则有 M(0，2)，N(0，-2)，此时 。若直线 PM 斜率存在，设为 k，不妨设 k0，则直线 PM的方程为 y=kx+3，联立方程组 得(4+9k 2)x2+54kx+45=0， =1296k2-720，x= 1，2 = ，由假设 k0 得，分析上式知 随 k的增大而减小。当直线 PM 与椭圆相切时，M ，N 重合， 达到最大值， max=1，但根据题意，直线与椭圆交于不同两点 M，N，所以这个最大值取不到。当直线斜率不存在时， 有最小值， min= 。综上所述 的范围是 。20 【正确答案】 因为 an+1=1+ (nN*)，
12、a 4=0，则可推出 a3=-1，。21 【正确答案】 当 i=1 时，a=-1 ，数列a n中 a1=-1，a 2=0，a 3 无意义，所以为有穷数列。当 i=2 时， ，a 2=-1，a 3=0，a 4 无意义，所以为有穷数列。当 i=3 时， ，a 3=-1，a 4=0，a 5 无意义，所以为有穷数列。 用数学归纳法。由 知 n=1，2， 3 时数列a n都为有穷数列。设a=bn 时结论成立，则当 a=bn+1 时，a 1=a=bn+1，a 2=1+ =bn。设数列c n，c1=a2=bn，c n+1=1+ ，由假设知c n为有穷数列，则 a1，c 1，c 2，c 3，c n是有穷数列。即 a=bn+1 时结论也成立。由数学归纳法原理知，猜想成立。四、简答题22 【正确答案】 由 ，可得 A=60或 120，没有区分钝角和锐角。23 【正确答案】 可以求得 ，所以 A=120。措施：区间(0，)内正弦值不唯一，余弦值唯一，计算时应该用余弦值；养成对计算结果进行验证的习惯，确认计算结果的正确性。
