1、2016 年天津市教师公开招聘考试（高中数学）真题试卷及答案与解析一、选择题1 i 是虚数单位，若复数(12i)(a+i)是纯虚数，则实数 a 的值为( )。（A）2（B）一 2（C） 0（D）-12 已知 m，n 是两条不同直线， 是两个不同平面，则下列命题正确的是( )。（A）若 ， 垂直于同一平面，则 与 平行（B）若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行（C）若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能同时垂直于同一平面（D）若 ， 不平行，则在 内不存在与 平行的直线3 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )。（A）0（B） 1（C） 1（D）24 在数列
2、a n中，“对任意的 nN*，a n1 2=anan2 是“数列a n为等比数列”的( )。（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件5 ABC 内，角 A、B、C 所对的边长分别为a，b，c，asinBcosC+csinBcosA= b，且 ab，则 B=( )。6 若 P 为曲线 ( 为参数)上一点，则点 P 与坐标原点的最短距离为( ) 。7 设函数 f(x)= ，则 b=( )。8 如图，点 A 的坐标为(1，0)，点 C 的坐标为(2， 4)，函数 f(x)=x2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )。二、填
3、空题9 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_。10 已知(1 x) n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为_。11 以 OA 为边，OB 为对角线的矩形中， =(一 3，1)， =(一 2，k)，则实数 k=_。12 某企业生产甲乙两种产品均需用 A，B 两种原料，已知生产 1 吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产 1 吨甲、乙产品可获利分别为 3 万元，4 万元，则该企业每天可获得最大利润为_万元。13 6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为_。14 已知点 A(-2，3)在抛物线 C：y 2=2px
4、 的准线上，过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B，记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为_。三、解答题14 已知函数 f(x)=sin( )sinx 一 cos2x15 求 f(x)的最小正周期和最小值；16 讨论 f(x)在 上的单调性。16 本市某区医学志愿者协会有 6 名男医生，4 名女医生，在这 10 名医生中，3 名内科医生，其余 7 名来自外科、妇产科等其他互不相同的 7 个科室，现从这 10 名医生中随机送取 3 名到偏远山区进行送医下乡活动(每位医生被选到的可能性相同)。17 求选出的三名医生是来自互不相同科室的概率；18 设 X 为选出的 3 名医生中女医生的
5、人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望。18 设等差数列a n的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列 bn的公比为 q，已知b1=a1，b 2=2，q=d，S 10=100；19 求数列a n，b n的通项公式；20 当 d1 时，记 cn= ，求数列c n的前 n 项和 Tn。20 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，ADBC ，AB AD，E ，F 分别是 AB，PD 的中点，AB=AD=PA=PB=2，BC=1 ，PC= 。21 求证：CF平面 PAB；22 求证：PE平面 ABCD；23 求二面角 B 一 PA 一 C 的余弦值。23 已知椭圆 E： (ab0)的半焦距为 c，原
6、点 O 到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为 c。24 求椭圆 E 的离心率；25 如图，AB 是圆 M：(x+2) 2+(y1) 2= 的一条直径，若椭圆 E 经过 A，B，求椭圆 E 的方程。25 已知函数 f(x)=x21，函数 g(x)=2tlnx，其中 t1。26 如果函数 f(x)与 g(x)在 x=1 处的切线均为 l，求切线 l 的方程及 t 的值；27 如果曲线 y=f(x)与 y=g(x)有且仅有一个公共点，求 t 的取值范围。2016 年天津市教师公开招聘考试（高中数学）真题试卷答案与解析一、选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 (12i)(a i)=(a2)
7、+(1-2a)i，由于(1-2i)(a+i)为纯虚数，则该复数的实部为 0，虚部不为零，则有 a+2=0 且 1-2a0，故 a=一 2。2 【正确答案】 C【试题解析】 “垂直于同一平面的两条直线平行”是真命题，C 选项是该命题的逆否命题，故也是真命题。3 【正确答案】 A【试题解析】 i=1，S=0 代入程序框图中执行循环 S=0，i=2；S=一 1，i=3；S=一1，i=4；S=0，i=5；S=0 ，i=6。i=6 时满足输出条件，输出 S=0。4 【正确答案】 B【试题解析】 根据等比数列的性质，若数列a n为等比数列，则对任意的 nN*，都有 an1 2=anan2 ；若 an0，对
8、任意的 nN*，a n1 2=anan2 ，则数列a n为等比数列，若 an=0，不能推出数列a n为等比数列。故“对任意的 nN*，a n1 2=anan2 ”是“数列a n为等比数列”的必要不充分条件。5 【正确答案】 D【试题解析】 由正弦定理 asinBcosCsinBcosA=sin(A+C)= =sinB。由于 ab，大角对大边，AB ，故 B 是锐角为 。6 【正确答案】 B【试题解析】 代数法：设 P 点坐标为(1+cos ，1+sin)，OP= ，故 0P 的最小值应为 。几何法：由曲线参数方程 得曲线为圆心为(1 ，1) ，半径为 1 的圆，(x-1) 2+(y 一 1)2
9、=1，圆心(1，1)到原点的距离为，所以点 P 与坐标原点的最短距离为 一 1。7 【正确答案】 D【试题解析】 ，不符合限制条件，舍去； ，符合题意。8 【正确答案】 C【试题解析】 阴影部分面积为 4 12x2dx=4- ，此点取自阴影部分的概率。二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 由三视图可知，该几何体由一个半圆柱和一个三棱锥组成，122=，V 三棱锥 =。10 【正确答案】 2 9【试题解析】 (1x) n 的展开式中第 4 项系数为 Cn3，第 8 项系数为Cn7，C n3=Cn7，故 n=10。二项式系数和为 210，奇数项系数之和等于偶数项系数之和，故奇数项系数和为 29。
10、11 【正确答案】 4【试题解析】 以 OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA 与 AB 垂直。=一 3+k 一 1=0，故 k=4。12 【正确答案】 18【试题解析】 设生产甲产品 x 吨，生产乙产品 y 吨，获得利润为 z，z=3x4y，由已知得， 可行域如图，当直线 z=3x+4y 过点(2 ，3)时 z 取最大值为18 万元。13 【正确答案】 24【试题解析】 用插空法，三把空椅子排成一排共有四个空，将三个人插入四个空中(每个空最多只能放 1 人)，列式为 C43A33=24。14 【正确答案】 【试题解析】 由已知可得抛物线 C 的准线为 x=一 2，则抛物线的方程为 y2=8
11、x，焦点 F 的坐标为(2 ，0)。设 AB 所在直线方程为 y=k(x+2)+3，直线方程与抛物线方程联立，ky 2 一 8y+24+16k=0，令=0，解得 k= 或一 2，当 k=一 2 时，切点不在第一象限不合题意，故舍去，则 k= 。B 点的坐标为(8，8)，BF 的斜率 kBF=。三、解答题15 【正确答案】 f(x)=，最小正周期 T=。16 【正确答案】 17 【正确答案】 10 名医生选出 3 名共有 C103 种选法，选出的 3 名医生来自不同科室分两种情况：有 1 名医生来自内科，共有 C31C72 种选法； 没有医生来自内科，共有 C73 种选法。三名医生是来自互不相同
12、科室的概率为 。18 【正确答案】 X 可能的取值为 0，1，2，3选出的三名医生中女医生人数 X 的分布列为19 【正确答案】 a n是等差数列，前 n 项和公式为 Sn=na1+ d，有10a1+45d=100，b n是等比数列，b 2=b1q=a1d=2，解得 a1=1，d=2 或a1=9，d= 。a 1=1，d=2 时，a n=2n-1，b n=2n1 ； a1=9，。20 【正确答案】 。21 【正确答案】 取 PA 的中点为 H，连接 BH，FH，因为 F 是 PD 的中点，故 FH是PAD 的中位线，FH= AD=1，FHAD。又 ADBC，故 FH BC，四边形 FHBC 是平
13、行四边形，则 CFBH，BH 平面 PAB，所以 CF平面PAB。22 【正确答案】 因为 ADBC，ABAD，故 ABBC。因为PB=2，BC=1，PC= ，由勾股定理逆定理可知 PBBC，所以 BC平面 PAB，故有 BCPE。E 是 AB 的中点，PA=PB，由等腰三角形的性质有 PEAB。故 PE平面 ABCD。 23 【正确答案】 因为 BC平面 PAB，所以 PAC 在平面 PAB 内的投影为PAB ，故二面角 B 一 PA 一 C 的余弦值 cos= 。24 【正确答案】 由已知，原点 O 到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为 c，可构造等式 bc= ，c 2=3b2，
14、e= = 。25 【正确答案】 由(1)可得，椭圆 E 的方程 x2+4y2=4b2。依题意，圆 M 的圆心为(一 2， 1)是线段 AB 的中点，且 AB= 。设直线 AB 所在的方程为 y=k(x+2)+1，与椭圆方程联立可得(4k 2+1)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)24b2=0 设(x 1，y 1)，(x2，y 2)，则 x1x 2= ，x 1x2= 中点横坐标为一 2，故x1x 2= ，则 x1x2=82b2，AB=，解得 b2=3，故椭圆的方程为 。26 【正确答案】 函数 f(x)=x2-1，则 f(1)=0，故 f(x)在 x=1 处的切点为(1，0)，f (x)=
15、2x，f (1)=2，故 f(x)在 x=1 处的切线 l 的斜率为 2，切线 l 的方程可得为 y=2x 一2。g (x)=2t ，由于 g(x)在 x=1 处的切线为 l，则 g(1)=2，易得 t=1。27 【正确答案】 构造函数 h(x)=f(x)-g(x)=x21-2tlnx(x0)，曲线 y=f(x)与 y=g(x)有且仅有一个公共点等价于函数 h(x)只有一个零点，h (x)= 。分三种情况进行讨论：当 t0 时，有 h(x)0，则 h(x)在定义域内为单调递增，又h(1)=0，故函数 h(x)只有一个零点；当 t=1 时，h (x)= ，易得，在x(0，1)时，h (x)(x)0。故函数 h(x)在定义域内先减后增，x=1 是 h(x)的极小值点，也是最小值点，h(1)=0 ，函数 h(x)只有一个零点；当 0(x)= ，易得，在x(0， )时，h (x) ，+)时，h (x)0，故函数 h(x)在定义域内先减后增，z=、丁是 h(x)的极小值点，也是最小值点，。
