1、2016 年福建省教师公开招聘考试（中学数学）真题试卷及答案与解析一、选择题1 已知复数 z 满足 1+zi=z2i(i 为虚数单位)，则 z 等于( )。2 已知集合 A=xy= ，xR，B=yy=x 2+2x-2，则 AB 等于( )。（A）（B） 一 3，+)（C） (一，一 3（D）一 3，13 下列命题错误的是( ) 。（A）对于任意的实数 a 与 b 均有a +ba+b（B）存在 aR，使得 sin2a=2sina（C）存在 aR 任意 xR，使得 x2+2x+a0（D）若(1 x) 8=a0+a1x+a2x2+a 8x8，则 a4a 54 方程x-2= 表示的曲线是( )。（A）
2、两条射线（B）两个半圆（C）一个圆（D）两个圆5 已知函数 f(x)=4x2-2nx+3 在区间一 2，)上是增函数，则 f(1)的取值范围是( )。（A）f(1)23（B） f(1)=23（C） f(1)23（D）f(1)236 设 、 是两个平面，可推得 的条件是( )。（A）存在一条直线 a，a（B）存在一条直线 a，a ，a（C）存在两条异面直线 a，b， ， a ，b（D）存在两条平行直线 a，b， ，a，b7 若圆 x2+y2+kx+my-4=0 与直线 y=kx+1 交于 M， N 两点，且 M，N 两点关于直线x+y=0 对称，则不等式组 所表示的平面区域的面积是( )。（A）
3、（B）（C） 1（D）28 设函数 f(x)在a，b上连续，则 f(a)0 得 x ，此时函数 g(x)单调递增；由 g(x)0 得0x ，此时函数 g(x)单调递减。即当 x= 时，函数 g(x)=xlnx 取得最小值。当 x0 时，g(x)0。要使函数 f(x)=xlnx 一a 有两个零点，即方程 xlnxa=0 有两个不同的的根，即函数 g(x)与 y=a 有两个不同的交点，则13 【正确答案】 科学语言【试题解析】 数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。14 【正确答案】 数学符号；数量关系【试题解析】 建立和求解模型的过程包括：从现实生活或
4、具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。15 【正确答案】 不完全归纳【试题解析】 完全归纳推理，又称“完全归纳法”，它是以某类中每一对象(或子类)都具有或不具有某一属性为前提，推出以该类对象全部具有或不具有该属性为结论的归纳推理。不完全归纳推理，以关于某类事物中部分对象的判断为前提，推出关于某类事物全体对象的判断做结论的推理。生活中，完全归纳推理是不多的，不完全归纳推理则是大量的。三、解答题16 【正确答案】 f(x)=mn=sinxcosx+cos 2x= =f(x)的最小正周期 T=17 【正确答案】 解
5、得。18 【正确答案】 由题意知： a 2a 1=21 a3a 2=22 a4a 3=23 ana n1 =2n1 将上式左右两边分别相加起来得： a na 1=(212 22 3 2 n1 )=2n2 an=2n2a 1=2n119 【正确答案】 b n=nan=(2n1)n=n2n nSn=12 122 232 3n2 n(123n)=12 12 2232 3n2 n 令Tn=12 122 232 3 n2 n 则 2 Tn=12 122 332 4n2 n1利用错位相减可得 Tn=(n1) 2 n1 2S n=(n1) 2 n1 220 【正确答案】 a=2 时，f(x)=e x(2x
6、一 1)，f(0)=1 f (x)=ex(2x+1) f(0)=1 f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 yf(0)=f (0)(x 一 0)即 x-y 一 1=0。21 【正确答案】 f(x)=e x(ax-1) f(x)=ex(ax+a-1)当 a=0 时，f (x)=一 ex0，因此f(x)单调递减。 当 a0 时，若 x 一 1，f (x)0，f(x)单调递增；若 x -1，f (x)0，f(x)单调递减。 当 a0 时，若 x 小于 一 1，f (x)0，f(x)单调递增；若 x -1，f (x)0，f(x) 单调递减。22 【正确答案】 由题意知： a+c=6，可得 a=4，c
7、=2，b= 。因此椭圆方程为： 。23 【正确答案】 如图所示，当直线 x 一 2y+m=0 与椭圆相切时，切点就是所求的P 点。联立方程 ，当=0 时 m=8。四、简答题24 【正确答案】 解方程时没有首先考虑定义域，对数函数的运算法则没有理解透，log2x1 (x 一 2)2=2log2x1 (x 一 2)是不正确的，当真数的幂指数为偶数时提到前面作为系数，此时真数是要加绝对值的。导致解出来的这个根其实是增根，不符合题意的，正确的解却被遗漏了。25 【正确答案】 正确的解法是：原方程的定义域为 log2x1 (x2) 2=2log2x1 x2 =2 联立 解得 x=1。教学过程中要强调解方
8、程时首先要考虑定义域，这是隐含的条件，也是必须要考虑的条件。其次运算法则适用的范围要记清楚，不要混淆。引导学生自主思考、归纳、总结，帮助学生更好地学习知识、培养能力。注意：对数运算，实质上是指数运算的逆运算，对数函数 logax 必须要求 a1，因为 a=1 时，log a1 可以取任意值，不是一一映射。对于此方程，验证 x=l 时，方程左端可以等于方程右端，方程成立。此题的题眼在于logaN 中 N 必须大于 0，负数和零没有对数。五、应用题26 【正确答案】 知识与能力目标：熟练掌握和、差、二倍角公式，根据问题的条件灵活进行公式变形；会选择恰当的公式，根据问题的条件进行公式变形；加强对换元
9、、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力。过程与方法目标：采用观察、分析、归纳、抽象概括、自主探究、合作交流的教学方法，通过三角变换，加强对换元、逆向思维等思想方法的认识。情感态度与价值观目标：培养独立思考、自主探究的能力，学会数学地思考问题、解决问题。体会变换中形变而质不变的哲理。教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练。学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把
10、握变换过程的能力。27 【正确答案】 我们要对三角恒等变换过程中体现的方程、换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用。28 【正确答案】 教学简案例 2：求证：(1)sincos= sin()+sin()；(2)sin+cos=2sin 。【设计意图】本例引出的和差化积和积化和差公式，有其结构上的同构特点，反映了角 ， 的三角函数与角 ， 的三角函数间的内在联系。另外，两式之间又反映了由角 、 与 、 建立的转换关系，这体现了数学上的对应转换即映射反演的思想方法。【师生活动】教师出示题目，让学生自主探究。学生自主分析，对于(1)式可能得出如下问题思路：从等式左式不好下手，但从右式
11、出发容易变形，利用和(差)的正弦公式展开、合并，从而得出左式。教师对学生的上述思路给予充分的肯定，这是证明三角恒等式的基本方法，引导学生进一步思考其他方法：哪些公式中包含 sincos 呢?学生在和(差)角的正弦公式中，涉及 sincos 式。师生在和(差)角的正弦公式中，把sincos 和 cossin 作为未知数，通过解二元一次方程组，即可得到结果。教师进行总结：此结论证明运用了方程 (组) 思想。 分析式子左右两边的特点可以看出，左边是积的形式，右边是和、差的形式，所以习惯上称此公式为积化和差公式，类似地可以求出 cossin、coscos、sinsin。接着提出如何证明(2)式?学生从
12、右式出发变形，利用和(差)的正弦公式展开、合并，从而得出左式。教师对学生的上述思路给予充分的肯定，引导学生进一步思考，在证明(2)式的过程中，可否利(1)式的结果? 可以提示学生分析所证的两个式子左右两边在结构形式上有什么不同? 说明：这种设问，能更好的发挥本例的教育功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，并在建立它们之间的联系进而消除不同点上下功夫，这样不仅有利于深化对和(差)角公式的理解，而且还有利于本例的两个小题的内在联系的认识。学生只要令 =， ，(2) 式就转化为(1)式了。教师如此一来，这两个式子也就没有什么本质区别了，运用换元的思想可直接由(1)导出(2)，请同学们动手演练一下。学生 自主探究。动手演练。说明：通过分析公式特点指出，此公式称为和差化积公式，类似地可以求出sinsin，cos cos ， coscos 。证明：(1)(方法一) ： sin(+)=sincos+cossin，sin(-)=sincos cossin 两式相加得 sin()+sin(-)=2sincos；即 sincos= sin(+)+sin(-)。(2)由(1)可得 sin()+sin(-)=2sincos 设 +=， 那么 把 ， 的值代入(1)即得sinsin=2sin 。29 【正确答案】 证明：。
