1、2017 年上半年中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）真题试卷及答案与解析一、单项选择题1 若 an=a0，则下列表述正确的是( )（A） r(0，a)， N0，当 nN 时，有 anr（B） r(0，a)， N0，当 nN 时，有 anr（C） r(0，a)， N0，当 nN 时，有 anr（D） N0， r(0，a)，当 nN，时，有 anr2 下列矩阵所对应的线性变换为关于 y=x 的对称变换的是( )3 空间直线 它们的位置关系是( )（A）l 1 与 l2 垂直（B） l1 与 l2 相交，但不一定垂直（C） l1 与 l2 为异面直线（D）l 1 与 l2 平行4 设
2、 f(x)在a，b上连续且|f(x)dx=0，则下列表述正确的是( )（A）对任意 xa，b，都有 f(x)=0（B）至少存在一个 xa，b，使 f(x)=0（C）对任意 xa，b，都有 f(x)=0（D）不一定存在 xa，b，使 f(x)=05 设 A、B 为任意两个事件，且 A B，P(B)0，则下列选项中正确的是( )（A）P(B)P(A|B)（B） P(A)P(A|B)（C） P(B) P(A|B)（D）P(A)P(A|B)6 设 下列向量中为矩阵 A 的特征向量的是 ( )（A）(0 ，1) T（B） (1，2) T（C） (1，1) T（D）(1 ，0) T7 与意大利传教士利玛窦
3、共同翻译了几何原本(卷)的我国数学家是( )（A）徐光启（B）刘徽（C）祖冲之（D）杨辉8 在角、等边三角形、矩形和双曲线四个图形中，既是轴对称又是中心对称的图形有( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个二、简答题9 己知抛物面方程 2x2+y2=z (1)求抛物面上点 M(1，1，3)处的切平面方程； (2)当 k 为何值时，所求切平面与平面 3x+ky4z=0 相互垂直9 已知向量组 1=(2，1，2) T， 2=(1，1，0) T， 3=(t，2，2) T 线性相关10 求 t 的值；11 求出向量组 1， 2， 3的一个极大线性无关组12 有甲、乙两种品牌的某种饮料，
4、其颜色、气味及味道都极为相似，将饮料放在外观相同的 6 个杯子中，每种品牌各 3 杯，作为试验样品(1)从 6 杯样品饮料中随机选取 3 杯作为一次试验，若所选饮料全部为甲种品牌，视为成功独立进行 5 次试验，求 3 次成功的概率；(2)某人声称他通过品尝饮料能够区分这两种品牌现请他平尝试验样品中的 6 杯饮料进行品牌区分，作为一次试验，若区分完全正确，视为试验成功他经过 5 次试验，有 3 次成功，可否由此推断此人具有品尝区分能为?说明理由13 义务教育数学课程标准(2011 年版)用行为动词“了解”“理解”“掌握”“ 应用” 等描述结果目标，请解释“ 了解等腰三角形的概念 ”的具体含义14
5、 书面测验是考查学生课程目标达成状况的重要方式，以”有理数” 一章为例，说明设计数学书面测验试卷应关注的主要问题。三、解答题14 已知 f(x)是a，b上的连续函数，设 F(x)=axf(t)dt，xa，b，证明：15 F(x)在a，b上连续；16 F(x)在a，b上可导，且 F(x)=f(x)四、论述题16 推理一般包括合情推理与演绎推理17 请分别阐述合情推理与演绎推理的含义；18 举例说明合情推理与演绎推理在解决数学问题中的作用，并阐述二者间的关系五、案例分析题18 案例：为了帮助学生理解正方形的概念、性质，发展学生推理能力、几何直观能力等，一节习题课上，甲、乙两位教师各设计了一道典型例
6、题【教师甲】如图1，在边长为 a 的正方形 ABCD 中，E 为 AD 边上一点(不同于 A、D) ，连 CE在该正方形边上选取点 F，连接 DF，使 DF=CE请解答下面的问题： (1)满足条件的线段 DF 有几条?(2)根据(1)的结论，分别判断 DF 与 CE 的位置关系，并加以证明 【教师乙】如图 2，在边长为a 的正方形 ABCD 中，E、F 分别为 AD、AB 边上的点(点 E、F 均不与正方形顶点重合)，且 AE=BF，CE 、DF 相交于点 M证明：(1)DF=CE；(2)DFCE。问题：19 分析两位教师例题设计的各自特点；20 直接写出教师甲的例题中两个问题的结论(不必证明
7、)；21 结合两位教师设计的例题，你还能启发学生提出哪些数学问题(请写出至少两个问题)六、教学设计题21 针对一元二次方程概念与解法的一节复习课，教学目标如下：进一步了解一元二次方程的概念；进一步理解一元二次方程的多种解法(配方法、公式法、因式分解法等)；会运用判别式判断一元二次方程根的情况；通过对相关问题的讨论，在理解相关知识的同时，体会数学思想方法，积累数学活动经验。问题：根据上述教学目标，完成下列任务：22 为了落实上述教学目标、 ，请设计一个教学片段，并说明设计意图；23 配方法是解一元二次方程的通性通法，设计问题，以帮助学生进一步理解配方法在解一元二次方程中的作用2017 年上半年中
8、学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）真题试卷答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 由数列极限的定义，若存在 an=a0，则对 r(0，a)，nN0，有|a na|=ar，即(ar)a naar ，所以an a ra，a nr，因此答案选 A2 【正确答案】 C【试题解析】 设任意点 F1(x，y)易得 F，关于 y=x 的对称点为F2(y，x)因此，该题所求矩阵为3 【正确答案】 D【试题解析】 先求 l1 和 l2 的方向向量， 所以 l1 的方向向量是( 4，6，8) ， l2 的方向向量是(2，3，4)，两个方向向量成比例，所以两条直线平行。4 【正确答案
9、】 B【试题解析】 由 f(x)连续且 ab(x)dx=0，不妨设 x1x2，则 x1(a，b)使 f(x1)0， x2(a，b)使 f(x)0，根据零点定理可知 (a，b) 使得 f()=0故选 B5 【正确答案】 B【试题解析】 因 A B，且 p(B)1，故 p(A)=p(AB)=p(B)P(A|B)p(A|B)6 【正确答案】 D【试题解析】 令特征矩阵为 0，得到 =0，由此可得有关 的方程(1)( 3)=0，可得 =1、3，将 =3 带入 =0，得到 x1=x2，没有对应的特征向量，同理代入 =1，得到 =0，即 =0，可知 x2=0，取 x1 为自由变量 1，则对应的特征向量为(
10、1，0) T7 【正确答案】 A【试题解析】 几何原本是意大利传教士利玛窦口译和徐光启执笔合译的。8 【正确答案】 B【试题解析】 角是轴对称图形，等边三角形是轴对称图形，矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，所以有 2 个符合题意。二、简答题9 【正确答案】 (1)对抛物面方程分别求 x，y，z 的偏导数，令 F(x，y，z)=2x2+y2z，Fx(x，y，z)=4x，Fy(x ，y，z)=2y，Fz(x，y，z)=1，带入M(1，1，3) ，得到该点处的法向量为(4，2，1)，利用点法式方程，则切平面方程为 4(x1)+2(y1)(z3)=0 。 (2)
11、由(1)知，切平面方程为 4(x1)+2(y1)(z 3)=0。则切平面法向量为(4，2，1)，平面 3x+ky4z=0 法向量为(3，k， 4)，由两平面垂直，得到 43+2k+(1)(4)=0，解得 k=810 【正确答案】 根据题意设存在一组常数后 k1，k 2，k 3 使得系数行列式 =44+0+2t2=0，且t=111 【正确答案】 通过初等行变换一个极大线性无关组12 【正确答案】 (1)设 A=“选取 3 杯饮料都是甲品牌”，一次试验成功的概率为p(A)=C33C 63=120独立进行 5 次试验，服从二项式分布 XB(5，120)，PX=3=C53(120) 3(1920) 5
12、3 =3613200000 (2)该品尝者具备区分能力，理由：由(1)可知此随机试验成功的概率大概为千分之一，是小概率事件，基本可以排除偶然性，故此人具备区分两种品牌饮料的能力。13 【正确答案】 数学新课程标准明确指出：了解是从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象。因此“了解等腰三角形的概念” 的具体含义：一个三角形中如果有两条边相等，那么这个三角形称为等腰三角形。相等的两边为三角形的腰，另一条边称为底边；两腰的夹角为顶角，两腰与底边的夹角为底角。14 【正确答案】 (1)学生在学习有理数这一章的时候应该掌握正数、负数、有理数以及有理数的加
13、减法，所以在设计题型的时候，涵盖的知识点应包括以上知识点，达到全面性要求，以便宏观了解学生对本章知识的掌握程度。(2)题型练习多样化，可以设置选择、填空、判断、解答多种形式：试题的难度要有梯度，照顾到不同学习层次的学生，以便了解全体学生对本章知识掌握的程度，指导今后的教学工作。(3)题目设置在检测学生掌握本章知识的基础上，应有对重难点、易错点的考查。比如说“学生理解负数的意义”“有理数减法计算时符号的判断”。三、解答题15 【正确答案】 由 f(x)在a ，b上连续，则 0，则 0，当 0|xx 0|时，|f(x)f(x 0)|，其中 x0a，b，下证 F(x)连续由 F(x)=axf(t)d
14、t，则|F(x)F(x 0)|=|axf(t)dt f(t)dt|=| f(t)dt|M(xx 0)则 F(x)在a ，b上连续16 【正确答案】 由可导定义知， x(a，b)故 F(x)可导且 F(x)=f(x)四、论述题17 【正确答案】 合情推理包括归纳推理和类比推理。归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。演绎推理：演绎推理是由一般到特殊的推理。从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论。18 【正确答案】 合情推理：例如，在研究球体时，我们会自然的想到圆，由于球与圆在
15、形状上有类似的地方，即都具有完美的对称性，都是到定点的距离等于等长的点的集合，因此我们推测，对于圆的特征，球也可能具有，圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于圆的半径。那么球有切线，切线与球只交于一点，切点到球心的距离等于球的半径等。演绎推理在学习重要不等式的证明，三角函数变换等内容都涉及演绎推理。从形式上看，合情推理是由部分到整体、个别到一般的推理；而演绎推理是有一般到特殊的推理过程。从结论上来看，合情推理的结论不一定正确，但演绎推理的结论一定正确。合情推理和演绎推理的主要区别是思维进程的不同，比如合情推理中的归纳推理的思维进程是从个别到一般而演绎推理的思维进程是从一般到特殊，是
16、一个必然得出的思维进程合情推理和演绎推理有着紧密的联系，一为面，归纳、类比推理的可靠性不仅要用许多事例去验证，而且也要用较一般的原理、较一般的规律去验证(即用演绎法来验证)；另一为面，演绎的前提是通过归纳得出的任何一门科学的发展都有一个通过观察、实验而积累材料的阶段当材料积累到一定程度，就要整理材料，从中概括出带普遍性的结论，即提出假说、定理、定律或公式。就数学学习与教学而言，合情推理与演绎推理是相辅相成的。五、案例分析题19 【正确答案】 教师甲设计的典型例题具有开放性，诱发学生思考，符合新课标要求“要关注学生的个体差异，有效地实施有差异的教学，使每个学生都得到充分发展”，因此在习题课上设计
17、开放性的例题，可以满足不同学生的学习要求，具有探索性，根据新课标：“ 学生不仅能主动获取知识，而且能不断丰富教学活动经验，学会探索，学会学习” 的要求，在习题课上给学生提供充分从事数学活动和探索问题的时间和课件，促进学生数学知识和方法的掌握、巩固和提高。教师乙设计的典型例题具有层次性，递进式的呈现，满足学生多样化的学习要求。设计的例题由易到难，循序渐进，一步步引导学生将问题深化，发展思维能力。20 【正确答案】 满足条件的线段 DF 有两条。当 F 在 BC 边上时，DF 与 CE 相交；当 F 在 AB 边上时，DFCE证明：四边形 ABCD 是正方形 AD=CD CDE=DAFDF=CEA
18、DF DCEADF= DCEDCE+CDF=90ADF+CED=90即 DFCE21 【正确答案】 问题 1：【教师甲】在边长为 a 的正方形 ABCD 中，E 为 AD 边上延长线上的一点，连 CE，在该正方形的延长线上选取点 F，连接 DF，使DF=CE请解答下面的问题。(1)满足条件的线段 DFF 有几条。(2)根据(1)的结论，分别判断 DF 与 CE 的位置关系，并且证明。问题 2：【教师乙】如果 E、F 分别为 AD、AB 边延长线上的点，则 DF=CE 与DFCE 是否成立。六、教学设计题22 【正确答案】 问题 1：方程(m+2)x |m|+3mx+1=0 是关于 x 的一元二
19、次方程，m 的值为()；若是关于 x 的一元一次方程，m 的值为()。 师生活动：教师出示问题，学生独立思考，回答。为了帮助学生有逻辑的思考，可以追问以下问题。 追问 1：一元二次方程的一般式是什么?由此能给出 m 满足什么条件? 追问 2：一元一次方程的一般式是什么?m 需要满足什么条件? 追问 3：我们还学过哪种整式方程? 写出一般式，比较学过的各种整式方程，说明他们的未知数个数与次数。 设计意图：学生要会辨析几种整式方程的概念，分析出符合定义的未知数次数，通过此题引导学生进一步理解一元二次方程的概念及一般式，回顾已学习的其他整式方程，加强知识的前后联系，帮助学生建立有关方程的知识体系。
20、问题 2：解方程x22x+1=25，你能给出那些解法? 你认为哪种方法最适合本方程? 师生活动：教师出示问题，学生独立思考，解答，展示。教师反馈并提出以下问题。 追问 1：一元二次方程有哪些解法? 他们在什么情况下最适用 ? 追问 2：这几种解法中有什么联系?在基本思想上有什么共同点? 设计意图：本题主要复习一元二次方程的解法，通过比较不同的解法，体会如何根据方程特点选择解法。方程左边可以写成完全平方式，所以可以使用配方法；也可以写成一般式，用公式法；还可以用因式分解法。让学生深入思考这几种解法之间的联系，体会配方法的重要意义以及“降次” 的基本思想。23 【正确答案】 问题 1：分解因式 x2120x+3456追问 1：有的同学说可以通过十字相乘法分解，大家可以试试看?你发现了什么? 追问 2：数值太大，需要试验多次，降低了我们的速度，还有其他方法么?问题 2：化简
