1、教师公开招聘考试（中学数学）历年真题试卷汇编 12 及答案与解析一、选择题1 已知复数 z 的实部为 l，虚部为一 l，则 表示的点在 ( )（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限2 为了了解甲、乙、丙三所学校高三数学模拟考试的情况，现采取分层抽样方法从甲校的 1260 份高三数学模拟试卷、乙校的 720 份高三数学模拟试卷、丙校的 900份高三数学模拟试卷中抽取试卷进行调研如果从丙校的 900 份试卷中抽取了 50份试卷，那么这次调研一次抽查的试卷份数为( )（A）150（B） 160（C） 200（D）2303 在ABC 中， A=120，AB=5 ，BC=7 ，则 的值
2、为( )4 已知等差数列a n的前几项和为 Sn，且 a1=03(1+2x)dx，a 2=5，则 S3 为( )（A）15（B） 20（C） 25（D）305 双曲线 的离心率等于( )6 若 a0，b0)的离心率 e= ，右焦点 F(c，0)，方程 ax2+bxc=0的两个根分别为 x1，x 2，则点 P(x1，x 2)在( )（A）圆 x2+y2=2 内（B）圆 x2+y2=2 上（C）圆 x2+y2=2 外（D）以上三种情况都有可能10 已知 a 是常数， a0，圆 M 的参数方程是 是参数，直线 x 一y+3=0 与圆 M 相交于 E、F 两点，如果|EF|= ，那么 a=( )二、填
3、空题11 湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个直径为 12cm，深2cm 的空穴则该球的表面积为_cm 212 数字表诗各字如下： 若以此中四个数组成一个成语，成语中第一个字对应的数字是第二个字对应的数字的 9 倍，第四个字对应的数比第三个字对应的数大 1，第二个字对应的数为第四个字对应数字的 ，则这个成语是_13 如图，目标函数 z=kxy 的可行域为四边形 OABC(含边界)，A(1 ，0)，C(0，1) ，若 B 为目标函数取最小值的最优解，则 k 的取值范围是_14 在正五边形的五条边上排列着黑棋子，各边上的黑棋子数目相等，每边各相邻的黑棋子之间，排列着白棋子 3 粒
4、，五边形的顶点均排列黑棋子，如果黑供子的总数有 60 粒，则一边上黑棋子共有_粒15 有甲乙两人候选校理科部长，总选民中，有 150 余人为甲的“粉丝” ，有 129 人以内为乙的“ 粉丝” ，其他选民皆弃权，若乙争取了弃权选民的 为自己的“粉丝”，最终以 4 票的优势胜出则原弃权选民至少为_人16 有三个数字，循环更换其顺序，排成甲、乙、丙三个三位数(例如346、463、634)，则这三个三位数之比为 7：33：34，若每次从这三个数字中任选两个数字组成的所有两位数的总和为 396，则这三个数字为_三、解答题16 已知函数 ，xR17 求函数 f(x)的最小值和最小正周期；18 已知ABC
5、内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 c=3，f(C)=0 ，若向量m=(1，sinA)与 n=(2，sinB)共线，求 a、b 的值18 如图，在正三棱柱 ABCA1 B1C1 中，点 D 是棱 AB 的中点，BC=1 ，A，C 与平面 ABC 所成的角为19 求证：BC 1平面 A1DC；20 求二面角 D 一 A1C 一 A 的余弦值21 甲、乙二位同学同时开始数棋子，甲数 7 个时，乙数 5 个，现乙数至 55 个时，忘记了自己所数的数，又从 1 开始继续数其余的棋子，数至 135 个时，棋子数完了，求棋子的总数21 已知椭圆 C： (ab0)，F 为其左焦点，离心率为 e2
6、2 若抛物线 y2=8x 的准线经过 F 点，椭圆 C 经过点 P(2，3)，求此时椭圆的方程；23 若过点 A(0，4) 的直线与椭圆 C 相切于 M，交 x 轴于 ，求证：+e2=024 在平面直角坐标系中，A、B 两点的坐标分别是 A(一 2，1)、B(一 1，3)，在 x轴和 y 轴上是否分别存在两点 P、Q，使得四边形 APPQ 的周长最短? 如果存在，求出 P、Q 的坐标及四边形 APQB 的周长；如果不存在，请说明理由24 已知 f(x)=xlnx 一 ax，g(x)=一 x2 一 225 对一切 x(0，+)，f(x)g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围；26 当 a=一 l
7、 时，求函数 f(x)在m，m+3(m0) 上的最小值27 甲乙两探险旅行者，同时于同地出发，行向相隔 36 千米的某地甲最初乘车前往，行驶若干千米后弃车徒步，直至目的地；乙最初徒步，遇送甲回来的车，乘车继续前往目的地，两人同时到达已知两人徒步速度均是每小时 2 千米，车行速度均为每小时 12 千米，问甲在离起点多少千米处下的车?乙在离起点多少千米处上的车?27 已知点 A(一 1，一 1)在抛物线 y=(k2 一 1)x2 一 2(k 一 2)x+1(其中 x 是自变量)上28 求抛物线的对称轴；29 若 B 点与 A 点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点 B的直线?如果存
8、在，求出符合条件的一条直线的解析式；如果不存在，请说明理由教师公开招聘考试（中学数学）历年真题试卷汇编 12 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 z=1 一 i， 因此， 表示的点在第一象限2 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查分层抽样相关知识设这次调研一共抽查试卷 x 份，则解得 x=1603 【正确答案】 C【试题解析】 由余弦定理得，BC 2=AC2+AB22ACABcosA，即 49=AC2+2525ACcos120，解得 AC=3根据正弦定理，4 【正确答案】 A【试题解析】 a 1=03(1+2x)dx=(x+x2)|03=12，d=a 2 一 a1=512=
9、一 7，则a3=a2+d=57=一 2，S 3=12+52=155 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查双曲线相关知识c 2=a2+b2=16+9=25，6 【正确答案】 B【试题解析】 本题可采用特殊值法：令 a=一 1，则 2a=一 2， =2，(02) a=5，则 2a (0.2) a.7 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查向量的相关知识 ABC 为等边三角形，点 P 为ABC 外接圆的圆心，8 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查不定积分的计算(x+sinx)dx= 一 cosx+C.9 【正确答案】 A【试题解析】 x 1，x 2 是方程 ax2+bxc=0 的两个根，则有
10、x1+x2= x1x2= 又椭圆的离心率 则 x12+ x22=(x1+ x2)2 一 2x1x2=所以，P( x 1，x 2)在圆 x2+y2=2 的内部10 【正确答案】 A【试题解析】 圆 M 的参数方程化为标准方程为：(x 一 a)2+(y 一 2)2=4圆 M 和直线 x 一 y+3=0 相交于两点 E、F，设 E(x1，y 1)，F(x 2，y 2)，则由得：2x 2+(22a)x+a2 一 3=0，则 x1+x2=a1，x 1x2=(x1x2)2=(a1)22(a23)|EF|2=(x1 一 x2)2+(y1 一 y2) 2=2(x1 一 x2)2=一 2a2一 4a+14=12
11、解得：a=一 1 ，a0a= 一 1二、填空题11 【正确答案】 400【试题解析】 设该球的半径为 r，由题意得(r 一 2) 2+ =r2r=10，S=4r 2=400cm212 【正确答案】 一日千里13 【正确答案】 【试题解析】 由可行域可知，直线 AB 的斜率 直线 BC 的斜率当直线 z=kxy 的斜率介于 AB，BC 之间时， 为该函数 z=kxy 的最优解，14 【正确答案】 13【试题解析】 设一边上黑棋子 x 粒，则 5x-5=60，x=13 15 【正确答案】 100【试题解析】 设原弃权选民至少为 x 人，由题意得：129+ =150+4，x=100 16 【正确答案
12、】 1，8，9三、解答题17 【正确答案】 当sin(2x 一 )=一 1 时，f(x)取最小值，f min(x)=一 218 【正确答案】 f(C)=sin (2C 一 )一 1=0， 向量 m 和 n 共线，由余弦定理 c2=a2+b22abcosc，得 9=a2+4a22a2acos19 【正确答案】 连接 AC1、A 1C 交于点 E，连接 DED、E 分别为 AB、AC 1 的中点，DEBC1，又 DE 平面 A1DC，BC 1 平面 A1DC，BC 1平面 A1DC.20 【正确答案】 作 DFAC 于 F，在平面 ACC1A1 内作 FGA1C，连接 DG平面 ACC1A1面 A
13、BC，DF面 ACC1A1FG 是 DG 在平面 ACC1A1 上的投影FG A1C，DGA 1C，FGD 为二面角 DA1C 一 A 的平面角在ABC 中，DF= BCsin60= ，A 1A面 ABC， A1CA= AE=CE=1，在ACE 中，cosFGD=21 【正确答案】 设甲数棋子的速度是 7x，乙数棋子的速度是 5x，棋子总数为 y，则有： =55+77+ 89+135=45622 【正确答案】 抛物线 y2=8x 的准线为 x=一 2，则 F(一 2，0) ，c 2=4=a2 一 b2将 P(2，3)代入椭圆方程得 ，由式子可得，a 2=16，b 2=12，椭圆的方程为23 【
14、正确答案】 设过点 A(0，4)与椭圆 C 相切于 M 的直线 l 为 y=kx+4，代入椭圆方程 得，(4k 2+3)x2+32kx+16=0，因为直线 l 与椭圆 C 相切，所以=(32k) 2 一 416(4k2+3)=0，解得 k= ，则 B 点坐标为(8，0)，M 点坐标为(2，3) ， ，则 = ，椭圆的离心率24 【正确答案】 作 A 点关于 x 轴的对称点 A(一 2，一 1)，B 点关于 y 轴的对称点B(1，3) ，则 AP=AP，BQ=BQ，当 A、P、Q、B在同一直线上时，四边形 APQB的周长最短直线 AB过 A(一 2，一 1)，B(1，3)，方程为 与 x 轴交点
15、即为 P 点，与 y 轴交点即为 Q 点，则 四边形 APQB 的周长最小值为：25 【正确答案】 对于一切 x(0，+)f(x)g(x)恒成立即证 恒成立即 lnx 一 a+x+ 0 恒成立令 h(x)=lnx 一 a+x+ ，则 h(x)= 令h(x)=0，则 h(x)的极小值点为 x=1代入 h(x)，则 ln1 一 a+1+20，即当 a3 时，对于一切 x(0，+)，f(x)-g(x) 0 恒成立26 【正确答案】 当 a=一 1 时，f(x)=xlnx+x ，f(x)=lnx+2， 令 f(x)=lnx+2=0，则x=e2当 xe2，+)时，f(x)为增函数，当 x(0，e 2)时
16、，f(x)为减函数 若 e2m，m+3，则 f(x)最小值为 f(e2)=一 e2； 若 e2m，则 f(x)最小值为 f(m)=m(lnm+1)； 若 e2m+3，则 f(x)最小值为 f(m+3)=(m+3)ln(m+3)+127 【正确答案】 设甲在离起点 x 千米处下的车，乙在离起点 y 千米处上的车，甲乙走到终点所用总时间相同； 车送甲到 x 后回到 y 处的时间和乙走到 y 的时间相同： 解得28 【正确答案】 把 A(一 1，一 1)代入抛物线解析式有， k2 一 1+2(k 一 2)+1=一1解得，k=一 3 或 k=1(舍去)则抛物线解析式为 y=8x2+10x+1对称轴29 【正确答案】 B 点与 A 点关于抛物线的对称轴对称，设 B(x0，一 1)，有解得 x0= ，则 B( ，一 1)若存在直线 l 与抛物线只交于一点 B.则直线 l 为抛物线在 B 点处的切线，y=16x+10 ，则直线 l 的斜率k=16 +10=6把 l： y=6x+b，代入 即直线的解析式为 y=6x+
