1、教师公开招聘考试（中学数学）历年真题试卷汇编 8 及答案与解析一、选择题1 复数(1+i)(1 一 i)=( )（A）2（B）一 2（C） 2i（D）一 2i2 已知 e 是自然对数的底数，函数 y=lnx 的定义域是 ( )（A）(0 ，+)（B） (e，+)（C） (一，+)（D）(一 e，+)3 在二项式(x1) 6 的展开式中，含 x3 的项的系数是( )（A）一 15（B） 15（C）一 20（D）204 下列函数中，在(0，+)上是减函数的是( )（A）（B） y=x2+1（C） y=2x（D）5 计算 lg2+lg5=( )（A）lg7（B）（C） 2（D）16 定义在 R 上的
2、函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x，yR)，f(1)=2，则 f(一 3)等于( )（A）2（B） 3（C） 6（D）97 已知某几何体的三视图如右图所示，其中正视图也称主视图，侧视图也称左视图，那么该几何体是( ) （A）圆柱（B）圆锥（C）三棱柱（D）三棱锥8 双曲线 (a0 ，b0) 的左、右焦点分别是 F1，F 2，过 F1 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于 M 点，若 MF2 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为( )9 y=3sin2x 的最大值等于( )（A）1（B） 2（C） 3（D）610 已知实数 x，x 满足 如果目标函数 z=x 一 y 的
3、最小值为一 1，则实数m 等于( )（A）7（B） 5（C） 4（D）311 已知 的半径等于 5，点 P 在直线 l 上，且 OP=5，直线 l 与 的位置关系是( )（A）相切（B）相交（C）相离（D）相切或相交12 02 (3x2+k)dx=10，则 k=( )（A）1（B） 2（C） 3（D）413 已知 则 ( )（A）不存在（B）等于 2011（C）等于 2011x（D）等于 014 组合数 C30 的值等于( )（A）0（B） 1（C） 3（D）15 200 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，时速在50，60)的汽车大约有 ( )（A）30 辆（B） 40
4、辆（C） 60 辆（D）80 辆16 如果 cos4xsin4x= ，那么 cos2x=( )（A）（B） 2（C）（D）317 已知平面向量 a=(1，2)，平面向量 b=(3，4) ，则 ab=( )（A）一 5（B） 11（C） 10（D）一 218 某市在一次降雨过程中，降雨量 y(mm)与时间 t(min)的函数关系可近似地表示为f(t)= 在时刻 t=10min 的降雨强度为( )（A） mmmin（B） mmmin（C） mmmin（D）1mmmin19 某班共有 41 名同学，其中有 2 名同学惯用左手写字，其余同学惯用右手写字，老师随机选 1 名同学解答问题，如果每位同学被选
5、到的概率相等，那么习惯用左手写字的同学被选到的概率是( )（A）0（B）（C）（D）120 240的正切值，即 tan240等于( )21 已知函数 f(x)=2x+3 ，f -1 (x)是 f(x)的反函数，若 mn=16(m，nR *)，则 f-1 (m)+f-1(n)的值为( )（A）一 2（B） 1（C） 4（D）1022 关于 x 的方程 x3 一 2=0 的实数集所在的区间是( )（A）(一 2，0)（B） (0，1)（C） (1，2)（D）(2 ，3)23 某校有 13 名同学参加百米竞赛，预赛成绩互不相同，要取前 6 名参加决赛，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决
6、赛，还需要知道这 13 名同学成绩的( ) （A）中位数（B）众数（C）半均数（D）极差24 如图， ，=l，A ，B，A，B 到 l 的距离分别是 a 和 b，AB 与 ，所成的角分别是 和 ， AB 在 ， 内的射影分别是 m 和 n，若 ab，则( )（A） ， mn（B） ，mn25 计算 sin15cos15=( )26 在ABC 中，三内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，如果 sinB 是 sinA 与sinC 的等比中项，那么 ( )（A）a 2=6c（B） 2a=b+c（C） b2=ac（D）2b=a+c27 某班学生最喜欢的球类活动人数统计结果如图所示，若喜欢足球的
7、有 28 人，则这个班的人数为( ) （A）56 人（B） 100 人（C） 60 人（D）50 人28 曲线 y=x2+x+1 在点(0， 1)处的切线的方程是( )（A）2x+y+2=0（B） 3x-y+3=0（C） z+y+1=0（D）x-y+1=029 在等差数列a n中，如果 a1+a3=6，那么 a2 等于( )（A）3（B） 4（C） 5（D）630 有一个轴对称图形，沿它的一条对称轴对折后得到的图形依然是轴对称图形，原来的图形不可能是( )（A）等腰梯形（B）等腰三角形（C）长方形（D）圆31 抛物线的顶点在原点，准线是直线 ，此抛物线的方程是( )（A）x 2=2y（B） y
8、2=2x（C） x2=一 2y（D）y 2=一 2x32 三阶行列式 的值等于( )（A）-24（B） 24（C）一 12（D）1233 下列各命题中，( ) 是真命题（A）两条对角线相等的四边形是矩形（B）两条对角线互相垂直的四边形是菱形（C）两条对角线相等的梯形是等腰梯形（D）两条对角线垂直平分的四边形是正方形34 已知数列a n是等比数列，若 an 的首项等于 2，公比等于 ，则 an=( )（A）（B）（C） 2（D）335 何老师到学校上课经过三个十字路口，何老师在每个路口遇到绿灯的概率都等于 ，何老师希望到学校上课经过每个十字路口都遇到绿灯，但实际上这种情况发生的概率等于( ) 3
9、6 现有练习本若干，分给甲、乙、丙、丁四个班，分法是：若分甲 10 本，则分乙8 本；若分乙 10 本，则分丙 8 本；若分丙 10 本，则分丁 8 本已知丁分得的练习本数比甲分得的练习本数的 少 11 本由此可知，乙分得练习本( )本（A）80（B） 100（C） 120（D）14037 设 F1、F 2 是椭圆 的两个焦点，点 P 在此椭圆上，若F 1PF2 = ，则点 P 到 x 轴的距离等于 ( )38 设 f(x)=cos2xdx，则 f(x)的导函数 ( )（A）一 2sin2x（B）一 2sin2x+C，(C 为常数 )（C） cos2x（D）sin2x+C，(C 为常数 )39
10、 如图，点 A 是 55 网格图形中的一个格点 (小正方形的顶点)，图中每个小正方形的边长为 l，以 A 为其中一个顶点，面积等于 的格点的等腰直角三角形(三角形的三个顶点都是格点)的个数是( )（A）10 个（B） 12 个（C） 14 个（D）16 个40 某班学生在颁奖大会上得知该班获得奖励的情况如下表：已知该班共有 28 人获得奖励，其中获得两项奖励的只有 13 人，那么该班获得奖励项目最多的一位同学获得的奖励项目为( )（A）3 项（B） 4 项（C） 5 项（D）6 项二、解答题40 已知 f(x)的定义域为实数集 R，41 当 x1，+)时，判断 y=f(x)的单调性，并证明你的
11、结论；42 假设 x12，x 22，证明：|f(x 1)-f(x2)|42 如图，在直三棱柱 ABCA1B1 C1 中，ACB=90，AC=BC=CC 1=243 证明：AB 1BC1；44 求点 B 到平面 AB1C1 的距离；45 求二面角 C1 一 AB1 一 A1 的大小45 设数列a n的前 n 项和为 Sn，a 1=2，对任意正整数 n，点(S n+1，S n)在直线上46 求a n的通项公式；47 设 Tn= ，证明： T1+T2+T3+Tn3教师公开招聘考试（中学数学）历年真题试卷汇编 8 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 (1+i)(1 一 i)=1 一
12、i2=22 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查函数定义域的相关知识点y=lnx 的定义域是 x0，即(0，+) 3 【正确答案】 C【试题解析】 C 63x3(一 1)3=一 20x34 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查函数的单调性y= 在(0 ，+) 上是减函数，其他三项均为增函数5 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查对数的计算1g2+lg5=lg(25)=lg10=16 【正确答案】 C【试题解析】 令 x=y=0，f(0+0)=f(0)=f(0)+f(0) f(0)=0令 x=l，y= 一 1，f(11)=f(0)=f(1)+f( 一 1)一 2=0f(一 1)=0f(一
13、2)=f(一 1 一 1)=f(一 1)+f(一 1)+2=2f(一 3)=f(1)+f(一 2)+4=6.7 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查几何体的三视图相关知识点由题中三视图可知，该几何体为三棱柱.8 【正确答案】 B【试题解析】 9 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查三角函数的最值问题y=3sin2x31=310 【正确答案】 B【试题解析】 z min=x 一 y= m=511 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查圆和直线的位置关系若 OPl，则直线 l 与D 相切，否则直线 l 与D 相交12 【正确答案】 A【试题解析】 原式=(x 3+kx)|02=8+2k 一 0
14、=10k=1.13 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查函数极限的求法14 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查组合数的算法C 30= =1.15 【正确答案】 C【试题解析】 00310200=60.16 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查三角函数公式的计算cos 4x 一 sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x一 sin2x)=cos2x 一 sin2x=cos2x=17 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查向量点乘的计算ab=13+24=1118 【正确答案】 A【试题解析】 19 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查简单的概率问题习惯用左手写字的同学被选到的概率
15、是P=20 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查三角函数值的计算tan240=tan60=21 【正确答案】 A【试题解析】 f 1(x)=log2x 一 3 f1(m)+f1(n)=log2m+log2n 一 6 =log2mn 一 6 =log2166 =46 =一 2.22 【正确答案】 C【试题解析】 x 32=0 的根是 ，指数函数 y=2x 为增函数，1=2 0 223 【正确答案】 A【试题解析】 13 名同学的成绩从小到大排列，中位数为第 7 个数，前 6 名可以参加决赛，若小梅知道了这 13 名同学成绩的中位数，就能够知道自己能否进入决赛，若她的成绩大于中位数，则能进入决赛
16、，否则不能24 【正确答案】 D【试题解析】 25 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查三角函数的计算sin15cos15=26 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查正弦定理根据正弦定理，在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等因此，若 sinB 是 sinA 与 sinC 的等比中项，则有 b2=ac.27 【正确答案】 D【试题解析】 设这个班的人数为 x，则有 =56，解得，x=50 28 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查导数的几何意义曲线 y=x2+x+1 在点(0，1)处切线方程的斜率为 y|x=0=1，因此答案选 D 项29 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查等差
17、数列的相关公式因为a n为等差数列，所以a1+a3=2a2，a 2=330 【正确答案】 A【试题解析】 沿等腰三角形一条对称轴对折后，得到的图形可能依然是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形；沿长方形一条对称轴对折后，得到的图形可能是长方形，也可能是正方形，长方形和正方形都是轴对称图形；沿圆一条对称轴对折后，得到的图形是半圆，半圆是轴对称图形；沿等腰梯形的一条对称轴对折后为直角梯形，直角梯形不是轴对称图形故原来的图形不可能是等腰梯形31 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查抛物线的相关知识准线 p=一 l，抛物线的方程是 y2=一 2x32 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查行列式的计算
18、=6-6-(-6-6)+6+6=24.33 【正确答案】 C【试题解析】 A 项所述为假命题，两条对角线相等的四边形不一定是矩形，等腰梯形的两条对角线也相等；B 项所述为假命题，两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形；D 项所述为假命题，两条对角线垂直平分的四边形不一定是正方形，也可能是菱形；C 项所述为真命题34 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查无穷项等比数列各项的和无穷项等比数列各项的和35 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查简单概率问题三个十字路口每个都遇到绿灯的概率36 【正确答案】 B【试题解析】 各班分得的练习本数的比例关系如下：甲：乙=5：4，乙：丙=5： 4，丙：丁=5
19、 ：4，所以 由得：丁=64 ，乙37 【正确答案】 C【试题解析】 本题考察椭圆知识，如图由椭圆性质，|PF 1|+|PF2|=2a=6，又有F1PF2= ，|PF 1|2+|PF2|2=(2c)2=20，过 P 做 PCx 轴于 C，则 PCF1F 2PF1，所以38 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)=cos2xdx= sin2x+C， =cos2x39 【正确答案】 D【试题解析】 面积等于 的格点的等腰直角三角形，要求直角边为 正好是一个一格和二格的矩形的对角线以点 A 为圆心， 为半径画圆，与格点的交点就是三角形的另一顶点，这样画出的圆与格点的交点一共有 8 个，而且每一个可以
20、组成两个等腰直角三角形，所以符合条件的三角形一共有 16 个40 【正确答案】 B【试题解析】 获奖人次共计 18+3+6+2+12+3=44(人次)，减去只获两项奖的 13 人计 132=26(人次)，则剩下 44132=18(人次)2813=15( 人) ，这 15 人中有只获一次奖的，有获三次及以上奖的根据题意，要使该班一位同学获得奖励最多，则让剩下的 15 人中的一人获奖最多，其余 151=14(人) 获奖最少，只获一项奖励，则获奖最多的人获奖项目为 1814=4(项)二、解答题41 【正确答案】 当 x1，+)时，f(x)42 【正确答案】 当 x1=x2 时，|f(x 1)一 f(
21、x2)|=02 成立当 x1x2 时，不妨设 x1 x2，根据函数的单调性，有|f(x 1)一 f(x2)|f(2) 一 f(x)|=243 【正确答案】 以 C 为原点，CA，CB ，CC 1 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则三棱柱上各点坐标如下：A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，0)，A 1 (2，0， 2)，B 1 (0，2，2)，C 1 (0，0，2) =(一 2，2，2)， =(0，一 2，2)，=0 一 4+4=0， AB1 BC144 【正确答案】 设平面 AB1C1，的法向量为 n=(x，y，z) 则 =(一 2，2，2)，=(一 2，0，2)，
22、=(2，一 2，2)， 取z=1，有 n=(1，0，1) ，点 B 到平面 AB1C1 的距离为45 【正确答案】 设平面 A1AB1 的法向量为，n 1=(x1，y 1，z 1) =(0，0，一 2)，=(一 2，2，0)， 取 x1=1，有 n1=(1，1，0)设平面 C1AB1 的法向量为 n2=(x2，y 2，z 2)， =(2，0，一 2)， =(0，2，0)，取 x2=1，有 n2=(1，0 ，1)cos n 1，n 2=二面角 C1 一 AB1A1 大小为 6046 【正确答案】 把点(S n+1，S n)代入直线 中，得： 令bn= ，则有 bn+1+一 bn=1， bn是公差为 1 的等差数列则 b1= =2，b n=2+(n一 1)1=n+1，即 =n+1，S n=n(n+1)，a n=Sn 一 Sn1=n(n+1)一 n(n 一 1)=2n47 【正确答案】 当 n=1时， 当 n1 时， 当 n+时，故
