1、教师公开招聘考试（中学数学）模拟试卷 29 及答案与解析一、选择题1 已知集合 A=xlog 2x 1，B=x 0xc)，若 AB=A，则 c 的取值范围是( )。（A）(一， 2（B） 1，+)（C） (0，2（D）2 ，+)2 设ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，且的值为( )。（A）（B）（C） 1（D）23 设 ， 是两个不同的平面，m 是直线且 ，命题 p：“m ”，命题 q：“ ”，则命题 p 是命题 q 的( ) 。（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件4 已知a n)，b n)均为等差数列，其前 n 项和
2、分别为 Sn，T n。若 等于( )。5 小明将班级毕业升学体育测试成绩(满分 30 分)进行统计整理后，得到下表，则下列说法错误的是( ) 。（A）该组数据的众数是 24（B）该组数据的极差是 8（C）该组数据的中位数是 24（D）该组数据的平均数是 256 底面是边长为 2 的正三角形的三棱锥的主视图和俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( ) 。7 如图，A，B 是棱长为 1 的正方体的两个顶点，将正方体按图中所示展开，则在展开图中 A，B 两点间的距离为( )。8 如图 1，E 为矩形 ABCD 边 AD 上一点，点 P 从点 B 沿折线日 E-ED-DC 运动到点 C 时停止，点 Q
3、从点 B 沿 BC 运动到点 C 时停止，它们运动的速度都是 1 cms。若 P，Q 同时开始运动，设运动时间为 t(s)，ABPQ 的面积为 y(cm2)。已知y 与 t 的函数图象如图 2，则下列结论错误的是( )。（A）AE=6 cm（B）当 t=12 s 时，APBQ 是等腰三角形（C）（D）9 以直线 夹在两坐标轴之间的线段的垂直平分线 l 在两坐标轴上的截距为椭圆长短轴的椭圆的标准方程为( )。10 如图，在一张矩形纸片 ABCD 中，AB=4，BC=8。点 E，F 分别在 AD，BC 上，将纸片 ABCD 沿直线 EF 折叠，点 C 落在 AD 上的一点 H 处，点 D 落在 G
4、 处，有以下四个结论：四边形 CFHE 是菱形；EC 平分 DCH；线段 BF 的取值范围为 3BF4； 当点 H 与点 A 重合时，EF= 。以上结论中，你认为正确的有( )个。（A）1（B） 2（C） 3（D）411 若向量组 ， ， 线性无关， ， ， 线性相关，则( )。（A） 必可由 ， 线性表示（B） 必可由 ， 线性表示（C） 必不可由 ， ， 线性表示（D） 必不可由 ， ， 线性表示12 如果 x0 时， 与 cosx1 是等价无穷小，则常数 a 的值为( )。（A）-1（B）（C） 12（D）-313 设函数 f(x)在a，b上连续，则 f(a)f(b)0 是方程 f(c)
5、=0 在(a，b)上至少有一根的( )。（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件14 下列可以用来描述知识与技能的理解水平的行为动词是( )。（A）知道（B）判断（C）分析（D）证明15 对于求函数 f(x)=x3+2x2-x+1，x一 1，3最大值的问题，下列关于该问题的解题过程所蕴涵的主要数学思想的表述中，不恰当的一项是( )。（A）方程与函数思想（B）特殊与一般思想（C）化归与转化思想（D）有限与无限思想二、填空题16 用计算器产生一个在区间10，20上的随机数 a(aZ)，则 a14 的概率是_。17 若实数 x，y 满足 z=3x+2y，则
6、 z 的取值范围是_。18 锐角三角形 ABC 中， ，D 为 BC 边上的点，若 ABD 和ACD 的面积分别为 2 和 4，过 D 作 DEAB 于 E，DFAC 于 F，则 =_。19 若三角形 ABC 三边 a，b，C 满足 ca，c b，且存在函数 f(x)=ax+bx 一 cx，则下列结论正确的是_(写出所有正确的序号)。 (1) x(一，1)，f(x)0； (2)xR，使 ax，b x，c x 不能构成一个三角形的三条边长； (3)若ABC 为钝角三角形，x(1,2)，使 f(x)=0。三、解答题20 已知数列a n满足 a1=3，a n+1=an+2n， (1)求a n的通项公
7、式 an； (2)若 bn=nan，求数列b n的前 n 项和 Sn。21 已知函数 f(x)=2sinxsin2 +cosxsin 一 sinx(0)在 x= 处取最小值。 问题：求 的值。 在 ABC 中，a ，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若，且 a+c=4，b=2 ，求ABC 的面积。22 如图，四棱锥 P-ABCD 的底面为正方形，侧棱 PD底面 ABCD，点 E 为棱 PA的中点，PD=AD=1。 (1)求证：PC 平面 BDE； (2)求三棱锥BPDE 的体积。23 已知椭圆 C： ，其短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形面积为 。 (1)求椭圆 C 的方程； (2)已知
8、动直线 y=k(x+1)与椭圆 C 相交与 A，B 两点，若线段 AB 中点的横坐标为 ，求斜率 k 的值。24 设函数 f(x)=x2ex+ax， (1)当 a=0 时，求函数 f(x)的极大值。 (2)若方程 f(x)=0，有三个不等的实根，求实数 a 的取值范围。四、案例分析25 阅读下列文字，回答问题：直线倾斜角概念的教学片段师：对于平面直角坐标系中的一条直线，确定他的位置需要哪些条件?生：给定直线上的任意两点可确定这条直线。师：平面直角坐标系中，过一点 P 可以确定这条直线么?生：不能，过一点的直线有无数条。师：这些直线有什么联系和区别呢?生：这些直线都过一点，但倾斜程度各不相同。师
9、：说的很对，那么如何刻画直线的倾斜程度呢?生：可以用角。师：对，这说明已知直线上一点和倾斜角也可确定一条直线，那么什么是直线的倾斜角呢?我们已经介绍过“x 轴的正方向”与“直线上的方向 ”概念，现在我们可以用这两个概念定义“ 直线的倾斜角 ”。师：(在黑板上的板书) 定义：x 轴正方向与一条直线向上的方向之间所形成的角叫做这条直线的倾斜角，通常用 表示。接下来：教师带领学生讨论倾斜角的分类、范围等问题，并举出一些反例让学生辨认，对倾斜角的概念予以强化。阅读以上材料，回答以下问题。(1)数学概念教学通常有哪两种教学设计方式? 分析该教学片段的概念教学属于何种方式，试对这种概念教学方式进行描述；(
10、2)你认为直线倾斜角的概念如何教学，谈谈你的认识。教师公开招聘考试（中学数学）模拟试卷 29 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 A=x0x2，又 AB=A，所以 B A。再由 B=x0xc)，知 0c2 。2 【正确答案】 B【试题解析】 根据正弦定理，5sinAcosB 一5cosAsinB=sinAcosB+cosAsinBC=sinAcosB=6cosAsinB3 【正确答案】 B【试题解析】 因为没有说明 ，所以命题 P 不能推出命题 q，但是命题 q 可以推出命题 P，故命题 P 是命题 q 的必要而不充分条件。4 【正确答案】 B【试题解析】 由已知，5 【正确
11、答案】 D【试题解析】 众数是一组数据中出现次数最多的数，极差是数据中最大数与最小数的差，中位数是指将数据按大小顺序排列位于中间位置的数，平均数是一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数。由此可知，这组数据的众数、极差、中位数、平均数分别是 24，8，24，24。6 【正确答案】 C【试题解析】 侧视图是以三棱锥的高为高，底面三角形的高为底的三角形，所以面积为7 【正确答案】 B【试题解析】 将正方体按已知图中展开，则日点的位置应如下图，则 A，B 两点的距离为8 【正确答案】 B【试题解析】 P，Q 的速度相同且都为 1 cms ，由图 2 可知，10 之前BPQ 的面积增加，10 s14
12、 s 内面积没有变化，故 10 s 时 P 点运动到 E 点且 Q 点运动到 C点，BPQ 的面积为 40 cm2，故 BC=BE=10 cm，ED=4 cm，所以 AE=6 cm， AB=DC=8 cm，故APBQ 不是等腰三角形，B 错误。9 【正确答案】 B【试题解析】 由题意，已知线段的垂直平分线 l 过点 (2，一 1)，斜率为一 2，方程为 y=一 2x+3，其在坐标轴上的截距为10 【正确答案】 C【试题解析】 HF=CF，EF 是公共边，HFE= CFE，HFE CFE，HFE= CEF。又GEF=DEF,GEH=DEC。GEC=GEH+HEC= DEC+HEC=180。即点
13、G，E ，C 三点共线。 FH 与 EG，EH 与 CF 都是矩形 ABCD 的对边AD、BC 的一部分， FHCG，EH CF，四边形 CFHE 是平行四边形。 由翻折的性质得，CF=FH，四边形 CFHE 是菱形，(故正确)； BCH= ECH只有 DCE=30时 EC 平分DCH，(故错误)； 如图 1当点 H 与点 A 重合时，设 BF=x，则 AF=FC=8 一 x， 在 RtABF 中，AB 2+BF2=AF2，即 42+x2=(8-x)2，解得 x=3， 如图 2当点 G 与点 D 重合时，CF=CD=4，BF=4， 段 BF 的取值范围为 3BF4，(故 正确)；如图 1，过点
14、 F 作 FMAD 于 M，则 ME=AE-AM=(83)一 3=2，由勾股定理得 综上所述，结论正确的有共 3 个。11 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ， 线性相关，存在不全为 0 的实数 L，L，L 使得l1+l2+l3=0。若 l3=0，则 l1+l2=0 且 l1，l 2 不全为 0，即有 ， 线性相关。而向量组 ， ， 线性无关，因此 ， 也线性无关。得出矛盾。所以 l30则即 必可由 ， 线性表示。12 【正确答案】 B【试题解析】 由已知得13 【正确答案】 A【试题解析】 根据零点存在定理，函数 f(x)在a ，b 上连续，且 f(a).f(b)0， 函数在区间(a ，b
15、)上至少有一个零点。方程 f(x)=0 在(a ，b) 上至少有一个实根。反之则不然。因此是充分不必要条件。14 【正确答案】 B【试题解析】 知识目标的水平要求原则上划分为了解、理解和应用三个基本层次。(1)了解水平，包括再认或回忆知识；识别、辨认事实或证据；举出例子；描述对象的基本特征等。例如：说出、背诵、辨认、回忆、选出、举例、列举、复述、描述、识别、再认等。(2)理解水平，包括把握内在逻辑联系；与已有知识建立联系：进行解释、推断、区分、扩展；提供证据；收集、整理信息等。例如：解释、说明、阐明、比较、分类、归纳、概述、概括、判断、区别、提供、把转换、猜测、预测、估计、推断、检索、收集、整
16、理等。(3)应用水平，包括在新的情境中使用抽象的概念、原则；进行总结、推广；建立不同情境下的合理联系等。例如：应用、使用、质疑、辩护、设计、解决、撰写、拟定、检验、计划、总结、推广、证明、评价等。15 【正确答案】 B【试题解析】 求解闭区间上函数最值过程中运用了划归与转化思想、方程与函数思想将问题转化成求函数导数及导函数的零点。还运用了有限与无限思想，在函数极值点和区间端点中找函数的最大值与最小值。二、填空题16 【正确答案】 【试题解析】 在区间10，20共有整数 11 个，因为 aZ，在区间内满足 a14 的整数共有 4 个，故所求概率为17 【正确答案】 1，9 。【试题解析】 目标函
17、数 z=3x+2y 是单调递增函数，求其取值范围可将其简化，构造新目标函数 m=x+2y，先求其取值范围。可行域如图所示，验证易得 m 在点A(0，1)处取得最大值为 2，在原点处取得最小值为 0。故 m0，2 ，所以原目标函数 x 的取值范围是1，9。18 【正确答案】 【试题解析】 19 【正确答案】 。【试题解析】 a，b，c 为三角形的三边，故 a+6c；又 ca，cb，所以故正确；用赋值法， a=2，b=3，c=4 此时能够成三角形，当 x=2，即ax，b x,cx 为 4，9，16 时，不能构成三角形，故正确； 若ABC 为钝角三角形，ca，cb，则 a2+b2-c20，此时 f(
18、1)=a+b-c0,f(2)=a 2+b2-c20，由根的存在性定理可知，在(1，2) 上存在零点，即 x(1，2)，使 f(x)=0。三、解答题20 【正确答案】 (1)由题意知：a 2-a1=21a3-a2=22a4-a3=23 an-an-1=2n-1 将上式左右两边分别相加起来得：a n 一 a1=(21+22+23+2n-1)=2n-2，a n=2+a1=2n+1。(2)bn=nan=(2n+1)n=n2n+n，S n=12 1+22 2+32 3+n2 n(1+2+3+n)=12 1+22 2+3.23+n.2n+ ，令 Tn=1.21+2.22+3.23+n.2n，则2Tn=1.
19、22+2.23+3.24+n.2n+1，利用错位相减可得 Tn(n 一 1)2n+1+2，所以 Sn=(n 一1)2n+1+2+ 。21 【正确答案】 由 f(x)= +cosxsin-sinx=cosxsin-sinxcox=sin(-x)，当 x= 时取得最小值，则 sin(-)=一 1，因为0 ，所以 。由 由余弦定理 b2accosB=av+c2accosB 一 2accosB=b2=(a+c)2 一 2ac 一 2accosB，可求得22 【正确答案】 (1)如图所示， 连接 AC，AC 与 BD 交于点 M，连接 EM。因为底面 ABCD 是正方形，所以 M 为 AC 中点，又因为
20、 E 为PA 中点，所以 PCEM。又 EM 面 BDE，所以 PC平面 BDE。 (2)由题可知，三棱锥 BPDE 的体积是三棱锥 P-ABD 的一半，所以 VB-PDE=23 【正确答案】 (1)由题意可知，(2)直线y=k(x+1)过定点(一 1，0)，因为点(-1，0)在椭圆 C 的内部，所以直线 y=k(x+1)与椭圆 C 总有两个交点。联立方程组 消去 y 化简得(3k 1+1)x1+6k1x+3k1-3=0。由题意知，24 【正确答案】 (1)当 a=0 时，f(x)=x 2ex，令 f(x)=2xex+x2ex=0，x=0 或一 2 是 f(x)的极值，在(一，一 2)，(0，
21、+)上 f(x)0，在(-2，0)上 f(x) (2)由 f(x)=x2ex+ax=x(xex+a)=0，得 x=0 或 xex+a=0。设 g(x)=xex+a，若使方程 f(x)=0 有三个不等实根，则 g(x)有两个不等实根且根不为 0。对于函数 h(x)=xex，由 h(x)=(x+1)ex 可知，当 x-1 时 h(x)0，当 x-1 时 h(x)0，即函数 h(x)在(一，一 1上单调递减，在-1，+)上单调递增，所以 x=一 1 是 h(x)的极小值点也是最小值点，h(一 1)=-e-1-10。又因为且 h(x)在 R 上只有 x=0 一零点。所以函数 h(x)在区间(一，0)上
22、一个函数值有两个自变量与之对应，即只要将 h(x)的图象向上移动且保证其最小值小于 0 就会得到两个零点，且这两个零点都不为 0。 所以，对于函数 g(x)=h(x)+a，只要 a0，且 g(一 1)=h(一 1)+a=一 e-1+a0，就会有两个零点，解得 0a e -1。四、案例分析25 【正确答案】 (1)概念教学通常有概念形成和概念同化两种形式。从大量同类事物的不同例证中独立发现同类事物的关键属性，这种获得概念的方法叫概念形成；利用已有认知结构的有关概念来理解新概念，这种获得概念的方式叫概念同化。该教学片段属于概念同化式教学。材料中，老师从已知数学问题出发，以提问的形式来引导学生学习、
23、理解倾斜角的含义和概念。是属于概念同化。(2)概念教学可以分为以下三个步骤：首先，明确引入概念的原因。在小学和初中已经学过直线，那时是定性的研究，如直线由两点确定，它具有平直性，并向两方无限延伸。但是怎么刻画一条直线呢?如何在直角坐标系内确定一个直线呢?这就需要对直线系统地、定量地研究。直线的倾斜角是专门用来刻画直线倾斜程度的数学概念。其次。让学生参与模式化的过程，即经历概念的概括过程。在直角坐标系内刻画一条直线的倾斜程度，引导学生注意直线向两方无限延伸，及直线与 x 轴、y 轴的夹角，让学生互相讨论哪些量可以刻画直线的倾斜程度，怎么刻画。和学生一起得出结论，即用坐标轴和直线的夹角的大小就能刻画直线的倾斜程度，但是坐标轴和直线的夹角并不是唯一确定的。于是进一步引导学生怎么用一个唯一确定的角来刻画直线的倾斜程度。结合直线向两方无限延伸的性质及坐标轴的正负方向，得出直线倾斜角的定义，即 x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫作这条直线的倾斜角。 再次，让学生去发现概念中的要素，要素之间的关系以及与其他概念的联系。在上一步骤中学生共同参与了直线倾斜概念的形成过程，很容易理解直线倾斜角概念的要素，即x 轴正向，直线向上的方向，这两个要素同时满足才能确定直线的倾斜角。再引导学生根据倾斜角角度的大小对直线进行分类，讨论直线倾斜角与直线的斜率的关系等。
