1、教师公开招聘考试（中学数学）模拟试卷 36 及答案与解析一、选择题1 复数 等于( )2 圆 x2+y2 一 4x+6y=0 的圆心坐标是 ( )（A）(2 ，3)（B） (2，3)（C） (一 2，一 3)（D）(2 ，一 3)3 若正方体的棱长为 则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( )4 函数 的定义域是( )5 已知 ，则 f(log23)的值是 ( )（A）（B）（C） 24（D）126 向量 a=(1，2)，b=(x，1)，c=a+6，d=a 一 b，若 cd，则实数 x 的值等于( )7 设 D、E 、F 分别是ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点，且则 ( )
2、（A）反向平行（B）同向平行（C）互相垂直（D）既不平行也不垂直8 在区间一 l，1 上随机取一个数 x， 的值介于 0 到 之间的概率为( )9 若随机变量 X 的分布列如下表，则 E(X)=( )10 若直线 l 不平行于平面 ，且 l ，则( ) （A） 内的所有直线与 l 异面（B） 内不存在与 l 平行的直线（C） 内存在唯一的直线与 l 平行（D） 内的直线与 l 都相交二、填空题11 若对任意 x0， 恒成立，则 a 的取值范围是_12 若a n为等差数列，a 3，a 10 是方程 x23x5=0 的两根，则 a5+a8=_13 如下图，在梯形 ABCD 中，AD BC，E 是
3、BC 的中点，AD=5 ，BC=12 ，CD=C=45，点 P 是 BC 边上一动点，设 PB 的长为 x(1)当 x 的值为_时，以点 P、A 、D、E 为顶点的四边形为直角梯形；(2)当 x 的值为_时，以点 P、A 、D、E 为顶点的四边形为平行四边形14 若函数 f(x)=2x+1 的反函数为 f1(x)，则 f1(一 2)=_15 已知关于 x 的方程 3x2m=4 的解是 x=m，则 m 的值是_16 如右图所示，已知直线 AB 是O 的切线，A 为切点，OB 交 O 于点 C，点 D在O 上，且 OBA=40，则ADC=_三、解答题16 如图，在三棱锥 SABC 中，侧面 SAB
4、 与侧面 SAC 均为等边三角形，BAC=90，O 为 BC 中点17 证明：SO平面 ABC；18 求二面角 ASCB 的余弦值18 如图，一船在海上由西向东航行，在 A 处测得某岛 M 的方位角为北偏东 角，前进 4km 后在 B 处测得该岛的方位角为北偏东 角，已知该岛周围 35km 范围内有暗礁，现该船继续东行19 若 =2=60，问该船有无触礁危险 ?如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自 B 处向东航行多少距离有触礁危险?20 当 与 满足什么条件时，该船没有触礁危险?四、计算题21 已知复数 z1 满足(1+i)z 1=一 1+5i，z 2=a 一 2 一 i，其中 i 为虚数
5、单位，aR，若|z1 一 |z 1|，求 a 的取值范围22 已知等差数列a n满足 a2=0，a 6+a8=一 10，求数列a n的通项公式23 已知 0x ，化简：lg(cosxtanx+12sin 2 )+ lg(1+sin2x)五、应用题23 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽 20m，要求通行车辆限高 5m，隧道全长 25km，隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为 3 米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆24 若最大拱高 h 为 6m，则隧道设计的拱宽 l 是多少?25 若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高 h 的拱宽l?(已知：椭圆 的面积公式为 s=ab，柱
6、体体积为底面积乘以高)六、证明题26 如图平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AD、BC 的中点，求证：BE=DF.26 椭圆有两顶点 A(一 1，0)、B(1，0)，过其焦点 F(0，1)的直线 l 与椭圆交于C、D 两点，并与 x 轴交于点 P，直线 AC 与直线 BD 交于点 Q27 当|CD|= ，求直线 l 的方程；28 当点 P 异于 A，B 两点时，求证： 为定值教师公开招聘考试（中学数学）模拟试卷 36 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 2 【正确答案】 D【试题解析】 题干中圆的方程可化为(x 一 2)2+(y+3)2=13，所以圆心坐标为(2，一3
7、)3 【正确答案】 B【试题解析】 多面体为正八面体，棱长为 故选项 B为正确答案4 【正确答案】 D【试题解析】 由题意可知， 解不等式组得，x|x 且 x15 【正确答案】 D【试题解析】 log 233，故 f(log23)=f(log23+1 )=f(log26)，log 263， 所以 f(log 26)=f(log26+1)=f(log212) 又因为 log2123， 所以 f(log23)=f(log212)=2log212=126 【正确答案】 A【试题解析】 向量 a=(1，2)，b=(x，1)，c=a+b=(1+x，3)，d=a 一 b=(1x，1)，cd，1+x 一 3
8、(1 一 x)=0，解得 x= 故选项 A 正确.7 【正确答案】 A【试题解析】 由定比分点的向量式得： 同理得以上三式相加得所以选项 A 正确8 【正确答案】 A【试题解析】 由 函数 的周期为 4，由的图象得到使 的值介于 0 到 之间的点落在内，所以概率9 【正确答案】 D【试题解析】 由题意和概率的性质，得 2x+3x+7x+2x+3x+x=1，x= 则故选项 D 正确10 【正确答案】 B【试题解析】 由题干知 l 和平面 相交，所以 内存在与 l 异面的直线，也存在与 l 相交的直线，但不存在与 l 平行的直线二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 若对任意 x0， 恒成立，
9、只需求得 的最大值即可，因为 x0，所以当且仅当 x=1 时取等号，所以a 的取值范围是12 【正确答案】 3【试题解析】 a 3，a 10 是方程 x23x 一 5=0 的两根 a3+a10=3，a 5+a8=a3+a10=313 【正确答案】 (1)3 或 8 (2)1 或 1114 【正确答案】 【试题解析】 f -1(x)= (x 一 1) ，f -1(一 2)= 15 【正确答案】 4【试题解析】 因为 x=m 是该方程的解，所以将其代入方程，方程仍成立，即 3m一 2m=4，m=416 【正确答案】 25【试题解析】 因为直线 AB 是O 的切线，所 OAAB，又因为OBA=40，
10、所以BOA =50，故 ADC= BOA=25三、解答题17 【正确答案】 由题设知，AB=AC=SB=SC=SA ，连结 OA，ABC 为等腰直角三角形，所以 OA=OB=OC= 且 AOBC，又SBC 为等腰三角形，故SOBC，且 SO= 从而 OA2+SO2=SA2所以SOA 为直角三角形，SOAO又 AOOB=O所以 SO平面 ABC.18 【正确答案】 取 SC 的中点为 M，连结 AM、OM ，由(1)知，OM SC，AM SC.OMA 为二面角 ASCB 的平面角由 AOBC，AOSO，SOBC=O ，得 AO平面 SBC.所以 AO OM，又 故 所以二面角 ASCB 的余弦值
11、为19 【正确答案】 作 MCAB，垂足为 C，由已知 =60，=30，所以ABM=120，AMB=30 所以 BM=AB=4， MBC=60，所以MC=BMsin60= 35，所以该船有触礁的危险设该船自 B 向东航行至点D 有触礁危险，则 MD=35，在 MBC 中，BM=4，BC=2，所以，BD=15(km) 所以，该船自西向东航行 15km 会有触礁危险.20 【正确答案】 设 CM=x，在MAB 中，由正弦定理得，即 而 x=BMsin MBC=BMcos= 所以，当 x35，即 即时，该船没有触礁危险四、计算题21 【正确答案】 由题意得 z1= =2+3i于是由 ，得 a28a+
12、70，1a722 【正确答案】 设等差数列a n的公差为 d，由已知条件可得解得 故数列a n的通项公式为 an=2 一 n23 【正确答案】 原式=lg(cosx +cosx)+ 一 lg(1+sin2x）=lg(sinx+cosx)2 一 lg(sinx+cosx)2=0五、应用题24 【正确答案】 如图建立直角坐标系，则点 P(10，2) ，椭圆方程为将 b=h 一 3=3 与点 P 坐标代入椭圆方程，得 a= 此时 l=2a= 因此隧道的拱宽约为 m25 【正确答案】 要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，由柱体的体积公式可知：只需半椭圆的面积最小即可由椭圆方程 因为即 ab40，所
13、以半椭圆面积 当 S 取最小值时，有 此时故当拱高为 、拱宽为 时，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小六、证明题26 【正确答案】 四边形 ABGD 是平行四边形， ADCB，AD=CB. E、F 分别是AD、BC 的中点， DEBF， DE=BF四边形 BEDF 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)BE=DF27 【正确答案】 因椭圆焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为 (ab0)，由已知得 b=1，c=1，所以 a= 椭圆方程为 直线 l 垂直于 x 轴时与题意不符.设直线 l 的方程为，y=kx+1，将其代入椭圆方程化简得 (k2+2)x2+2kx 一1=0设 C(x1，y 1)，D(x 2，y 2)，则 由已知得 解得 所以直线 l 的方程为28 【正确答案】 直线 l 与 x 轴垂直时与题意不符设直线 l 的方程为 y=kx+1(k0且 k1)，所以 P 点坐标为 设 C(x1，y 1)，D(x 2，y 2)，由(1)知直线 AC 的方程为 直线BD 的方程为 将两直线方程联立，消去 y 得因为1x 1，x 21，所以 异号.因此Q 点坐标为(一 k，y 0) 为定值.
