1、湖南省教师公开招聘考试（中学数学）历年真题试卷汇编 12 及答案与解析一、选择题1 设集合 U=1，2，3，4，5 ，A=1，2，3 ，B=2，3，4 ，则 (AB)等于( )（A）2 ，3（B） 1，4，5（C） 4，5（D）1 ，52 已知 i 是虚数单位，则(2+i)(3+i)=( )（A）55i（B） 75i（C） 5+5i（D）7+5i3 若直线 l 过点(3，4) ，且 (1，2) 是它的一个法向量，则直线 Z 的方程为( )（A）2x+y 一 11=0（B） x+2y 一 11=0（C） x+2y=0（D）2x+y 一 1=04 设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面(
2、 )（A）亳 m，n，则 mn（B） m，m，则 （C）若 mn，m，则 n（D）若 m， ，则 m5 已知某几何体的三视图(单位：cm) 如图所示，则该几何体的体积是 ( )（A）108cm 3（B） 100cm3（C） 92cm3（D）84cm 36 设函数 f(x)= ，对于任意不相等的实数 a，b， f(a 一 b)代数式的值于( )（A）a（B） b（C） a，b 中较小的数（D）a，b 中较大的数7 由方程 =1 确定的函数 y=f(x)在(一 ，+)上是( )（A）奇函数（B）偶函数（C）减函数（D）增函数8 已知抛物线 y2=2px 的焦点 F 与双曲线 x2 一 =1 的右焦
3、点重合，抛物线的准线与 x 轴的交点为 K，点 A 在抛物线上且AK= AF，则AFK 的面积为( )（A）4（B） 8（C） 16（D）329 从 0，1，2，3，4，5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数( )（A）300（B） 216（C） 180（D）16210 已知三次函数的图象如图所示，则该函数的导函数的图象是( )二、填空题11 设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，(1， 2 为实数)，则 1+2 的值为_12 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)=x 24x，则不等式 f(x)x的解集用区间表示为_13
4、若(x 一 )9 的展开式中 x3 的系数是一 84，则 a=_14 在平面直角坐标系 xOy 中，设定点 A(a，a) ，P 是函数 y= (x0)图象上一动点，若点 P，A 之间的最短距离为 ，则满足条件的实数 a 的所有值为_15 如图的倒三角形数阵满足：(1)第 1 行的 n 个数分别是 1，3，5，2n 一1；(2)从第二行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和；(3)数阵共有 n 行，问：当 n=2012 时，第 32 行的第 17 个数是_1 3 5 7 9 11 4 8 12 16 20 12 20 28 36 三、解答题16 已知复数 z1 满足(z 1 一 2)(1+i
5、)=1 一 i(i 为虚数单位)，复数 z2 的虚部为 2，z 1z2 是实数，求 z216 某商场购进一批单价为 16 元的日用品，经试验发现，若按每件 20 元的价格销售时，每月能卖 360 件，若按每件 25 元的价格销售时，每月能卖 210 件，假定每月销售件数 y(件) 是价格 x(元件) 的一次函数17 试求 y 与 x 之间的关系式；18 在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润? 每月的最大利润是多少 ?18 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，BAD=60 ，Q 为 AD 的中点19 若 PA=PD，求证：平面
6、PQB平面 PAD；20 点 M 在线段 PC 上，PM=tPC ，试确定 t 的值，使 PA平面 MQB；21 在上面的条件下，若平面 PAD平面 ABCD，且 PA=PD=AD=2，求二面角MBQC 的大小21 在公差为 d 的等差数列a n中，已知 a1=10，且 a1，2a 2+2，5a 3 成等比数列22 求 d，a n；23 若 d0，求a 1+ a 2+a 3+ a n23 已知函数 f(x)=lnx，g(x)=e x24 若函数 (x)=f(x)一 ，求函数 (x)的单调区间；25 设直线 l 为 f(x)的图象上一点 A(x0，f(x 0)处的切线证明：在区间 (1，+) 上
7、存在唯一的 x0，使得直线 l 与曲线 y=g(x)相切湖南省教师公开招聘考试（中学数学）历年真题试卷汇编 12 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 A=1，2，3，B=2，3，4，AB=2，3，又U=1， 2，3， 4，5， (AB)=1，4，52 【正确答案】 C【试题解析】 (2+i)(3+i)=6+2i+3i+i 2=5+5i，因此选 C3 【正确答案】 B【试题解析】 (1，2) 是 l 的一个法向量，设 l 的方程为：x+2y+c=0，代入(3，4)得：c=一 11，l 的方程为：x+2y 一 11=04 【正确答案】 C【试题解析】 逐一判断可知，选项 A 中的
8、 m，n 可以相交，也可以异面；选项B 中的 与 可以相交；选项 D 中的 m 与 的位置关系可以平行、相交、 m 在 内，故选 C5 【正确答案】 B【试题解析】 根据几何体的三视图可知，所求几何体是一个长方体截去一个三棱锥，几何体的体积 V=663 一 443=100cm3，故选 B6 【正确答案】 D【试题解析】 当 ab 时， =a当 ab 时，=b，综上，所求值是 a、b 中的较大的数故选 D7 【正确答案】 C【试题解析】 方程 ，即yy=1xx= 对表达式研究知， 当 x0，y0 时，原式化为 x2+y2=1，当 x0，y0 时，原式化为 x2 一 y2=1，当 x0，y0 时，
9、原式化为 y2 一 x2=1， 当 x0，y0 时，无意义，由以上等式作图，结合图象知函数 y=f(x)是减函数，应选 C8 【正确答案】 B【试题解析】 设点 A 在抛物线准线上的射影为 D，根据抛物线性质可知AF =AD，双曲线 x2 一 =1 的右焦点为(2，0)，即抛物线焦点为(2，0)， =2，p=4，AK= DKA=AKF=45设 A点坐标为= AFK 的面积为 AFKFsin45=8，故选 B9 【正确答案】 C【试题解析】 分类：有 0，共有 C31C21C32A33=108无 0，共有 C32A44=72，故共有 180 种，故选 C10 【正确答案】 A【试题解析】 由函数
10、的图象可知函数在(一，一 1)上为增函数，在(一 1，1)上为减函数，在(1，+)上为增函数， 其导函数的函数值在(一，一 1)和(1，+)上为正数，在(一 1，1) 上为负数，符合的是选项 A，故选 A二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 (一 5，0)(5，+)【试题解析】 由于 f(x)为 R 上的奇函数，所以当 x=0 时 f(0)=0；当 x0 时，一x0，所以 f(一 x)=x2+4x=一 f(x)，即 f(x)=x 2 一 4x，所以 f(x)= ，由 f(x)x，可得 ，解得 x5或一 5x0，所以原不等式的解集为(一 5，0) (5，+)13 【正确
11、答案】 1【试题解析】 由 Tr1 =C9rx 9r =(一 a)rC9rx92r ，令 92r=3，r=3，有(一 a)3C93=一 84，解得 a=114 【正确答案】 一 1 或【试题解析】 令t=x ，则由 x0，得 t2所以 PA2=t2 一 2at+2a2 一 2=(t 一 a)2+a22，由 PA取得最小值得 ，解得 a=一 1或 a= 15 【正确答案】 2 37 【试题解析】 设第 k 行的第一个数为 ak，则a1=1， a2=4=2a1+2，a 3=12=2a2+22，a 4=32=2a3+23，由以上归纳，得ak=2ak1 +2k 1(k2，且 kN*)，an=n2 n1
12、 (nN*)由数阵的排列规律可知，每行的数(倒数两行另行考虑)都成等差数列，且公差依次为：2，2 2，2 k，第 n 行的首项为 an=n 2n1 (nN*)，公差为 2n， 第 32行的首项为 a32=322 31=236，公差为 232，第 32 行的第 17 个数是236+16232=237故答案为 237三、解答题16 【正确答案】 (z 12)(1+i)=1 一 i z1=2 一 i， 复数 z2 的虚部为 2，设z2=a+2i，aR，则 z1z 2=(2 一 i)(a+2i)=(2a+2)+(4a)i，z 1z 2R，a=4，z 2=4+2i17 【正确答案】 依题意设 y=kx+
13、b，则有 解得 k=一30，b=960 y=一 30x+960(16x32)18 【正确答案】 每月获得 P=(一 30x+960)(x 一 16)=30(一 x2+48x 一 512)=一 30(x一 24)2+1920 当 x=24 时，P 有最大值，最大值为 1920，即当价格为 24 元，每月才能获得最大的利润 1920 元19 【正确答案】 证明：连接 BD，四边形 ABCD 为菱形， BAD=60，ABD为正三角形，Q 为 AD 中点，ADBQ，PA=PD，Q 为 AD 的中点，ADPQ，又 BQPQ=Q，AD平面 PQB，AD 平面 PAD平面 PQB平面PAD20 【正确答案】
14、 当 t= 时，使得 PA平面 MQB，连 AC 交 BQ 于 N，交 BD于 O，连接 MN，则 O 为 BD 的中点，又BQ 为 ABD 边 AD 上中线，N 为正三角形 ABD 的中心，令菱形 ABCD 的边长为 a，则 又PA平面 MQB，PA 平面 PAC，平面 PA平面 MQB=MN，PA MN21 【正确答案】 由 PA=PD=AD=2，Q 为 AD 的中点，则 PQAD，又平面 PAD平面 ABCD，所以 PQ平面 ABCD，以 Q 为坐标原点，分别以 QA、QB 、QP 所在的直线为 x，y，z 轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为 A(1，0，0)，B(0， ，0)，Q(
15、0 ，0， 0)，P(0，0， )，则 ，设平面 MQB 的法向量为 n=(x，y，z)，可得 取平面 ABCD 的法向量 m=(0，0，1)，cos= ，二面角 M-BQ-C 的大小为 6022 【正确答案】 由题意得 5a3a 1=(2a2+2)2， 即 d2 一 3d 一 4=0 故 d=一 1 或d=4 所以 an=一 n+11，n N*或 an=4n+6，n N*23 【正确答案】 设数列a n的前 n 项和为 Sn，d0，由(I)得 d=一 1，a n=一n+11，则当 n11 时，a 1+a 2+a 3+a n=S n= 当n12 时，a 1+a 2+a 3+ a n=一 Sn+2S11= +110综上所述，a 1+a 2+ a 3+ a n=24 【正确答案】 (x)=f(x)一 ， (x)=，x0 且 x1， (x)0函数 (x)的单调递增区间为(0 ，1) 和 (1，+)25 【正确答案】 f (x)= ，f(x 0)=lnx0， 切线 l 的方程为 ylnx0= (x 一 x0)即 y= +lnx0 一 1，设直线 l 与曲线 y=g(x)相切于点(x 1，e x1)，g(x)=ex，e x1= 结合零点存在性定理，知道方程 (x)=0 必在区间(e ，e 2)上有唯一的根，这个根就是所求的唯一 x0，故结论成立
