1、湖南省教师公开招聘考试（中学数学）历年真题试卷汇编 13 及答案与解析一、选择题1 设全集 U=1，2，3，4，5 ，A=1，2，3 ，B=2，4，5 ，则的元素个数是( )（A）（B） 1（C） 2（D）32 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是( )（A）棱柱（B）棱台（C）圆柱（D）圆台3 若方程 x2+(12i)x+3m-i=0(mR)有一实根，那么它的另一个根为( )4 设 xZ，集合 A 是奇数集，集合 B 是偶数集，若命题 P： xA，2xB，则( )5 抛物线 y2=8x 的焦点到直线 x 一 =0 的距离是( )（A）（B） 2（C）（D）16 函数 f(x)=2si
2、nxcosx 是( )（A）最小正周期为 2 的奇函数（B）最小正周期为 2 的偶函数（C）最小正周期为 的奇函数（D）最小正周期为 的偶函数7 某学校随机抽取 20 个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为 5 将数据分组成0，5)，5，10)，30，35)，35 ，40时，所作的频率分布直方图是( )8 若变量 x，y 满足约束条件 且 z=5y 一 x 的最大值为 a，最小值为 b，则 a-b 的值是( )（A）48（B） 30（C） 24（D）169 从椭圆 =1(ab0)上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1，A 是椭圆与 x 轴正半轴的交
3、点，B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 ABOP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )10 设函数 f(x)= (aR，e 为自然对数的底数)，若存在 b0，1使 f(b)=b 成立，则 a 的取值范围是( )（A）1 ，e（B） 1，1+e（C） e，1 e（D）0 ，1二、填空题11 已知(x ，y)满足 的最大值是_12 (x+1)9 的展开式中 x3 的系数是 _(用数字作答 )13 已知集合 A=xx-2xx5 ，B=x xa，且 AB= ，则实数a 的取值范围是 _14 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取
4、相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，曲线 C2 的方程为 cos ，则 C1 与 C2 两交点的距离为_15 如图，已知圆 O 的半径为 3，从圆 O 外一点 A 引切线 AD 和割线 ABC，圆心O 到 AC 的距离为 ，AB=3，则切线 AD 的长为 _三、解答题16 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a，b、c，已知 AC=90，a+c= b，求 C16 在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB=1 ，AC=AA 1= ， ABC=60。17 证明：ABA 1C；18 求二面角 AA1CB18 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛，
5、甲对 A、乙对 B、丙对 C 各一盘，已知甲胜 A、乙胜 B、丙胜 C 的概率分别为 06，05，05，假设各盘比赛结果相互独立19 求红队至少两名队员获胜的概率；20 用 表示红队队员获胜的总盘数，求 的分布列和数学期望 E；20 已知椭圆 =1(ab0)上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为21 求椭圆的方程；22 如果直线 x=t(tR)与椭圆相交于 A，B，若 C(一 3，0)，D(3，0)，证明直线 CA与直线 BD 的交点 K 必在一条确定的双曲线上；23 过点 Q(1，0) 作直线 l(与 x 轴不垂直) 与椭圆交于 M、N 两点，与 y 轴交于点R，若 ，证明：+ 为定值23
6、设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S4=4s2，a 2n=2an+124 求数列a n的通项公式；25 若数列b n满足 ，n N*，求b n的前 n 项和 Tn湖南省教师公开招聘考试（中学数学）历年真题试卷汇编 13 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 因为 =1， 2，3，4，5 ，A=1 ，2，3，B=2，4，5，所以为空集，故本题选 A2 【正确答案】 D【试题解析】 由俯视图可排除 A，B，由正视图可排除 C，选 D3 【正确答案】 D【试题解析】 因为方程的两个根中有一个实根，而 x1+x2=2i 一 1，所以虚根的虚部为 2，排除 B、C 项，设实根为
7、 R，将 A 项代入，得，这与x1x2=3mi 矛盾，所以本题选 D4 【正确答案】 C【试题解析】 由命题的否定易知选 C，注意要把全称量词改为存在量词5 【正确答案】 D【试题解析】 抛物线 y2=8x 的焦点 F(2，0)到直线=1，选 D6 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查三角函数的性质，f(x)=2sinxcosx=sin2x，是最小正周期为 的奇函数7 【正确答案】 A【试题解析】 由茎叶图知，各组频数统计如下表：上表对应的频率分布直方图为 A，故选 A8 【正确答案】 C【试题解析】 约束条件 ，表示以(0，0)、(0，2)、(4，4)、(8 ，0)为顶点的四边形区域，检验
8、四个顶点的坐标可知，当 x=4，y=4 时，a=z max=54-4=16；当 x=8，y=0 时，b=z min=50 一 8=一 8，a 一 b=24，选 C9 【正确答案】 C【试题解析】 由已知，点 P(一 c，y)在椭圆上，代入椭圆方程，得 ，ABOP， kAB=kOP，即，选 C10 【正确答案】 A【试题解析】 由题意得 =x，x0，1化简得 ex+x 一x2=a， x0， 1令 g(x)=ex+x 一 x2；所以 g(x)=ex+12x，设 h(x)=ex+12x，则h(x)=ex 一 2，所以当 x(0，ln2)时，h (x)0，当 x(ln2，1)时，h (x)0所以g(x
9、)g(ln2)=32ln20，所以 g(x)在0，1上单调递增，所以原题中的方程有解必须方程有解，所以 g(0)ag(1)，故选 A二、填空题11 【正确答案】 2【试题解析】 画出约束条件表示的可行域如图： 的几何意义：直线 y=一 3x+b 的 y 轴截距的一半，经过点 A(1，1)时，直线 3x+y=b 在 y 轴上截距最大，最大值为 4，就是所求最大值的 2 倍，即所求最大值为 2，故答案为 212 【正确答案】 84【试题解析】 (x+1) 9 的展开式中 x3 的系数是 C96=C96=8413 【正确答案】 a2【试题解析】 可知集合 A=xx5 或 x一 2，a0 时，B=x一
10、 axa；a0 时， ，则 a214 【正确答案】 16【试题解析】 曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数 )化为普通方程为 y2=8x，曲线 C2 的方程为 cos ，化为普通方程为 x 一 y=2，其斜率为 1设曲线 C1 和 C2 的两交点为 a(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立消去 y，得 x2 一 12x+4=0 根据弦长公式AB =16，故答案为 1615 【正确答案】 【试题解析】 圆的半径为 3，圆心 O 到 AC 的距离为=2，又 AB=3，AC=5 ，又AD 为圆 O 的切线，ABC 为圆 O 的割线，由切割线定理得：AD 2=ABAC=15，即 AD=三、解答
11、题16 【正确答案】 由 AC=90，得 A 为钝角且 sinA=cosC，利用正弦定理，a+c=可变形为 sinA+sinC=，又A、B、C 是ABC 的内角，故 C+45=B 或(C+45)+B=180(舍去)，所以A+B+C=(90+C)+(C+45)+C=180，所以C=15 17 【正确答案】 三棱柱 ABCA1B1C1 为直二棱柱，ABAA 1，在ABC 中，AB=1，AC= ，ABC=60，由正弦定理得ACB=30， BAC=90，即ABAC，AB平面 ACC1A1，又 A1C 平面 ACC1A1， ABA1C18 【正确答案】 作 ADA1C 交 A1C 于 D 点，连结 BD
12、，由三垂线定理知BDA1C，ADB 为二面角 AA1C 一 B 的平面角在 RtAA1C 中，AD=，ADB=arctan，即二面角 A 一 A1CB 的大小为 arctan 19 【正确答案】 设甲胜 A 的事件为 D，乙胜 B 的事件为 E，丙胜 C 的事件为 F，则 分别表示甲不胜 A、乙不胜 B、丙不胜 C 的事件，因此 P(D)=06，P(E)=05， P(F)=05，由对立事件的概率公式知=05红队至少两人获胜的事件有：，DEF，由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立囚此红队至少两人获胜的概率为：P= +P(DEF)=060505+060505+040 505+06050
13、5=05520 【正确答案】 由题意知 可能的取值为 0，1，2，3又由(1)知是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此 P(=0)=040 505=01，P(=1)= =040 505+040505+06050 5=0 35，P(=3)=P(DEF)=060 505=0 15由对立事件的概率公式得 P(=2)=1 一 P(=0)一 P(=1)一 P(=3)=04，所以 的分布列为因此E=001+1035+204+3015=1 621 【正确答案】 由已知得 b2=a2 一 c2=1椭圆方程为 +y2=122 【正确答案】 依题意可设 A(t，y 0)，B(t，一 y0)，K(x ，y)
14、，且有 +y02=1 又直线 CA 的方程为： 将直线 AC、BD 的方程相乘，得到 y2= (x2 一 9)，将=1，所以直线 CA 与直线 BD 的交点 K 必在双曲线 一 y2=1 上23 【正确答案】 依题意，直线 l 的斜率存在，故可设直线 l 的方程为 y=k(x 一 1)，设 M(x3，y 3)、N(x 4，y 4)、R(0，y 5)，则 M、N 两点坐标满足方程组消去 y 并整理，得(1+9k 2)x2 一 18k2x+9k2 一 9=0，24 【正确答案】 设等差数列a n的首项为 a1，公差为 d由 S4=4S2，a 2n=2an+1 得解得 a1=1，d=2因此 an=2n 一1，n N*25 【正确答案】
