1、湖南省教师公开招聘考试（中学数学）历年真题试卷汇编 3 及答案与解析一、选择题1 已知集合 A=xx 2x20，集合 B 为整数集，则 AB=( )（A） 一 1， 0，1，2（B） -2，一 1，0，1（C） 0，1（D） 一 1， 02 在 x(1+x)6 的展开式中，含 x3 项的系数为( )（A）30（B） 20（C） 15（D）103 为了得到函数 y=sin(2x+1)的图象，只需把函数 y=sin2x 的图象上所有的点( )（A）向左平行移动 个单位长度（B）向右平行移动 个单位长度（C）向左平行移动 1 个单位长度（D）向右平行移动 1 个单位长度4 下列各结论中，正确的是(
2、)5 执行如图的程序框图，如果输入的 x，yR，那么输出的 S 的最大值为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）36 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )（A）192 种（B） 216 种（C） 240 种（D）288 种7 平面向量 a=(1，2)，b=(4，2) ，c=ma+b(mR)，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，则 m=( )（A）一 2（B）一 1（C） 1（D）28 下列各选项中，成反比例关系的是( )（A）时间一定时，路程与速度的关系（B）圆柱体积一定时，圆柱底面积和高的关系（C）长方形的长一定时，宽与这个长方形的
3、面积的关系（D）全班人数一定时，男生人数与女生人数的关系9 已知 f(x)=ln(1x)一 ln(1 一 x)，x (一 1，1)，现有下列命题：f(一 x)=一 f(x)；f( )=2f(x)；f(x)2x其中的所有正确命题的序号是( )（A）（B） （C） （D）10 已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，=2(其中 O 为坐标原点)，则ABO 与AFO 面积之和的最小值是( )（A）2（B） 3（C）（D）二、填空题11 (lg2)2lg2lg50+lg25=_12 定义两种运算：的奇偶性为_13 从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名一等奖
4、，2 名二等奖，3 名三等奖，则可能的决赛结果共有_种(用数字作答)14 若 x，y 满足约束条件 ，则 z=-x+y 的最小值为_15 已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球 O 的半径，OK= ，且圆 O 与圆 K 所在的平面构成的一个二面角为 60，则球 O 的表面积等于_三、解答题15 已知角 A、B、C 为ABC 的三个内角，16 求 tan2A 的值；17 求 的值17 已知函数 f(x)=sin(3x+ )18 求 f(x)的单调递增区间；19 若 是第二象限角， ，求 cossin 的值20 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为 60cm 的
5、正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 ABCD 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E,F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE=FB=xcm(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，试问 x 应取何值 ?(2)若广告商要求包装盒容积 V(cm3)最大，试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值20 等比数列a n的前 n 项和为 Sn，已知对任意的 nN ，点(n，S n)均在函数y=bx+r(b0 且 b1，b，r 均为常数)的图像上21 求 r 的值；22 当 b=2 时，记 bn
6、=2(log2an+1)(nN ) 证明：对任意的 nN ，不等式成立22 椭圆 C： =1(ab0)的离心率 e= ， a+b=323 求椭圆 C 的方程；24 如图，A，B，D 是椭圆 C 的顶点，P 是椭圆 C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交 x 轴于点 N，直线 AD 交 BP 于点 M，设 BP 的斜率为 k,MN 的斜率为 m，证明：2mk 为定值湖南省教师公开招聘考试（中学数学）历年真题试卷汇编 3 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 因为 A=x1x2，B=Z，故 AB=1，0，1，22 【正确答案】 C【试题解析】 只需求(1x) 6 的展开式中含 x2
7、 项的系数即可，而含 x2 项的系数C62=15，故选 C3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 y=sin(2x1)=sin2(x )，故可由函数 y=sin2x 的图像上所有的点向左平行移动 个单位长度的到，选 A4 【正确答案】 B【试题解析】 5 【正确答案】 C【试题解析】 当 时，由线性规划的图解法可知，目标函数 S=2xy 的最大值为 2，否则 S 的值为 1，所以输出的 S 的最大值为 26 【正确答案】 B【试题解析】 当最左端排甲时，不同的排法共有 A55 种，当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有 C41A44 种，故不同的排法共有A55C 41A4
8、4=924=216 种7 【正确答案】 D【试题解析】 易知 c 是以 ma，b 为临边的平行四边形的对角线向量，因为 c 与a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，所以该平行四边形为菱形，又由已知得b=2a，故 m=28 【正确答案】 B【试题解析】 时间一定时，路程与速度成正比例关系；圆柱体积一定时，圆柱底面积和高成反比例关系；长方形的长一定时，宽与这个长方形的面积成正比例关系；全班人数一定时，男生人数与女生人数不存在比例关系，故成反比例关系的是 B9 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)=ln(1x)ln(1x)=f(x) ，故 正确；因为 f(x)=ln(1x)-ln(1 x)=2f(x
9、)，故正确；当 x0，1)时，f(x) 2 x f(x)2x0，令 g(x)=f(x)2x=ln(1x)ln(1 x) 2x(x0，1) ，因为 g(x)= 0，所以 g(x)在区间 0，1)上单调递增，g(x) =f(x)2xg(0)，即 f(x)2x，又 f(x)与 y=2x 都为奇函数，所以f(x)2x成立，故正确，故选 A10 【正确答案】 B【试题解析】 设点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)(不妨假设 y10，y 20)，直线 AB 的方程为 x=tym，且直线 AB 与 x 轴的交点为 M(m，0)，由 消去 x，得y2ty m=0，所以 y1y2=m，又 =2，所以 x
10、1x2y 1y2=2，(y 1y2)2y 1y22=0，因为点 A，B 在抛物线上且位于 x 轴的两侧，所以 y1y2=2，故m=2。又 =时取“=”，所以ABO 与 AFO 面积之和的最小值是 3二、填空题11 【正确答案】 2【试题解析】 (lg2) 2lg2(1lg5) 2lg5=2ld5 lg2(1lg5 lg2)=2lg5 2lg2=212 【正确答案】 奇函数【试题解析】 f(x)= ，所以f(x)= =f(x)，所以 f(x)为奇函数13 【正确答案】 60【试题解析】 第一步作出一等奖 1 名又 C61 种情况，第二步作出二等奖 2 名有 C52种情况，第三步作出三等奖 3 名
11、有 C33 种情况，故可能的决赛结果共有C61C52C33=60 种情况14 【正确答案】 0【试题解析】 首先作出约束条件下的平面区域，由图可知目标函数 z=xy 经过点 C(1，1) 时取得最小值，即为11=015 【正确答案】 16【试题解析】 如图所示，设球 O 的半径为 R，过 K 作公共弦的垂线，垂足为 M，连接 OM，ON，则 OMK=60， ，于是在 RtOMN 中，由勾股定理可得 =R2，解得 R2=4，所以球得表面积 S=4R2=16三、解答题16 【正确答案】 =(sinB+cosB)sinC+cosC(sinBcosB)=sinBcosC+cosBsinC+sinBsi
12、nCcosCcosB=sin(B+C)一 cos(B+C)= sinA+cosA=，两边平方并整理得：2sinAcosA= ，17 【正确答案】 tanA= =1318 【正确答案】 因为函数 y=sinx 的单调递增区间为 ，kZ，由 ，kZ所以，函数 f(x)的单调递增区间为 ，kZ19 【正确答案】 由已知，有(cos2sin2)，即 sina+cosa=(cos-sin)2(sin+cos)当 sincos=0 时，由 是第二象限角，知= +2k，k Z此时，cos sin= 当 sin+cos0 时，有(cossin) 2=由 是第二象限角，知 cos 一 sin0，此时 cos 一
13、 sin= 综上所述，cos 一 sin= 20 【正确答案】 设包装盒的高为 h(cm)，底面边长为 a(cm)，由已知得，0x30(1)S=4ah=8x(30 一 x)=一 8(x 一 15)2+1800，所以当 x=15 时， S 取得最大值(2)V=a 2h= (一 x3+30x2)，V= x(20 一 x)由 V=0，得 x=0(舍去)或 x=20当 x(0，20)时，V 0；当x(20，30)时，V 0所以当 x=20 时，V 取得极大值，也是最大值此时 ，即包装盒的高与底面边长的比值为 21 【正确答案】 因为对任意的 nN ，点(n，S n)均在函数 y=bx+r(b0 且b1
14、，b，r 均为常数)的图像上，所以得 Sn=bn+r， 当 n=1 时，a 1=S1=b+r， 当 n2时，a n=Sn 一 Sn1 =bn+r 一 (bn1 +r)=bn 一 bn1 =(b 一 1)bn1 ， 又因为a n为等比数列，所以公比为 b，又因为 an=(b 一 1)bn1 ，即 r=一 122 【正确答案】 当 b=2 时，a n=(b 一 1)bn1 =2n1 ，b n=2(log2an+1)=2(log22n1 +1)=2n，所以当 n=k+1 时，不等式也成立综上，可得不等式恒成立23 【正确答案】 因为 e= ，a 2 一 b2=c2所以 ，代入 a+b=3得，c= ，a=2，b=1故椭圆 C 的方程为 +y2=124 【正确答案】 因为 B(2，0)，P 不为椭圆顶点，则直线 BP 的方程为 y=k(x 一 2)(k0，k )，
