1、湖南省教师公开招聘考试（中学数学）历年真题试卷汇编 6 及答案与解析一、选择题1 已知 i 是虚数单位，化简 =( )（A）1+2i（B） 1-2i（C）一 1+2i（D）一 12i2 已知集合 M=0，1，集合 S=1，则集合 MS=( )（A）0（B） 1（C） 0，1（D）0，1，13 如果命题“p 且 q”是假命题， “ ”是真命题，那么 ( )（A）命题 p 一定是真命题（B）命题 q 一定是真命题（C）命题 q 可以是真命题也可是假命题（D）命题 q 一定是假命题4 已知平面向量 a=(2，3)，平面向量 b=(4，x) ，若 ab，则实数 x 等于( )（A）一 6（B） 6（C
2、）（D）5 已知抛物线 y2=8x 的焦点与双曲线 一 y2=1 的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为( )6 函数 y=Asin(x+)(0， ，xR)的部分图象如图所示，则函数表达式为( )7 函数 f(x)= 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为 ( )（A）（B） 2（C） 3（D）48 已知函数 f(x)=x44x310x 2，则方程 f(x)=0 在区间1，2上的根有( )（A）3 个（B） 2 个（C） 1 个（D）0 个9 如图，在 A、B 间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通，如今发现 A、B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有 ( )（A）10（B） 1
3、2（C） 13（D）1510 设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)单调递减，若数列a n是等差数列，且 a30，则 f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5)的值( )（A）恒为正数（B）恒为负数（C）恒为 0（D）可正可负二、填空题11 若曲线 y=x+1(R)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则 =_12 某住宅小区计划植树不少于 100 棵，若第一天植 2 棵，以后每天植树的棵数是前一天的 2 倍，则需要的最少天数 n(nN*)等于_13 不等式x+1+ x 一 25 的解集为_14 若圆 C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线 y=1
4、相切，则圆 C 的方程是_15 如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上，且 ABCD，则直线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_三、解答题15 在ABC 中， 16 求 sinA；17 记 BC 的中点为 D，求中线 AD 的长17 如图，在三棱锥 PABC 中，D，E ，F 分别为棱 PC，AC ，AB 的中点，已知PAAC，PA=6，BC=8，DF=5 求证：18 直线 PA平面 DEF；19 平面 BDE平面 ABC19 在一次数学考试中，第 14 题和第 15 题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选做一题，设 4 名考生选做这两题的可能性均为 20 求甲、
5、乙 2 名学生选做同一道题的概率；21 设这 4 名考生中选做第 15 题的学生数为 个，求 的分布列及数学期望21 已知椭圆 C： =1(ab0)的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形22 求椭圆 C 的标准方程；23 设 F 为椭圆 C 的左焦点， T 为直线 x=一 3 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P，Q证明：DT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点)；当 最小时，求点 T 的坐标24 数形结合思想是一种重要的数学思想，它的实质就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题用数形结合思想解题能简化推理和运算，具有直观、快捷的优
6、点，请简要谈谈数形结合思想在解哪些类型的问题时可以发挥作用，使问题得到更好的解决湖南省教师公开招聘考试（中学数学）历年真题试卷汇编 6 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查虚数的计算 一 1=一 2i 一 12 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查集合的相关知识点M=0，1，S=1，MS=0，13 【正确答案】 C【试题解析】 是真命题，命题 p 是假命题，又“P 且 q”是假命题，命题 q可以是真命题，也可以是假命题，故选 C4 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查向量平行的相关知识点a=(2，3)，b=(4，x)，ab，2x=34 ，x=6 5 【正确答案】
7、B【试题解析】 抛物线 y2=8x 的焦点是(2，0)，c=2 ，a 2=41=3，e=，故选 B6 【正确答案】 A【试题解析】 由图象得 A=4， ，此函数方程为 y=4sin( x+)，将最低点(2，一 4)代入解析式得，A=一4所以该函数解析式为 y=一 4sin ，故选 A7 【正确答案】 D【试题解析】 由题意，函数 f(x)= 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为三角形面积加上一曲边梯形面积=2+2=4故选 D8 【正确答案】 D【试题解析】 由题可得 f(x)=4x3 一 12x2+20x=4x(x2 一 3x+5)在1，2上，f (x)0；f(x) 在 1，2上单调递增，
8、 f(x)f(1)=7，故 f(x)=0 在1，2上无根，故选D9 【正确答案】 C【试题解析】 根据题意，在 A、B 间有四个焊接点，每个焊点脱落与否有 2 种情况，则 A、B 间的 4 个焊接点，共有 2222=16 种情况，其中 A、B 之间线路通畅时，有 1、2、3、4 全部没有脱落，只有 2 脱落，只有 3 脱落，共 3 种情况，若A、B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有 163=13 种情况，故选 C10 【正确答案】 A【试题解析】 函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)单调递减，所以在 R 上，f(x)都单调递减，又 数列a n是等差数列，且a3
9、0，a 2+a4=2a30，a 1+a5=2a30 因为 f(0)=0，所以 x0时，fr(x)0；x0时，f(x)0，f(a 3)0， f(a1)+f(a5)0， f(a 2)+f(a4)0故选 A二、填空题11 【正确答案】 2【试题解析】 由题意 y=ax1 ，在点(1，2)处的切线的斜率为 k=，又切线过坐标原点，所以 = =212 【正确答案】 6【试题解析】 设每天植树的棵数组成的数列为a n，由题意可知它是等比数列，且首项为 2，公比为 2，所以由题意可得 100，即 2n51，而25=32， 26=64，n N*，所以 n613 【正确答案】 X(一，一 2)(3，+)【试题解
10、析】 利用绝对值的几何意义14 【正确答案】 (x2) 2+【试题解析】 因为圆过原点，所以可设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey=0，因为圆过点(4，0)，将点 (4，0)代入圆的方程得 D=-4，即圆的方程为 x2+y2 一 4x+Ey=0，又圆与直线 y=1 相切，将其代入圆的方程得 x2+14x+E=0，又方程只有一个解，所以=42 一 4(1+E)=0，解得 E=3，故所求圆的方程为 x2+y2 一 4x+3y=0，即(x 一 2)2+15 【正确答案】 4【试题解析】 在正四面体中取 CD 的中点为 G，连接 FG，EG，作 FH平面CDE，于点 H 因为正四面体的高 FH 在平面
11、 EFG 内，且 FH 平行于正方体的高，所以可证得平面 EFG 平行于正方体的左、右两个侧面，故直线 EF 仅与正方体的六个面中的上、下两个平面及前、后两个平面相交，共有 4 个三、解答题16 【正确答案】 由 cosC= ，C 是三角形内角，得sinC= ， sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=17 【正确答案】 由正弦定理得， =6，在ACD 中，由余弦定理得：AD=18 【正确答案】 因为 D，E 分别为棱 PC，AC 的中点，所以 DEPA又因为，所以直线 PA平面 DEF19 【正确答案】 因为 D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点，PA=6
12、，BC=8，所以 DEPA，DE= PA=3，EF= BC=4又因为 DF=5，故 DF2=DE2+EF2，所以 DEF=90，即 DEEF又 PAAC，DE PA，所以 DEAC因为ACEF 于点 E， ，所以 DE平面 ABC又 DE平面 BDE，所以平面 BDE平面 ABC20 【正确答案】 设事件 A 表示“甲选做 14 题” ，事件 B 表示“ 乙选做 14 题”，则甲、乙 2 名学生选做同一道题的事件为“AB+ ”，且事件 A、B 相互独立，21 【正确答案】 随机变量 的可能取值为 0，1，2，3，4且B(4， )P(=k)=C 4k (k=0，1，2，3，4)所以变量 的分布列
13、为E= =222 【正确答案】 解：由已知可得 解得 a2=6，b 2=2，所以椭圆 C 的标准方程是 =123 【正确答案】 证明：由上问可得， F 的坐标是(一 2，0)，设 T 点的坐标为(一 3， m)，则直线 TF 的斜率 kTF= =一 m当 m0 时，直线 PQ 的斜率率 kPQ= ，直线 PQ 的方程足 x=my 一 2当 m=0 时，直线 PQ 的方程是 x=一2，也符合 x=my 一 2 的形式设 P(x1，y 1)，Q(x 2，y 2)，将直线 PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得 消去 x，得(m 2+3)y2 一 4my 一 2=0，其判别式=16m2+8(m2+3)
14、0所以 y1+y2= ，x 1+x2=m(y1+y2)一 4=所以 PQ 的中点 M 的坐标为 所以直线 OM 的斜率kOM= 又直线 OT 的斜率 kOT= ，所以点 M 在直线 OT 上，因此 OT 平分线段 PQ解：由可得，所以当 最小时，T 点的坐标是(一 3，1)或( 一 3，一 1)24 【正确答案】 (1)在解方程或解不等式中的问题中，若方程或不等式中的代数式能分拆成一次函数、二次函数、指数函数和三角函数等形式，则一般可利用函数的图像直观地使问题获得解决；(2)复数与三角函数概念的建立离不开直角坐标系，因此这些概念含有明显的几何意义，采用数形结合解决此类问题非常直观清晰；(3)二元一次方程，二元二次方程能与直线、二次曲线相对应，用数形结合法解决此类问题，能在解题过程中充分利用平面几何和解析几何的知识，使解题思路更开阔
