1、湖南省教师公开招聘考试（中学数学）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题1 设命题 p： xR，x 210，则 为( )（A） x0R，x 02+10（B） x0R，x 02+10（C） x0R，x 02+10（D） x0R，x 02+102 已知集合 A=xx2，B=x 1x3 ，则 AB=( )（A）x x 2（B） xx1（C） x2x3（D）x 1 x33 对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p 2，p 3，则( )（A）p 1=p2p 3（B） p2=p3p 1（C） p1=
2、p3p 2（D）p 1=p2=P34 下列函数中，既是偶函数又在区间(一，0)上单调递增的是( )（A）f(x)=（B） f(x)=x2+1（C） f(x)=x3（D）f(x)=2 x5 在区间一 2，3 上随机选取一个数 X，则 x1 的概率为 ( )6 若圆 C1：x 2+y2=1 与圆 C2：x 2+y2 一 6x-8y+m=0 外切，则 m=( )（A）21（B） 19（C） 9（D）一 117 执行如图 1 所示的程序框图，如果输入的 t一 2，2，则输出的 S 属于( )（A）一 6，一 2（B） 一 5，一 1（C） 一 4，5（D）一 3，68 一块石材表示的几何体的三视图如图
3、 2 所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )（A）1（B） 2（C） 3（D）49 若 0x 1x 21，则( )（A）e x2 一 ex1lnx 2 一 Inx1（B） ex2 一 ex1lnx 2 一 lnx1（C） x2ex1x 1ex2（D）x 2ex1 x1ex210 在平面直角坐标系中，O 为原点，A(一 1，0)，B(0， )，C(3，0)，动点 D 满足CD=1 ，则OA+OB+OD的取值范围是( )二、填空题11 已知复数 z 满足(z 一 2)i=1+i(i 为虚数单位)，则 z 的模为_12 已知双曲线 =1 的离心率为 2，焦点与椭圆 =1
4、 的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为_；渐近线方程为_13 边长是 的正三角形 ABC 内接于体积是 的球 O，则球面上的点到平面 ABC 的最大距离为 _14 将全体正奇数排成一个三角形数阵：13 57 9 1113 15 17 19按照以上排列的规律，第 n 行(n3)从左向右的第 3 个数为_三、解答题14 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c15 若 a，b， C 成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin(A+C)；16 若 a，b， C 成等比数列，求 cosB 的最小值16 已知椭圆 =1(ab0)的左焦点为 F，左、右顶点分别为 A、C，上顶点为 B， O
5、 为原点，P 为椭圆上任意一点，过 F、B、C 三点的圆的圆心坐标为(m，n)17 当 m+n0 时，求椭圆的离心率的取值范围；18 在上一问的条件下，椭圆的离心率最小时，若点 D(b+1，0)，求椭圆的方程18 已知首项都是 1 的两个数列a n，b n(bn0，nN *)满足 anbn1 一an1 bn+2bn1 bn=019 令 cn= ，求数列c n的通项公式；20 若 bn=3n 1，求数列a n的前 n 项和 Sn20 如图，四棱锥 PABCD 中，底面是以 O 为中心的菱形，PO底面ABCD，AB=2，BAD= ，M 为 BC 上一点，且 BM= ，MP AP21 求 PO 的长
6、；22 求二面角 A 一 PM 一 C 的正弦值22 已知 f(x)=x2+3x+1，g(x)= +x23 a=2 时，求 y=f(x)和 y=g(x)的公共点个数；24 a 为何值时， y=f(x)和 y=g(x)的公共点个数恰为两个湖南省教师公开招聘考试（中学数学）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 全称命题的否定，要对结论进行否定，同时要把全称量词换成存在量词，故命题 P 的否定为“ x0R，x 02+10”，所以选 B2 【正确答案】 C【试题解析】 由已知直接得，AB=xx2x1x3=x2x3，选C3 【正确答案】 D【试题解析】 根据抽样方法的概念可
7、知，简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样，每个个体被抽到的概率都是 p= ，故 p1=p2=p3，故选 D4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 y=x2 在(一，0) 上是单调递减的，故 y= 在(一，0)上是单调递增的，又 y= 为偶函数，故 A 对；y=x 2+1 在(一，0)上是单调递减的，故 B错；y=x 3 为奇函数，故 C 错；y=2 x 为非奇非偶函数，故 D 错所以选 A5 【正确答案】 B【试题解析】 区间一 2，3的长度为 3 一(一 2)=5，一 2，1的长度为 1 一(一 2)=3，故满足条件的概率 P= 6 【正确答案】 C【试题解析】 圆 C1 的圆心是原点(
8、0，0)，半径 r1=1，圆 C2：(x 一 3)2+(y 一 4)2=25一 m，圆心是 C2(3，4)，半径 r2= ，由两圆相外切，得C 1C2=r 1+r2=1+ =5，所以 m=97 【正确答案】 D【试题解析】 由程序框图可知 S 是分段函数，且 S= ，其值域为(一 2，6一 3，一 1=一 3，6，故选 D8 【正确答案】 B【试题解析】 此几何体为一直三棱柱，底面是边长为 6，8，10 的直角三角形，侧棱长为 12，故其最大球的半径为底面直角三角形内切圆的半径，故其半径为 r=2故选 B9 【正确答案】 C【试题解析】 构造函数 f(x)=ex 一 lnx，则 f(x)=ex
9、 一 ，故 f(x)=ex 一 lnx 在(0，1)上有一个极值点，即 f(x)=ex 一 lnx 在(0，1) 上不是单调函数，无法判断 f(x1)与 f(x2)的大小，故 A、B 错；构造函数 g(x)= 在(0，1)上单调递减，故 g(x1)g(x 2)，x 2ex1x 1ex2，故选 C10 【正确答案】 D【试题解析】 二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 复数 z 满足(z 一 2)i=1+i(i 为虚数单位 )，z=2+12 【正确答案】 (4，0)； y=0【试题解析】 椭圆 =1 的焦点为(4，0)， 双曲线的焦点坐标为(4，0) ，c=4， =2，c=a 2+b2，a
10、=2，b 2=12，双曲线方程为 =1，渐近线方程为 y= =013 【正确答案】 【试题解析】 边长是 的正三角形 ABC 的外接圆半径 r= 球 O 的半径R= 球心 O 到平面 ABC 的距离 d= 球面上的点到平面 ABC 的最大距离为 R+d= 14 【正确答案】 n 2 一 n+5【试题解析】 观察三角形数阵，知第 n 行(n3)前共有 1+2+3+(n 一 1)=个连续奇数，第 n 行(n3)从左向右的第 3 个数为 一1，即 n2 一 n+5；故答案为 n2 一 n+5三、解答题15 【正确答案】 证明：a，b，c 成等差数列，a+c=2b由正弦定理得 sinA+sinC=2s
11、inBsinB=sin 一(A+C)=sin(A+C)，sinA+sinC=2sin(A+C)16 【正确答案】 a，b，C 成等比数列，b 2=ac由余弦定理得 cosB=，当且仅当 a=c 时等号成立cosB 的最小值为 17 【正确答案】 设半焦距为 c，由题意得 FC、BC 的中垂线方程分别为 x=，于是圆心坐标为 所以 m+n=0，即 abbc+b2 一 ac0，即(a+b)(bc)0 ，所以 bc，于是b2c2，即 a2=b2+c22c2，所以 e2= e118 【正确答案】 由上问可知 emin= 19 【正确答案】 因为 anbn1 一 an1 bn+2b1 bn=0，b n0
12、(nN*)，所以 =2，即 cn1 一 cn=2所以数列c n是以首项 c1=1，公差 d=2 的等差数列，故 cn=2n 一120 【正确答案】 由 bn=3n1 知 an=cnbn=(2n 一 1)3n1 ， 于是数列a n前 n 项和Sn=13 0+33 1+53 2+(2n 一 1)3 n1 ，3S n=13 1+33 2+(2n 一3)3 n 1+(2n1)3 n， 相减得一 2Sn=1+2(3 1+32+3n1 )一(2n1)3 n=一 2 一(2n 一 2)3n， 所以 Sn=(n 一 1)3n+121 【正确答案】 如图，连接 AC，BD，OM，因四边形 ABCD 为菱形，则A
13、CBD=0，且 ACBD，以 O 为坐标原点， 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 O 一 xyz22 【正确答案】 由上问可知，设平面 APM 的法向量为 n1=(x1，y 1，z 1)，平面 PMC 的法向量为 n2(x2，y 2，z 2)从而法向量 n1，n 2 的夹角的余弦值为 cosn 1，n 2= ，故所求二面角 A 一 PM 一 C 的正弦值为 23 【正确答案】 由 ，整理得 x3+x2 一 x 一2=0(x1)，令 y=x3+x2 一 x 一 2，求导得 y=3x2+2x 一 1，令 y=0，得 x1=一 1，x 2=，故得极值点分别在一 1 和 处取得，且极大值、极小值都是负值故公共点只有一个24 【正确答案】 由 ，整理得 a=x3+x2 一 x(x1)，令 h(x)=x3+x2 一 x，联立 ，如图，求导 h(x)可以得到极值点分别在一 1 和 处画出草图，h(一 1)=1， ，当 a=h(一 1)=1时，y=a 和 y=h(x)仅有一个公共点(因为(1 ，1)点不在 )，y=h(x) 曲线上)，故 a=时恰有两个公共点
