1、福建省教师公开招聘考试（中学数学）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题1 若复数(a 2-3a+2)+(a-1)i 是纯虚数，则实数 a 的值为( )。（A）1（B） 2（C） 1 或 2（D）-12 设集合 A=x 0，B=x 0x3 ，那么 “mA”是“m B”的( )。（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件3 给出下列三个命题：函数 y= 是同一函数； 若函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象关于直线 y=x 对称，则函数 y=f(2x)与 y= g(x)的图象也关于直线 y=x 对称； 若奇函数 f(x)对定义域内任意 x 都有 f(x)
2、=f(2-x)，则 f(x)为周期函数。其中真命题是( )。（A）（B） （C） （D）4 一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测，方法一：在 10 箱中各任意抽查一枚；方法二：在 5 箱中各任意抽查两枚，国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为 p1 和p2，则( ) 。（A）p 1=p2（B） p1p 2（C） p1p 2（D）以上三种情况都有可能5 函数 y= 的定义域为( ) 。（A）x x0（B） xx1（C） xx10（D）x 0x16 用数学归纳法证明“ 当 n 为奇数时，x n+yn 能被 x+y 整除”，在验
3、证 n=1 正确后，归纳假设应写成( ) 。（A）假设 n=k(kN)时命题成立，即 xk+yk 能被 x+y 整除（B）假设 nk(kN)时命题成立，即 xk+yk 能被 x+y 整除（C）假设 n=2k+1(kN)时命题成立，即 x2k+1+y2k+1 能被 x+y 整除（D）假设 n=2k-1(kN)时命题成立，即 x2k-1+y2k-1 能被 x+y 整除7 一同学在电脑中打出如下圆和三角形相交出现的序列： 若将此若干个图形依此规律继续下去得到一图形系列，那么在前 2009 个图形中有( )个圆。（A）8（B） 9（C） 10（D）118 计算 sin43cos13-cos43sin1
4、3的结果等于( )。9 设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a1=-11，a 4+a6=-6，则当 Sn 取最小值时，n等于( )。（A）6（B） 7（C） 8（D）910 在ABC 中， =( )。11 如果cosx=cos(-x)，那么 x 的取值范围是( )。12 8 名学生和 2 位老师站成一排合影，2 位老师不相邻的排法种数为( )。（A）A 88A92（B） A88C92（C） A88A72（D）A 88C7213 设不等式组 表示的平面区域为 D，若指数函数 y=ax 的图象上存在区域 D 上的点，则 a 的取值范围是( ) 。（A）(1 ，3（B） 2，3（C） (1，
5、2（D）3 ，+)14 设函数 f(x)= 若 f(a)f(-a) ，则实数 a 的取值范围是( )。（A）(-1，0)(0 ，1)（B） (-，-1) (1，+)（C） (-1，0)(1，+)（D）(-，-1)(0，1)15 已知函数 f(x)、g(x) 的定义域在 R 上，h(x)=f(x)g(x)，则“f(x)、g(x)均为奇函数”是“h(x)为偶函数”的( )。（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件二、填空题16 “数与代数 ”的教学应遵循的原则是过程性原则、_和_。17 标准中陈述课程目标的动词分两类：笫一类，_目标动词；第二类，数学活动水平
6、的_目标动词。18 已知 A，B 是圆 O：x 2+y2=16 上的两点，且AB=6，若以 AB 为直径的圆 M恰好经过点 C(1，-1)，则圆心 M 的轨迹方程是_。19 曲线 y=sinx 与 x 轴在区间0，2 上所围成阴影部分的面积 S 为_。20 21exlnxdx=_。三、解答题21 设 f(x)的导数 f(x)的图象为过原点和点(2，0)的抛物线，开口向下，且 f(x)的极小值为 2，极大值为 6，求 f(x)。22 已知数列a n的前 n 项和为 Sn=n2+C(C 为常数)，求数列a n的通项公式，并判断a n是不是等差数列。22 设函数 f(x)=ax+ (a，bZ)，曲线
7、 y=f(x)在点 (2，f(2)处的切线方程为 y=3。23 求 f(x)的解析式，并证明：函数 y=f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；24 设直线 l 是曲线 y=f(x)的切线，求直线 l 与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积。25 设 p0 是一常数，过点 Q(2p，0)的直线与抛物线 y2=2px 交于相异两点 A、B，以线段 AB 为直径作圆 H(H 为圆心)，证明：抛物线顶点在圆 H 的圆周上。25 函数 f(x)=x3+3ax-1，g(x)=f(x)-ax-5，其中 f(x)是 f(x)的导函数。26 对满足-1a1 的一切 a 的值，都有 g(x)
8、0，求实数 x 的取值范围；27 设 a=-m2，当实数 m 在什么范围内变化时，函数 y=f(x)的图象与直线 y=3 只有一个公共点。28 如何处理操作几何、说理几何与逻辑几何之间的关系?29 以“抛物线及其标准方程” 为内容撰写一份说课稿。四、案例分析30 关于加减消元法有如下片段，请进行分析。“我们的小世界杯 ”足球赛规定：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，“勇士”队赛了 9 场，共得 17 分，已知这个队只输 2 场，那么胜了几场?又平了几场呢?解设“勇士”队胜了 x 场，平了 y 场。根据得分的总场次所提供的等量关系有方程 x+y=7 根据得分的总数所提供的等量
9、关系有方程 3x+y=17 由- 得 2x=10，x=5，代入 得 y=2。答：“勇士”队胜了 5 场，平了 2 场。这个解法步骤完整、计算准确、书写规范，应该没有什么问题吧?可是学生问：为什么式的赛场数与 式的得分数能够相减 ?是学生在“单位” 问题上钻牛角尖了吗?你是回答还是不回答? 是从教学上回答还是从数学上回答?福建省教师公开招聘考试（中学数学）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 由 a2-3a+2=0 得 a-1 或 a=2，且 a-10 得 a1，a=2 。2 【正确答案】 A【试题解析】 由 0 得 0x1，可知“mA”是“mB”的充分而不必要条件
10、。3 【正确答案】 C【试题解析】 两函数定义域不相同，不是同一函数；函数 y=f(2x)反解得 2x=f-1(y)，即 x=f-1(y)，y=f(2x)的反函数为 y= g(x)；f(x) 是奇函数，则 f(-x)=-f(x)，又 f(x)=f(2-x)，-f(-x)=f(2-x)，即 f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=-f(x+2)，f(x)=f(x+4) ， f(x)的周期为 4，故选 C。4 【正确答案】 B【试题解析】 方法一中，每箱抽不到劣币的概率为 99100，10 箱都抽不到劣币的概率为 ，则 10 箱中至少抽到一枚劣币的概率 p1=1- ；方法二中，每箱抽不到劣币的概率
11、为 ，5 箱都抽不到劣币的概率为 ，则 5 箱中至少抽到一枚劣币的概率5 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查函数定义域，由 得 x1，故函数的定义域为xx1。6 【正确答案】 C【试题解析】 数学归纳法证明过程如下，当验证 n=1 正确后，假设第 k 项成立，因为为奇数，则 n=2k+1，即假设 n=2k+l(kN)时命题成立，即 x2k+1+y2k+1 能被 x+y整除。7 【正确答案】 C【试题解析】 令第一组和的个数之和为 a1，第二组 和的个数之和为 a2则有：a 1-1=1，a 2-1=2，a 3-1=22，a 4-1=23，a 5-1=24， ，a n-1=2n-1，这 n 个
12、式子左右分别相加得：S n-n=1+2+23+2n-1= =2n-1，故 Sn=2n+n-1，当 n=10 时，S10=210+10-1=1033；当 n=11 时，S 11=211+11-1=2058，显然 S102009S 11，故前2009 个图形中有 10 个圆，选 C。8 【正确答案】 A【试题解析】 由和差角公式可得：sin43cos13-cos43sin13=sin(43-13)=sin30=1 2。9 【正确答案】 A【试题解析】 设等差数列a n的公差为 d，则 a4+a6=2a1+8d=-22+8d=-6，则d=2S n=na1+ 2=n2-12n=(n-6)2-36，当
13、n=6 时，S n 取最小值。10 【正确答案】 A【试题解析】 由题意知，11 【正确答案】 C【试题解析】 cosx=cos(-x)=-cosx ，故 cosx0，所以 x2k+ (kz)，故选 C。12 【正确答案】 A【试题解析】 不相邻问题用插空法，8 名学生先排有 A88 种，产生 9 个空，2 位老师插空有 A92 种排法，所以最终有 A88A 92 种排法。13 【正确答案】 A【试题解析】 先画出可行域，如图 y=ax 必须过图中阴影部分或阴影的边。A 点坐标为(2，9)，a2=9 a=3。a1， 1a3，故选 A。14 【正确答案】 C【试题解析】 若 a0 ，则-a0，l
14、og 2a a1若 a0，则-a0，且 a0。又a0， -1a0。由 可知 a(-1，0)(1 ，+)。15 【正确答案】 A【试题解析】 “f(x)、g(x)均为奇函数” “h(x)为偶函数”，由“h(x)为偶函数”不能推出“f(x)、g(x) 均为奇函数” ，也可能“f(x)、g(x)均为偶函数 ”，因此，“f(x)、g(x)均为奇函数”是“h(x)为偶函数”的充分不必要条件。二、填空题16 【正确答案】 现实性原则，探索性原则17 【正确答案】 知识与技能，过程性18 【正确答案】 (x-1) 2+(y+1)2=9【试题解析】 设圆心为 M(x，y) ，由AB =6 知，圆 M 的半径
15、r=3，则MC=3，即 =3，所以(x-1) 2+(y+1)2=9。19 【正确答案】 4【试题解析】 S= 0sinxdx+ 2sinxdx=2+2=4 。20 【正确答案】 【试题解析】 2 1exlnxdx=1elnxdx2=x2lnx 1e-1ex2d(lnx)三、解答题21 【正确答案】 设 f(x)=ax2+bx+c(a0)。F(0)=0， c=0。f(2)=0，4a+2b=0 ，b=-2a 。 f(x)=ax2-2ax。令 f(x)=0 驻点 x1=0，x 2=2。又 f“(x)=2ax-2a。 f“(0)=-2a0，x=0 为极小值点，f(0)=2 。 f“(2)=2a0，x=
16、2 为极大值点，f(2)=6。f(x)=f(x)dx=(ax 2-2ax)dx= x3-ax2+C，f(x)=-x3+3x2+2。22 【正确答案】 当 n=1 时，a 1=S1=1+C，当 n2 时，a n=Sn-Sn-1=(n2+C)-(n-1)2+C=2n-1。 若 C=0，a n=2n-1，此时 an-an-1=2(n2)，a n为等差数列。若 C0，C+11 ，a n不为等差数列。23 【正确答案】 f(x)=a- ，因为(2 ，f(2) 也在直线 y=3 上，故 f(2)=3，证明：已知函数 y1=x，y 2= 都是奇函数。所以函数 g(x)=x+ 也是奇函数，其图象是以原点为中心
17、的中心对称图形。而 f(x)=x-1+ +1 可知，函数 g(x)的图象按向量 a=(1，1)平移，即得到函数 f(x)的图象，故函数 f(x)的图象是以点(1 ，1)为中心的中心对称图形。24 【正确答案】 在曲线上任取一点(x 0，x 0+ )。令 y=x 得 y=2x0-1，切线与直线 y=x 交点为 (2x0-1，2x 0-1)，直线 x=1 与直线 y=x 的交点为(1，1)。从而所围三角形的面积为 2x 0-2=2。所以，所围三角形的面积为定值 2。25 【正确答案】 当 ABx 轴时，直线 AB 的方程为 x=2p，代入 y2=2px 得y2=4p2，y=2p。所以AB= y 1
18、-y2=4p。显然，满足OQ= AB ，此时 Q、H 重合，所以点 O 在H 上。若直线 AB 与 x 轴不垂直，则直线 AB 的斜率存在，设其斜率为 k，则直线 AB 的方程为 y=k(x-2p)，将 x=-2pk，即 ky 2-2py-4p2k=0。此方程有两不同实根 y1，y 2，所以y1+y2= ，y 1y2=-4p2。 所以 ，O 点在以 AB 为直径的圆上。综上，可知 O 一定在 H 上。26 【正确答案】 由题意 g(x)=3x2-ax+3a-5 令 (x)=(3-x)口+3x 2-5，-1a1 对-1a1，恒有 g(x)0，即 (a)0 故 x(- ，1)时，对满足-1a1 的
19、一切 a 的值，都有 g(x)0。27 【正确答案】 f(x)=3x 2-3m2当 m=0 时，f(x)=x 3-1 的图象与直线 y=3 只有一个公共点；当 m0 时，列表：f(x)=f(x)=-2m 2m-1-1 又f(x)的值域是 R，且在(m，+) 上单调递增当 xm时函数 y=f(x)的图象与直线 y=3 只有一个公共点。当 xm 时，恒有 f(x)f(-m ) 由题意得 f(-m)3 即 2m2m-12m 3-13 解得m(- 综上， m 的取值范围是(-28 【正确答案】 第一阶段是通过直观操作进行说理和简单推理(即操作几何)；第二阶段是在直观操作的推理中渗透逻辑推理(即说理几何
20、)；第三阶段严格的推理论证(即论证几何)，推理是分不同阶段的，逻辑推理是推理的一种，形式化的逻辑论证是在学生已有的操作几何、说理几何非形式化证明的基础上，有时在某个学段中两种几何并存。29 【正确答案】 说课稿与教案不同，说课稿是教学片断的文字呈现，一般会有几个部分，如：说教材、说学情、说教学方法、说教学过程、说教学评价，答题时可按照这几部分分段论述，明确表明观点、逻辑清晰、证据恰当、有理有据。四、案例分析30 【正确答案】 教师遇到学生提出此类问题，应该进行回答，针对此处的具体问题，因为其涉及生活原型与教学模式的关系，所以应从数学上对其进行解释，一方面，式、来源于比赛场次与得分总数 (有单位问题)，另一方面，列成方程后又完全舍弃了原型的物理性质，成为抽象的模式(已经没有单位了，有学生认为单位问题根本就不是数学问题)，x+y=7 可以去刻画任何“两者和为 7”的生活现象而不专属于任一生活现象，方程的加减，是根据方程的理论与方法进行的(消元化归)，这是数学内部的事情(与单位无关)，最后，得出 x=5，y=2 后，才又回到生活中去，给出解释(有单位了) ，也就是说，足球赛的现实原型经过代数运作之后(设未知数，进行四则运算等)，已经凝聚为对象(方程)，经过“建模” 之后的运作已经是数学对象的形式运算了，当中的消元求解过程是化归思想的应用，与现实原型的具体含义无关。
