1、福建省教师公开招聘考试（中学数学）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题1 若向量 a=(x，3)(xR)，则 “x=4”是“ a=5” 的( )。（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件2 若 f(x)=x4+x3+x2+x，则 f(1)=( )。（A）8（B） 9（C） 10（D）113 对于函数 f(x)=2sinxcosx，下列选项中正确的是( )。（A）f(x)在( )上是递增的（B） f(x)的图象关于原点对称（C） f(x)的最小正周期为 2（D）f(x)的最大值为 24 设 l，m 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是 (
2、 )。（A）若 lm，m ，则 l（B）若 l，lm，则 m（C）若 l，m ，则 lm（D）若 l，m，则 lm5 过点(1 ，0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是( )。（A）x-2y-1=0（B） x-2y+1=0（C） 2x+y-2=0（D）x+2y-1=06 已知集合 M=yy=x 2+1，XR ，N=y y=x+1 ，xR，则 MN=( )。（A）(O，1)，(1，2)（B） (0，1)，(1，2)（C） yy=1，或 y=2（D）y y17 函数 y=ln 的图象为 ( )。8 i 是虚数单位， 等于( )。（A）i（B） -i（C） 1（D）-19 ABC 中，点
3、D 在边 AB 上，CD 平分ACB ，若=b，a =1，b=2，则 =( )。10 已知各项均为正数的等比数列a n中，a 1a2a3=5，a 7a8a9=10，则 a4a5a6=( )。（A）5（B） 7（C） 6（D）411 一个空间几何体的主视图、侧视图均是长为 2、高为 3 的矩形，俯视图是直径为2 的圆(如图)，则这个几何体的表面积为( ) 。（A）12+（B） 7（C） 8（D）2012 向量 a=(1，2)，b=(x，1) ，c=a+b，d=a-b，若 cd，则实数 x 的值等于( )。13 如图，矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 的中点，若在矩形 ABCD 内部随机取一
4、个点 Q，则点 Q 取自 AABE 内部的概率等于( )。14 课程标准中提要发展学生的“数感” ，下列不属于课程标准要求的表现的是 ( )。（A）能进行繁杂的运算（B）能理解数的意义（C）能用多种方法表示数（D）能用数来表达和交流15 新课程标准通盘考虑了九年的课程内容，将义务教育阶段的数学课程分为( )个阶段。（A）两个（B）三个（C）四个（D）五个二、填空题16 曲线 在(0，0)处的切线方程为_。17 如图所示，在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中，AC 与 BD 相交于 O，剪去AOB，将剩余部分沿 OC、OD 折叠，使 OA、OB 重合，则以 A、(B)、C、D、O为顶点的四面
5、体的体积为_。18 将直线 l1：nx+y-n=0、 l2：x+ny-n=0(n N*，n2)、x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积记为 Sn，则 Sn=_。19 函数 f(x)= 的单调递减区间为 _。20 已知 cos2=35，则 sin4-cos4的值为_。三、解答题21 在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知的值。22 已知复数 z1 满足(z 1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位)，复数 z2 的虚部为 2，z 1z 2 是实数，求 z2。23 数列a n(nN*)中，a 1=a，a n+1 是函数 fn(x)= (3an+n2)x2+3n2anx 的极小
6、值点。(1)当 a=0 时，求通项 an；(2)是否存在 a，使数列 an是等比数列? 若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由。23 已知椭圆 的方程为 =1(ab0)，A(0，b)、B(0，-b)和 Q(a，0)为 的三个顶点。24 若点 M 满足 ，求点 M 的坐标；25 设直线 l1：y=k 1x+p 交椭圆 于 C、D 两点，交直线 l2：y=k 2x 于点 E，若k1k 2=- ，证明：E 为 CD 的中点；26 设点 P 在椭圆 内且不在 x 轴上，如何作过 PQ 中点 F 的直线 l，使得 l 与椭圆的两个交点 P1、P 2 满足 ?令 a=10，b=5，点 P 的坐标为
7、(-8，-1) ，求直线 l 的方程。26 曲线 2x2+2xy+y2=1 在矩阵 A= (a0) 对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1。27 求实数 a， b 的值。28 求 A2 的逆矩阵。29 数形结合思想是一种重要的数学思想，它的实质就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题用数形结合思想解题能简化推理和运算，具有直观、快捷的优点，请简要谈谈数形结合思想在解哪些类型的问题时可以发挥作用，使问题得到更好的解决。福建省教师公开招聘考试（中学数学）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 若 x=4 x=4 或 x=-4，因此，“x=4” 是
8、“a=5” 的充分而不必要条件。2 【正确答案】 C【试题解析】 若 f(x)=x4+x3+x2+x，则 f(x)=4x3+3x2+2x+1，所以 f(1)=4+3+2+1=10。3 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=2sinxcosx=sin2x ，其增区间为k- kZ，f(x) 是奇函数，其图象关于原点对称，周期为 T= =，f(x) max=1。4 【正确答案】 B【试题解析】 选项 A，由一条直线垂直于一个平面内的一条直线得不到这条直线垂直于这个平面的结论；选项 B，两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；选项 C，一条直线平行于一个平面，得不到这条直线平行
9、于这个平面内任意一条直线的结论；选项 D，两条直线同时平行于同一平面，这两条直线可能平行、相交或异面，故选 B。5 【正确答案】 A【试题解析】 与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程可设为： x-2y+c=0，将点(1，0)代入 x-2y+c=0，解得 c=-1，故直线方程为 x-2y-1=0。6 【正确答案】 D【试题解析】 M=yy=x 2+1，xR)=y y1)，N=yy=x+1 ，xR)=yyR，MN=yy1yyR=yy1。7 【正确答案】 A【试题解析】 由题易知 2x-30，即 x32，排除 C、D 项，当 x32 时，函数为减函数，当 x32 时，函数为增函数，所以选 A。8
10、 【正确答案】 C【试题解析】 9 【正确答案】 B【试题解析】 由角平分线的性质得10 【正确答案】 A【试题解析】 a n是等比数列， ，故 (a4a5a6)2=(a1a2a3)(a 7a8a9)=50，又 an0，a 4a5a6=511 【正确答案】 C【试题解析】 由图知，此几何体是一个圆柱，其高为 3，半径为 1，它的表面积为212+213=8，故选 C。12 【正确答案】 A13 【正确答案】 C【试题解析】 由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为，故选 C。14 【正确答案】 A【试题解析】 数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对
11、大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。A 选项的描述不符合提高学生能力的范畴，属于应试教育的表现，故错误。15 【正确答案】 B【试题解析】 新课程标准将九年的义务教育阶段的数学课程分为 13 学段、46 学段和 79 学段三个阶段。二、填空题16 【正确答案】 y=2x【试题解析】 (-1) t=1=-1，所以 =2，所以切线方程为 y=2x。17 【正确答案】 【试题解析】 翻折后的几何体为底面边长为 4，侧棱长为 2 的正三棱锥，高为所以该四面体的体积为18 【正确答案】 1【试题解析】 设 l1 和 l2 相交于点
12、B，则 B l1：nx+y-n=0 与 x，y 轴的交点为(0 ，n)(1，0) ；l 2：x+ny-n=0 与 x、y 轴的产点为(0，1)(n，0)，则 Sn=19 【正确答案】 【试题解析】 由题意知设 u=tan u 为单调递减函数，则应求函数y=tan20 【正确答案】 【试题解析】 sin 4-cos4=(sin2+cos2)(sin2-cos2)=-cos2=三、解答题21 【正确答案】 由正弦定理，设即(cosA-2cosC)sinB=(2sinC-sinA)cosB ，化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C)。又 A+B+C=，所以 sinC=2sinA。22 【正确答
13、案】 (z 1-2)(1+i)=1-i z1=2-i。设 z2=a+2i，a R，则 z1z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i， z1z2R，4-a=0 ，a=4，z 2=4+2i。23 【正确答案】 易知 fn(x)=x2-(3an+nn)x+3n2an=(x-3an)(x-n2)，令 fn(x)=0，得x1=3an，x 2=n2。若 3an n2，则当 x3a n 时，f n(x)0，f n(x)单调递增；当3anxf n 时，f n(x)0，f n(x)单调递减；当 xn 2 时，f n(x)0，f n(x)单调递增。故 fn(x)在 x=n2 处取得极小值。若 3a
14、nn 2，仿可得，f n(x)在 x=3an 处取得极小值。若 3an=n2，则 fn(x)0，f n(x)无极值。(1)当 a=0 时，a 1=0，则 3a11 2，由知，a 2=12=1。因 3a2=32 2，则由知，a 3=22=4。因为 3a3=123 2，则由知，a4=3a3=34。又因为 3a4=364 2，则由知，a 5=3a4=324。由此猜测：当 n3时，an=43n-3。下面用数学归纳法证明：当 n3时，3a nn 2。事实上，当 n=3 时，由前面的讨论知结论成立。假设当 n=k(k3)时，3a kk 2 成立，则由可得，ak+1=3akk 2，从而 3ak+1-(k+1
15、)23k 2-(k+1)2=2k(k-2)+2k-10，所以 3ak+1(k+1) 2。故当 23时，3a nn 2 成立。于是由知，当 n3时，a n+1=3an，而 a3=4，因此an=43n-3。综上所述，当 a=0 时，a 1=0，a 2=1，a n=43n-3(n3)。(2)存在 a，使数列an是等比数列。事实上，由 知，若对任意的 n，都有 3ann 2，则 an+1=3an，即数列a n是首项为 a，公比为 3 的等比数列，且 an=a3 n-1。而要使 3ann 2，即a3 nn 2 对一切 nN*都成立，只需 a 对一切 nN*都成立。当 a= ，而 3a2=4=22，由知，
16、f 2(x)无极值，不合题意。当时，可得 a1=a，a 2=3a，a 3=4，a 4=12，数列a n不是等比数列。当a=1/3 时，3a=1=1 2，由知，f 1(x)无极值，不合题意。当 a1/3 时，可得a1=a，a 2=1，a 3=4，a 4=12，数列a n不是等比数列。综上所述，存在 a1，使数列an是等比数列，且 a 的取值范围为( ，+)。24 【正确答案】 25 【正确答案】 设 C(x1，y 1)，D(x 2，y 2)，则有：即线段 CD 的中点( )在直线 y=k2x 上，也即直线 l1 与 l2 的交点 E 为线段 CD 的中点。26 【正确答案】 椭圆方程为 =1，Q
17、(10 ，0)，从而线段 PQ 的中点为 F(1，-)，27 【正确答案】 设曲线 2x2+2xy+y2=1 上的点(x，y)在矩阵 A= (a0)对应的变换作用下得到点(x，y)，则 x2+y2=1，(ax)2+(bx+y)2=1， (a2+b2)x2+2bxyy+y2=1。2x 2+2xy+y2=1，a 2+b2=2，2b=2。28 【正确答案】 A2 的逆矩阵为29 【正确答案】 (1)在解方程或解不等式的 1-1 题中，若方程或不等式中的代数式能拆分成一次函数、二次函数、对数函数、指数函数和三角函数等形式，则一般可利用函数的图象直观地使问题获得解决；(2)复数与三角函数概念的建立离不开直角坐标系，因此这些概念含有明显的几何意义，采用数形结合解决此类问题非常直观清晰；(3)二元一次方程，二元二次方程能与直线、二次曲线相对应，用数形结合法解决此类问题，能在解题过程中充分利用平面几何和解析几何的知识，使解题思路更加开阔。
