1、中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 30及答案与解析一、单项选择题1 函数 y=x cosx 的部分图象是( )2 在 x=0 点( )（A）极限存在，且等于 0（B）左、右极限存在，但极限不存在（C）左极限存在，但右极限不存在（D）左极限不存在，但右极限存在3 已知 a1，a 2，a 3，a 4 是四维非零列向量，记 A=(a1，a 2，a 3，a 4)，A *是 A 的伴随矩阵，若齐次方程组 AX=0 的基础解系为(1 ，0，2，0) T，则 A*x=0 的基础解系为( )（A）a 1，a 2（B） a1，a 3（C） a1，a 2，a 3（D）a 2，a 3，a
2、44 样本(x 1，x 2，x n)的平均数为 ，样本(y 1，y 2，y m)的平均数为 。若样本(x 1，x 2，x n，y 1，y 2，y m)的平均数 ，其中0 12，则 n，m 的大小关系为( )（A）nm（B） nm（C） n=m（D）不能确定5 若 1+ i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c=0 的一个复数根，则 ( )（A）b=2，c=3（B） b=2，c=1（C） b=2c= 1（D）b=2，c=36 对于常数 m、n，“mn0”是“ 方程 mx2+ny2=1 的曲线是椭圆” 的( )（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
3、7 在高等代数中，有一个线性变换叫作正交变换，即不改变任意两点的距离的变换。下列变换中不是正交变换的是( )（A）平移变换（B）旋转变换（C）反射变换（D）相似变换8 义务教育数学课程标准(2011 年版)提出，“数感” 感悟的对象是( )（A）数与量、数量关系、口算（B）数与量、数量关系、笔算（C）数与量、数量关系、简便运算（D）数与量、数量关系、运算结果估计二、简答题8 已知 cos=17，cos()=1314，且 0 2，9 求 tan2 的值；10 求 。11 试求通过点 M0(1，0，4)，垂直于平面 H：3x4y+z10=0，且与直线平行的平面方程。12 设矩阵 相似于矩阵 (1)
4、求 a，b 的值；(2)求可逆矩阵P，使 P1 AP 为对角矩阵。13 简要论述义务教育数学课程标准(2011 年版)中关于“课程内容” 中“图形与几何”的主要内容。14 下列框图反映了函数与相关内容之间的关系，请用恰当词语补充完整。三、解答题15 设 f(x)，g(x) 在0 ，1上的导数连续，且 f(0)=0，f(x)0，g(x)0 。 证明：对任何 a0，1，有 0ag(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dxf(a)g(1)。四、论述题15 所谓模型思想，就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象地、概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构。在义务教育阶段数
5、学中，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式及各种图表、图形等都是数学模型。16 请简述义务教育阶段建立和求解模型的过程；17 举一个运用模型思想解决实际问题的实例。五、案例分析题17 某教师关于二元一次方程组的应用的教学过程的各环节设计的习题如下：(1)提出问题，导入新课问题 1：母亲 26 岁结婚，第二年生个儿子，若干年后母亲的年龄是儿子年龄的 3倍，此时母亲的年龄为几岁?解法一：设经过 x 年后，母亲的年龄是儿子年龄的 3 倍。由题意得 26+x=3x。解法二：设母亲的年龄为 x 岁。由题意得 x=3(x26)。(2)精选讲例，探求新知问题 2：某班有 4
6、5 位学生，共有班费 2400 元钱，准备给每位学生订一份报纸。已知作文报的订费为 60 元年，科学报的订费为 50 元年，则订阅两种报纸各多少份?巩固练习：小明和小李两人进行投篮比赛，规则：小明投 3 分球，小李投 2 分球，两人共投中 20 次，经计算两人得分相等，问小李和小明各投中几个球。问题 3：小明和小李两人进行投篮比赛，小明投 3 分球，小李投 2 分球，两人共投中 100 次，小明投中率为 40，小李投中率为 40，经计算两人得分相等，问小李和小明各投中几个球。问题 4：已知某电脑公司有 A 型、B 型、C 型 3 种型号的电脑，其价格分别为 A 型 6000 元台、B 型 40
7、00 元台、C 型 2500 元台，我校计划将 100500 元钱全部用于从该公司购进其中两种不同型号电脑共 36 台，请你设计出几种不同的购买方案供学校采用。小红的方案：她认为可以购进 A 型和 B型电脑，请你判断小红提出的方案是否合理，并通过计算说明。(4)课堂练习，巩固新知练习 1：A、B 两地相距 36 千米，甲从 A 地出发步行到 B 地，乙从 B 地出发步行到 A 地，两人同时出发，4 小时后相遇。若 6 小时后，甲所余路程为乙所余路程的2 倍，求甲乙两人的速度。练习 2：某班借来一批图书，分借给同学阅览，如果每人借 6 本，那么会有一个同学没书可借，如果每人借 5 本，那么还剩
8、5 本书没人借，问该班有多少人，有多少书?(5)拓展练习 3：变式训练问题 4 中，若学校要购买三种型号的电脑，又如何安排?练习 4：某中学新建一栋 4 层的教学大楼，每层楼有 8 间教室，进、出这栋大楼共有 4 道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同。安全检查中，对 4 道门进行测试，当同时开启一道正门和两道侧门时，2 分钟内可以通过 560 名学生，当同时开启一道正门和一道侧门时，4 分钟内可以通过 800 名学生。问平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生；检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低 20，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在 5 分钟内通过
9、这 4 道门安全撤离。假设这栋大楼每间教室最多有 45 名学生，问建造的这 4 道门是否符合安全规定。问题：18 请对上述该老师习题内容的配置进行评析；19 结合新课程理念，针对上述内容给出教学时习题配置的建议。六、教学设计题19 “一元一次方程 ”是学生通过小学学过的算式到方程概念的引入关键性知识点，请就初中“一元一次方程 ”内容回答下列问题。20 该课程需要达到怎样的教学目标。21 本课程的教学重点和难点。22 设计一段教学过程。中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 30答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 函数 y=xcosx 是奇函数，图象不可
10、能是 A 和 C，又当x(0，2)时，y0，故选择 D。2 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=1 且在零点处左右极限不相等，因此在 x=0 处极限不存在。3 【正确答案】 D【试题解析】 AX=0 的基础解系只含有一个向量，所以矩阵 A 的秩为 3，所以 A存在不为 0 的 3 阶子式，即 A*不为 0。所以 r(A*)1，又因为，此时|A|=0，由AA*=|A|E=0，知 r(A)+r(A*)4。知 r(A*)1，所以 r(A*)=1，所以 A*x=0 的基础解系含有三个向量。所以正确答案只可能是 C 和 D，因为(a 1，a 2，a 3，a 4) =0 即a12a 3=0，所以 a1
11、 与 a3 线性相关。而方程组的基本解系必须是线性相关的向量，所以正确答案为 D。4 【正确答案】 A【试题解析】 由统计学知识，可得x1+x2+xn=n ，y 1+y2+ym=m x1+x2+xn+y1+y2+ym=(m+n)所以 故 nm=(m+n) (1)=(m+n)(21)。因为012，所以 210，所以 nm0，即 nm。5 【正确答案】 D【试题解析】 根据实系数方程的根的特点知 1 i 也是该方程的另一个根，所以1+ i+1 i=2=b，即 b=2，(1 i)=3=c，故答案选择 D。6 【正确答案】 B【试题解析】 方程 mx2+ny2=1 的曲线表示椭圆，常数 m，n 的取值
12、为 所以，由 mn0 得不到方程 mx2+ny2=1 的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出 mn0，因而必要，所以答案选择 B。7 【正确答案】 D【试题解析】 相似变化改变两点之间的距离，其余三种变换都不改变任意两点间的距离。8 【正确答案】 D【试题解析】 数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。二、简答题9 【正确答案】 由 cos=17，02 得 sin= 故tan=sincos10 【正确答案】 由 02，得 0 2，又由 cos()=1314，故 sin() 由 =()得 cos=cos()=coscos()+sinctsin()=
13、=12，所以 =3。11 【正确答案】 平面 的法向量 n1=(3，4，1)，直线 l 的方向向量 l=(3，1，2) ，所以所求平面的法向量 n=n1l =9i3j+15k=( 9，3，15)。平面上任意一点 M(x，y，z)，则 =(x+1，y，z4)，由 n 得9(x+1)3y+15(z4)=0 整理得所有平面方程：3x+y 5z+23=0。12 【正确答案】 (1)相似矩阵具有相同的行列式和秩，从而 显然可求得 B 的特征值为 1，1，5，从而 A 的特征值为 1，1，5，当 =1 时，EA从而解得属于特征值 1 的线性无关的特征向量为1=(2， 1，0) T， 2=(3，0，1) T
14、。同理，解得属于特征值 5 的特征向量3=(1， 1， 1)T。13 【正确答案】 “ 图形与几何 ”的主要内容有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；运用坐标描述图形的位置和运动。14 【正确答案】 类比；映射；特殊化。三、解答题15 【正确答案】 设 F(x)=0xg(t)f(t)dt+01f(t)g(t)dtf(x)g(1)， 又 f(x)，g(x)在0，1上的导数连续， 则 F(x)=g(x)f(x)f(x)g(1)=f(x)g(x) g(1)， 由于 x0，1，f(x)0，g(x)0 ， 因此 F(x)0，
15、即 F(x)在0 ，1上单调递减。 注意到 F(1)=01g(t)f(t)dt+01f(t)g(t)dtf(x)g(1) ， 而 01g(t)f(t)dt=01g(t)df(t)=g(t)f(t)|01 01g(t)f(t)dt=f(1)g(1) 01f(t)g(t)dt， 故 F(1)=0。 因此 x0，1，F(x)0， 由此可得，对任何 a0，1，有 0ag(x)f(x)dt+01f(x)g(x)dxf(a)g(1)。四、论述题16 【正确答案】 建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、
16、并讨论结果的意义。17 【正确答案】 举例：某农户想利用一只 135的墙角砌一直角梯形鸡舍，现有一批可砌 10 米长墙的砖块，试问为 BC 何值时才能使鸡舍面积最大。五、案例分析题18 【正确答案】 本课的配题注重从学生亲身经历的活动、学生熟悉的事入手选题，有开放型题、变式题，有数学思想的渗透，从易到难，由浅入深，应该说配题的设置具有一定的挑战性，能够起到激活学生思维的作用。本课的教学容量太大且选题具有一定的难度，对于基础好的学生来说，也很难能在有限的时间内从容地、完整地完成所有的学习任务；对于基础差的学生来说，由于太多的题不会做，课堂的时间等于空耗。由于时间紧，不能给学生留有充分的思考空间和
17、时间，学生对于习题所传达的知识、方法很难理解透彻。所以常常出现习题做了很多，但是再遇见题还是不会做，习题的功能没有发挥。19 【正确答案】 建议：可以结合学生的实际情况，分层次配题。对于基础差的学生，习题的难度再降低一些，使他们会用二元一次方程组解决最基本的实际问题。对于基础好的学生，可以删除(2)(4)两组题，使他们能有更多的时间去探究问题，去迎接挑战。将学生分成不同的学习小组，能力强、弱搭配。在上述习题中选出部分更容易激起学生对数学的兴趣，更适合学生探究的习题，充分发挥习题的功能，使学生在主动学习、探究学习的过程中获得知识，培养能力。对：于“实际问题与二元一次方程组” ，不等同于一般例题内
18、容的教学，而是应该以探究学习的方式完成。教材设置的“数学活动” 及“拓广探索”栏目下的习题等都设置了带有探究性的问题。对于这些内容的教学，应注意鼓励学生积极探究，当学生在探究过程中遇到困难时，教师应启发诱导，设计必要的铺垫，适时地追问，让学生在经过自己的努力克服困难的过程中体验如何探究，而不要替代他们思考，不要过早给出答案。应鼓励探究多种不同的分析问题和解决问题的方法使探究过程活跃起来，在这样的氛围中可以更好地激发学生积极思维，得到更大收获。所以教学中不能盲目地扩大习题量，而是要充分发挥习题的功能，给学生留有充分的思考时间与空间，引导学生更多的参与数学活动和相互交流，在主动学习、探究学习的过程中获得知识，培养能力，使每一位学生都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。六、教学设计题20 【正确答案】 知识与技能：了解一元一次方程等有关概念，体会由算式到方程是数学的一大进步。过程与方法：经历列方程表示实际问题的相等关系的过程，体会数学化的思想方法。通过画示意图、列表格等方法，分析实际问题的数量关系，会用方程表示简单实际问题的相等关系。情感、态度与价值观：结合具体的问题情境，激发学生学习数学的兴趣。结合数学史的知识，激发学生的民族自豪感。21 【正确答案】 教学重点：结合问题情境抽象一元一次方程概念。教学难点：实际问题的数学化过程。22 【正确答案】 教学过程
