1、中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 39及答案与解析一、单项选择题1 在空间直角坐标系下，过点(2，1，一 3)，且以 n=(1，一 2，3)为法向量的平面方程是( ) 。（A）2x+y 一 3z 一 9=0（B） 2x+y 一 3z+9=0（C） x 一 2y+3z 一 9=0（D）x 一 2y+3z+9=02 设函数 f(x)= 在 x=0 处连续，则常数 a 的值为( )。（A）1（B） 2（C） 3（D）43 设 Ikekex2sinxdx(k=1，2 ，3)，则有( )。（A）I kI 3 I2（B） I2I 1I 3（C） I2I 3I 1（D）I 1I 2
2、 I34 已知 1， 2， 3， 4 是四维非零列向量，记 A=(1， 2， 3， 4)，A *是 A 的伴随矩阵，若齐次方程组 AX=0 的基础解系为(1 ，0，一 2，0) T，则 A*x=0 的基础解系为( )。（A） 1， 2（B） 1， 3（C） 1， 2， 3（D） 2， 3， 45 设 A 为 3 阶矩阵，P 为 3 阶可逆矩阵，且 P 一 1AP= ，P=( 1， 2， 3)，Q=(1+2， 2， 3)，则 Q 一 1AQ=( )。6 设随机变量 XN(0，1)，X 的分布函数为 (x)，则 P(|X|2)的值为( )。（A）21 一 (2)（B） 2(2)一 1（C） 2 一
3、 (2)（D）1 一 2(2)7 关于倍立方体问题中最重大的成就是柏拉图学派的( )为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线。（A）梅内赫莫斯（B）泰勒斯（C）欧几里得（D）阿基米德8 义务教育数学课程标准(2011 年版)提出，“数感” 感悟的对象是( ) 。（A）数与数量、数量关系、口算（B）数与数量、数量关系、笔算（C）数与数量、数量关系、简便运算（D）数与数量、数量关系、运算结果估计二、简答题9 求极限10 求解线性方程组11 玻璃杯成箱出售，每箱 20 只，假设各箱含 0、1、2 只残次品的概率分别为08、01 和 0095。一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，顾客开箱随机地
4、察看 4 只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求：(1)顾客买下该箱玻璃杯的概率 p；(2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率 q。12 依据义务教育数学课程标准(2011 年版)教学建议，在数学教学活动中，教师应做好哪几点？13 书面测验是考查学生课程目标达成状况的重要方式，以“二元一次方程组” 一章为例，说明设计数学测验试卷应关注的主要问题。三、解答题14 设 1=(1，一 1，2，4)， 2=(0，3，1，2) ， 3=(3，0，7，14)， 4=(1，一1，2，0) ， 5=(2，1，5，6)。 (1)证明 1， 2 线性无关； (2)把 1， 2 扩充成一极大线性无关
5、组。四、论述题15 什么是空间观念？举例说明(初中内容)在教学中应该怎样培养学生的空间想象能力？五、案例分析题15 下面是“勾股定理 ”一课的课堂教学：第一个环节：探索勾股定理的教学师(出示4 幅图形和表格)：观察、计算各图中正方形 A，B ，C 的面积，完成表格，你有什么发现？生：从表中可以看出 A、B 两个正方形的面积之和等于正方形 C 的面积。并且，从图中可以看出正方形 A、B 的边就是直角三角形的两条直角边，正方形 C 的边就是直角三角形的斜边，根据上面的结果，可以得出结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。第二个环节：证明勾股定理的教学教师给各小组分发制作好的直角三角形和
6、正方形纸片，先分组拼图探究，在交流、展示，让学生在实践探究活动中形成新的能力(试图发现拼图和证明的规律：同一个图形面积用不同的方法表示)。学生展示略第三个环节：运用勾股定理的教学师(出示图形)：图形是由两个正方形组成的图形，能否剪拼为一个面积不变的新的正方形，若能，看谁剪的次数最少。生：可以剪拼成一个面积不变的新的正方形，设原来的两个正方形的边长分别是 a，b，那么它们的面积和就是 a2+b2，由于面积不变，所以新正方形的面积应该是 a2+b2，所以只要是能剪出两个以 a，b 为直角边的直角三角形，把它们重新拼成一个边长为 a2+b2 的正方形就行了。第四个环节：挖掘勾股定理文化价值师：勾股定
7、理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，见数与形密切联系起来。它在培养学生数学计算、数学猜想、数学推断、数学论证和运用数学思想方法解决实际问题中都具有独特的作用。勾股定理最早记载于公元前十一世纪我国古代的周髀算经，在我国古籍九章算术中提出“出入相补” 原理证明勾股定理。在西方勾股定理又被成为“ 毕达哥拉斯定理 ”，是欧式几何的核心定理之一，是平面几何的重要基础，关于勾股定理的证明，吸引了古今中外众多数学家、物理学家、艺术家，甚至美国总统也投入到勾股定理的证明中来。它的发现、证明和应用都蕴涵着丰富的数学人文内涵，希望同学们课后查阅相关资料，了解数学发展的历史和数学家的故事，感受数学的价值和数学精神
8、，欣赏数学的美。问题：16 教学环节一的设计，你有怎样的启发；17 教师引导学生利用图形证明勾股定理的过程，你是否认可？请给出你的看法和依据：18 针对教学环节三、四的设计是否恰当？说说你的看法。六、教学设计题18 教学内容：人教版七年级数学上册第 96 页中的片段：下面的框图表示了解这个方程的流程： 根据上述提供的教学内容，完成下列任务：19 提炼出“解一元一次方程” 的一般步骤：20 预设学生在学习“ 解一元一次方程 ”过程中可能出现的错误，并提出你的矫正策略；21 类比法是数学教学中一种重要的教学方法，请你结合学生学习“解一元一次方程”的经验，设计一个“ 解一元一次不等式 ”的教学片段。
9、中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 39答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 所求平面的法向量为 n=(1，一 2，3)，故可设平面方程为 x 一2y+3z+m=0，代入点(2，1，一 3)，有 2 一 2 一 9+m=0，得 m=9。所以所求平面方程为 x 一 2y+3z+9=0。2 【正确答案】 B【试题解析】 由函数 f(x)在 x=0 处连续，可知 =1，当 x0 时，有asinx0，则 =1，所以 a=2。3 【正确答案】 D【试题解析】 I k=ekex2sinxdx(k=1，2，3)看作以 k 为自变量的函数，则可知Ik=eksink0
10、，k (0，) ，即可知 Ik=ekex2sinxdx(k=1，2，3)关于 k 在(0，) 上为单调增函数，又由于(1，2，3) (0，)，则 I1I 2I 3，故选 D。4 【正确答案】 D【试题解析】 AX=0 的基础解系只含有一个向量，所以矩阵 A 的秩为 3，所以 A存在不为 0 的 3 阶子式，即 A*不为 0。所以 r(A*)1，又因为，此时|A|=0，由AA*=|A|E=0，知 r(A)+r(A*)4。知 r(A*)1，所以 r(A*)=1，所以 A*x=0 的基础解系含有三个向量。所以正确答案只可能是 C 或 D，因为( 1， 2， 3， 4)即 1 一 23=0，所以 1
11、与 3 线性相关。而方程组的基础解系必须是线性无关的向量，所以正确答案为 D。5 【正确答案】 B【试题解析】 6 【正确答案】 A【试题解析】 P(|X|2)=P(X2)+P(X一 2)=1P(X2)+P(X一 2)=1 一 (2)+(一 2)=1 一 (2)+1 一 (2)=21 一 (2)。7 【正确答案】 A【试题解析】 关于倍立方体问题中最重大的成就是柏拉图学派的梅内赫莫斯为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线。8 【正确答案】 D【试题解析】 数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。二、简答题9 【正确答案】 10 【正确答案】 方程组的增广矩阵 通过适当的初等行
12、变换为阶梯形矩阵 解得 x1=一 8，x 2=3，x 3=6，x 4=0。11 【正确答案】 (1)设事件 Ai 表示箱中含有 i 件残次品(i=0，1，2)，则 P(A0)=08， P(A1)=01，P(A 2)=0095，事件 B 表示顾客查看的四只玻璃杯没有残次品，则 P(B|A0)=1，P(B|A 1)=故 q=085。12 【正确答案】 (1)要把基本理念转化为自己的教学行为，处理好教师讲授与学生自主学习的关系，注重启发学生积极思考；(2)发扬教学民主，当好学生数学活动的组织者、引导者、合作者；(3)激发学生的学习潜能，鼓励学生大胆创新与实践；(4)创造性地使用教材，积极开发、利用各
13、种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材；(5)关注学生的个体差异，有效地实施有差异的教学，使每个学生都得到充分的发展；(6)合理地运用现代信息技术，有条件的地区，要尽可能合理、有效地使用计算机和有关软件，提高教学效益。13 【正确答案】 (1)对学生基础知识和基本技能达成情况的评价，必须准确把握课程内容中的要求。学生在学习“二元一次方程组” 这一章的时候应该掌握二元一次方程组的概念，消元法解方程组、二元一次方程组与实际问题、多元一欠方程组的概念。在设计题型的时候，考查的知识点应包括以上知识点，达到全面性，以便宏观了解学生对本章知识的掌握程度。(2)在设计试题时，应关注并体现学生对运算能力、方
14、程思想的理解及应用意识的考查。题型练习多样化，可以设置选择、填空、判断、解答多种形式；试题的难度要有梯度，照顾到不同学习层次的学生，以便了解全体学生对本章知识掌握的程度，指导今后的教学工作。(3)题目设置在检测学生掌握本章知识的基础上，应有对重难点、易错点的考查。比如“代入消元法 ”“加减消元法”。三、解答题14 【正确答案】 (1)由于 1， 2 的对应坐标分量不成比例，因而 1， 2 线性无关。 (2)因为 3=31+2，且由 k 11+k22+k44=0， 可解得 k1=k2=k4=0， 所以 1， 2， 4线性无关。 再令 k 11+k22+k44+k55=0， 代入向量后，由于相应的
15、齐次线性方程组的系数行列式为 0，因为该齐次线性方程组存在非零解，即 1， 2， 4， 5 线性相关，所以 5 可以由 1， 2， 4 线性表出。 所以 1， 2， 4 就是原向量组的一个极大线性无关组。四、论述题15 【正确答案】 空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。(1)让学生学好有关反映空间观念的课程内容和有关空间形式的数学基础知识；如三角形、平行四边形的概念性质等等；(2)从学生的认识规律入手，通过实物或模型的观察、解剖、分析、制作等实践活动，形成学生的空间
16、观念。如平行四边形的判定，先做一个模型得到结论再利用定叉和已学习过的去证明；(3)培养学生看图能力，教给学生正确的画图规律和方法，是培养学生的观察力和空间想象能力的主要途径之一；如对称图形的画法、全等的画法；(4)通过平面图形折叠的教学培养学生的空间想象能力；(5)通过变式教学强化空间观念；(6)通过对多面体和旋转体的侧面展开、组合、切割、运动来提高学生的空间想象能力；(7)加强对几何体截面的教学，提高空间想象能力。五、案例分析题16 【正确答案】 这一环节的设计对我的启发是：这里，教师设计问题情境，让学生探索发现“ 数” 与“形”的密切关联，形成猜想，主动探索结论，训练了学生的归纳推理的能力
17、，数形结合的思想自然得到运用和渗透，“面积法” 也为后面定理的证明做好了铺垫，双基教学寓于学习情境之中。17 【正确答案】 认可。通过小组探究、展示证明方法，让学生把已有的面积计算知识与要证明的代数式联系起来，并试图通过几何意义的理解构造图形，让学生在探求证明方法的过程中深刻理解数学思想方法，提升创新思维能力。18 【正确答案】 第三环节的设置是恰当的，第四环节的设置略有不妥。因为问题是数学的心脏，学习数学的核心就在于提高解决问题的能力。教师在此设置问题不仅是检验勾股定理的灵活运用，更是对勾股定理探究方法和证明思想(数形结合思想、面积割补的方法、转化和化归思想)的综合运用，从而让学生在解决问题
18、中发展创新能力。所以第三环节的设置合理而且具有新意。虽然，新课程三维目标(知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观)从三个维度构建起具有丰富内涵的目标体系，课程运行中的每一个目标都可以与三个维度发生联系，都应该在这三个维度上获得教育价值。第四环节在对学生情感态度与价值观这一目标的提升上有很大的帮助，但是过分繁重，而且在授课过程中会占很大部分的时间，会造成喧宾夺主的情况，所以建议根据课程时间，合理安排这一环节的设置，并且可以多利用业余时间，建议学生自主收集并学习，希望可以达到更好的效果。六、教学设计题19 【正确答案】 “ 解一元一次方程 ”的一般步骤如下： 去分母：方程两边都乘以各分母的最小公
19、倍数；去括号：根据去括号法则和乘法分配律依次去各级括号；移项：将含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边； 合并同类项：将方程化为 ax=b(a0)的形式；系数化为 1：方程两边都除以未知数的系数 a，解得 x=20 【正确答案】 可能出现的错误，原因及解决方法预设 1：去括号时，不能正确运用乘法分配律例 1解方程 3(x+2)=2(x 一 8)错解： 3x+2=2x 一 16 正确解法：3x+6=2x 一 16 错误地方：在应用乘法分配律去 3(x+2)中的括号时，3 没有和 2 相乘。错误原因：不会正确应用乘法分配律，对乘法分配律理解不透，即分配不均。解决办法：复习巩固乘法分配律。预
20、设 2：去括号时，括号前面的负因数中负号没有兼顾例 2解方程 2x=8 一 2(x+3)错解：2x=8 一 2x+6 正确解法：2x=8 一 2x 一 6错误地方：在去括号时，把括号前面的“一” 看成运算符号，把 2 与括号里进行分配，这里的括号应该还没去掉，少了再去括号这一步。错误原因：运算符号和性质符号混淆不清。若把 2 前面的“一” 看成减号，应该先把 2 用乘法分配律进行分配，再按去括号法则去括号；若把“一“ 看成性质符号，在进行乘法分配律时就把一 2 与括号里每一项相乘。解决办法：把 2 前面的“ 一”号看成性质符号，把一 2x 进行分配；分两步，即先把 2 按照乘法分配律进行分配，
21、再根据去括号法则去括号。预设3：去分母时，不含分母的项漏乘例 3解方程 错解：2(5x 一 2)一1=3(4x 一 3)正确解法： 2(5x 一 2)一 6=3(4x 一 3)错误地方：在应用等式的性质时一1 没有和 6 相乘，就是常说的漏乘。错误原因：对等式的性质没有熟练掌握，不能灵活运用。解决办法：复习巩固等式的性质以及乘法分配律的灵活运用。预设 4：去分母时，分子是多项式没有打括号例 4，解方程 错解：方程两边都乘 6 得：9x 一 15 一 4x 一 2=36 正确解：方程两边都乘 6 得：3(3x 一 5)一 2(2x一 1)=36 错误地方：去分母后分子是多项式没有打括号。错误原因
22、：不理解分数线在这里还具有括号的作用，去掉分母后，多项式分子要加括号。解决办法：正确理解分数线的几种作用。预设 5：在化系数为 1 时，被除数和除数位置颠倒例 5解方程 2(3x 一 2)=一 2。错解：去括号得： 6x 一 4=一 2 移项得：6x= 一 2+4 合并同类项得：6x=2 化系数为 1 得：x=3 错误地方：在化系数为 1 时两边同时除以 6，这里的 6 是除数而不是被除数。正确的解是 。错误原因：学生发现 6 正好能被 2 整除，误认为 6 就是被除数；对“在方程两边都除以 6”这句话没有理解。解决办法： 在化系数为 1 时，可以让学生在方程两边都乘未知数系数的倒数。理解被除
23、数和除数的意义和语言表达方式。21 【正确答案】 “ 解一元一次不等式 ”的教学片段设计 (一)创设问题情境，引入新课师：同学们，我们学过一篇课文锯是怎样发明的，你们知道为什么鲁班会发明锯吗？他受到了怎样的启发？师：这种方法就是数学中常说的“类比思想” ，今天这节课我想和大家一起去感受类比思想带给我们的启发。(二)温故而知新 1什么叫一元一次方程？解一元一次方程的基本步骤是什么？只含有一个未知数，未知数的指数是一次，这样的方程叫作一元一次方程。基本步骤是：a去分母；b。去括号；c移项； d合并同类项； e系数化为 1。观察下列不等式： (1)2x 一2515，(2)x875，(3)x4，(4)
24、5+3x240，这些不等式有什么共同特征？ (只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，都是整式)师：大家给它们取个什么名字呢？2一元一次不等式的定义归纳：只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫一元一次不等式。师：下面我们来判断下列不等式是不是一元一次不等式。请大家讨论。小黑板出示：下列不等式是一元一次不等式吗？(1)2x 一 2515，(2)5+3x240(3)x一 4，(4) (5)x20。(1)(2)(3)中的不等式是一元一次不等式，(4)(5)不是。师：好，从上面的讨论中，我们可以得出判断一元一次不等式的条件有三个，即未知数的个数，未知数的次数，且不等式的两边都是整式
25、。请大家理解一元一次不等式的定义。3类比探索一元一次不等式的解法。(1)比一比 口答 x 的 2 倍等于 6，求 x； x 的 2 倍小于 6，求 x。(2) 练习 板演x 的 2 倍加 1 等于 x 的 5 倍加 10，求 x；的 2 倍加 1 不小于 x 的 5 倍加10，求 x。(3)试一试 指名板演 解方程：3 一 x=2x+6解不等式 3 一 x2x+6 学生讨论：解一元一次不等式和解一元一次方程的方法、步骤。4再探解一元一次不等式的一般步骤：例：解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来。解：去分母，得 3(x 一 2)2(7一 x)去括号，得 3x 一 614一 2x 移项，合并同
26、类项，得 5x20两边都除以 5得 x4这个不等式的解集在数轴上表示如下：5解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系。利用解一元一次方程与解一元一次不等式的方法、步骤都类似的结论，一起完成下面的表格(小黑板出示)：看来大家已经对解一元一次不等式的步骤掌握得很好了，请大家判断以下解法是否正确。若不正确，请改正。(小黑板出示)解不等式： 5解：去分母，得一2x+1一 15 移项、合并同类项，得一 2x一 16 两边同时除以一 2，的 x8学生回答，教师重点强调：区别：(1)不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向改变；而方程两边乘以(或除以)同一个负数时，等号不变。(2)一元一次不等式有无限多个解，而一元一次方程只有一个解。(三)课堂练习解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：(1)5x一 10，(2) 一 3x+120，指名板演，学生评价，教师点评。(四)课时小结本节课学习了如下内容：(1)一元一次不等式的定义(2)一元一次不等式的解法(3)解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系(运用类比思想)(五)课后作业(略)
