1、中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 42及答案与解析一、单项选择题1 下列说法与数列极限 an=A 不等价的是( )。2 设矩阵 ，E 为二阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BA=B+2E，则|B|=( )。（A）4（B） 2（C） 0（D）13 方程 一 3z=0 所确定的曲面的名称是( )。（A）椭球面（B）双叶双曲面（C）椭圆抛物面（D）双曲抛物面4 曲线 =1(a0，b0)和两坐标轴所围成的面积是( )。5 设 A，B，A+B，A 一 1+B 一 1 均为 n 阶可逆矩阵，则 (A 一 1B 一 1)一 1=( )。（A）A 一 1+B 一 1（B） A+B（C） A
2、(A+B)一 1B（D）(A+B) 一 16 设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，则随着 的增大，概率 Px 一 |应该( )。（A）单调增大（B）单调减少（C）保持不变（D）增减不变7 意大利数学家( )1897 年曾首先提出了一个关于序数的悖论。（A）菲尔兹（B）克劳福德（C）阿贝尔（D）布拉里福蒂8 下列选项中不属于义务教育数学课程标准(2011 年版)中“统计与概率” 领域学习内容的是( ) 。（A）掌握基本的统计概念：统计图、加权平均数、众数、中位数，平均数、方差，频数、频率、频数分布、频数分布直方图和频数折线图，抽样等（B）了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用（C）能够
3、根据问题的需要，有效地从事收集、整理、描述和分析数据的活动（D）能解释统计数据，根据结果做出简单的判断和预测，并进行交流二、简答题9 求由 y=|lnx|与直线 x= ，x=10 和 x 轴所围成图形的面积。10 设 (1)求|A|；(2)已知线性方程组 AX=b 有无穷多解，求a，并求 AX=b 的通解。11 钥匙掉了，掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上的概率分别是 40、35和25，而掉在上述三处地方被找到的概率分别是 08，03 和 01。试求找到钥匙的概率。12 简述义务教育阶段数学课程标准(2011 年版)的课程性质。13 简述教学过程优化的要求以及教师在教学过程中应怎样实施优化。三、
4、解答题14 如下图所示，设 0a b，函数 f(x)在a，b上连续，在 (a，b)可微且 f(x)0，f(a)=f(b)。设 l 为绕原点 O 可转动的细棍( 射线 )，放手后落在函数 f(x)的图像上并支撑在点 A(，f()上，从直观上看， 证明函数在 处取得最大值，并由此证明(*)式。四、论述题15 结合实例(以初中为例)说明中学生是怎样学习数学概念、数学命题的。五、案例分析题15 在代数式一课的拓展环节有这样一个题目，搭 1 个正方形需要 4 根火柴棒。按图示方式搭 2 个正方形需要几根火柴棒？搭 3 个正方形需要几根火柴棒？搭 10 个正方形需要几根火柴棒？ 100 个正方形呢？你是怎
5、样得到的？如果用 x 表示搭正方形的个数，那么搭 x 个这样的正方形需要多少根火柴棒？与同伴交流。16 试求解第个问题，尽可能有多种解法，并简要分析“ 多样化”的解题策略设计的作用。17 一个好的课堂活动可以促进学生多方面发展。结合本案例，简要论述数学教学中应如何体现新教材学习目标。六、教学设计题17 下面是人教版义务教育数学教科书七年级上册的内容，据此回答下列问题。124 绝对值两辆汽车从同一处 O 出发，分别向东、西方向行驶 10km，到达4，B 两处 (图 12 一 6)。 这里的数 a可以是正数、负数和 0。它们的行驶路线相同吗？它们的行驶路程相等吗？一般地，数轴上表示数 a 的点与原
6、点的距离叫作数 a 的绝对值 (absolutevalue)，记作|a|。例如，图 12 一 6 中 A，B 两点分别表示 10 和一 10，它们与原点的距离都是 10 个单位长度，所以 10 和一 10 的绝对值都是 10，即|10|=10，|一 10|=100 显然|0|=0。由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。即(1)如果 a0，那么|a|=a；(2)如果 a=0，那么|a|=a；(3)如果a0，那么|a|=一 a。1写出下列各数的绝对值：6，一 8，一39， ，100，0。2判断下列说法是否正确：(1)符号相反的数互为相反数；
7、(2)一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右；(3)一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；(4)当 a0 时，|a|总是大于 0。3判断下列各式是否正确：(1)|5|=| 一 5|；(2) 一|5|=|一 5|；(3) 一 5=|一 5|。问题：18 学生学习绝对值这一节内容的知识背景；19 写出这节课的教学重难点；20 设计教学过程。中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 42答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 数列的极限定义 an=A 的本意是：|a n 一 A|可以无限小。选项A、B、C 中的 2( 无限小)， (k 无限大)，
8、100( 无限小)都可以无限小，因此A、B、C 与极限的定义是等价的。当 n 很大时，n 不一定小。因此选 D。2 【正确答案】 B【试题解析】 由 BA=B+2E 得 B(A 一 E)=2E，于是有|B|A 一 E|=4，即=4。所以，|B|=2。3 【正确答案】 C【试题解析】 由抛物面的定义得。4 【正确答案】 D【试题解析】 由 则dx=2atdt。曲线 =1(a0，b 0)和两坐标轴所围成的面积 S=0adx=01b(1 一 t)22atdt=2ab01(t 一 2t2+t3)dt= 。5 【正确答案】 C【试题解析】 (A 一 1+B 一 1)一 1=(A 一 1+B 一 1E)一
9、 1=(A 一 1+B 一 1AA 一 1)一 1=(E+B 一1A)A 一 1一 1=(B 一 1B+B 一 1A)A 一 1一 1=B 一 1(B+A)A 一 1一 1=A(A+B)一 1B。6 【正确答案】 C【试题解析】 因为 P|x 一 |= 1=(1)一 (一 1)=2(1)一 1，该概率与 无关，故保持不变。7 【正确答案】 D【试题解析】 意大利数学家布拉里福蒂 1897 年曾首先提出了一个关于序数的悖论。8 【正确答案】 B【试题解析】 了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用属于高中课程内容的要求，故选 B。二、简答题9 【正确答案】 10 【正确答案】 可知，当要使原线性
10、方程组有无穷多解，则有 1 一 a4=0 及一 a 一 a2=0，可知 a=一1。此时，原线性方程组增广矩阵为 进一步化为行最简形得可知导出组的基础解系为 非齐次方程的特解为 故其通解为 其中 k 是任意实数。11 【正确答案】 事件 B 表示“找到钥匙”，事件 A1 表示“ 钥匙掉在宿舍”，事件 A2表示“钥匙掉在教室 ”，事件 A3 表示“钥匙掉在路上 ”。 P(B)=P(A 1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0408+0350 3+0 2501=045，找到钥匙的概率为 045。12 【正确答案】 义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有
11、基础性、普及性和发展性。数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能；培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践能力：促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。义务教育的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础。13 【正确答案】 (1)教学过程优化的要求：对教学目标的最优化；对教学内容的最优化；教学方法的最优化；习题练习的最优化。(2)实施优化的方法：引导学生将知识转化为能力；积极开展数学探究、相互交流、合作学习的教学方式；淡化形式化的教学，注重应用与创新；注重学生个性和人格健全的发展。三、解答题14 【正确答案】 证明：函数 f(x)在a ，b连续，(a，b)可微，b
12、a 0，则 F(x)=在a，b连续，(a，b)可微。F(x)= ，令 F“(x)=0，则 F(x)在(a， b)存在极值点满足 f(x)x 一 f(x)=0，即为 x=(a，b)是函数 F(x)的极值点，且f()= 又在(a，b)内，f(a)=f(b)=0，且 f(x)0，则 F(a)=F(b)=0，且 F()F(a)=F(b)，所以函数 F(x)= 在 处取得最大值。四、论述题15 【正确答案】 数学概念的学习可分为两种基本形式：概念的形成，概念的同化。(1)概念的形成是通过对概念所反映的事物的不同例子中，让学生积极主动地去发现其本质属性，从而形成新概念，这种获得概念的方式叫概念的形成。如学
13、习函数的单调性的概念可采用如下的步骤：第一，让学生分别指出下列例子中的变量以及变量之间的关系的表达式；以每小时 40 千米匀速行驶的汽车所驶过的路程和时间；用表格所给出的某水库的存水量与水深；由某一天气温变化的曲线所揭示的气温和时间；任何整数的平方运算中，底数与它的二次幂；第二，找出上述各例中两变量之间关系的共同的本质属性。第三，学生以第二步中明确的函数的本质属性为依据，辨别若干正反面的例子。如在任意正数开方运算中，被开方数 x与平方根 y(y= )这里的 x 和 y 两个变量就不是函数关系。第四，在以上几步的基础上，抽象、归类、概括出函数的定义。(2)概念的同化是以定义的形式给出，由学生主动
14、地与自己认识结构中原有的有关概念相互联系，相互作用以领会它的意义，从而获得新概念。如，学习梯形的概念：“梯形是一组对边平行，另一组对边不平行的四边形” 。这时学生要主动积极地与自己认知结构中原貌的概念(如平行四边形的概念)区别开来，并相互贯通组成一个整体，纳入原有的概念体系之中；最后通过例题的学习与练习、习题的解答，加深对梯形本质属性的认识，使它在认知结构中得到巩固。五、案例分析题16 【正确答案】 解法可能有：第一个正方形用 4 根，以后每一个正方形都有 3 根，那么搭 x 个正方形需要4+3(x 一 1)根；上面和下面一排各用了 x 根，竖直方向用了(x+1)根，于是正方形就需要x+x+(
15、x+1)根；把每个正方形都看成 4 根搭成，但除了第一个正方形需要 4 根，其余(x 一 1)个正方形多用了 1 根，应减去，于是得到4x 一(x 一 1)根。策略设计的作用：鼓励学生解题的多样化，这样能够充分体现以学生发展为本，解题过程不局限，把思考的时间和空间留给学生。17 【正确答案】 加强过程性，教学过程以学生为主体，注重过程性目标的生成；增强活动性，学生积极参与其中，促进情感性目标的达成；加强层次性，促进知识技能、思想方法的掌握与提高；加强现实性，学生在学习中，发展的数学应用意识；突出差异性，让所有学生都得到相应的发展等。六、教学设计题18 【正确答案】 学生在学习了有理数、数轴、相
16、反数等概念后，能够用数轴上的点表示有理数，知道数轴上的点到原点的距离，并能比较这些距离的大小，已经具备了一定的数形结合的能力。19 【正确答案】 教学重点：初步理解绝对值的意义； 会求一个有理数的绝对值。教学难点：有理数绝对值概念的形成及运用； 用数形结合的思想理解绝对值的意义。20 【正确答案】 教学过程：一、创设情境，导入新课出示 PPT 让学生观察图片中有两只小狗、一头大象分别距原点多远。设置问题：问题 1：右边这只小狗距原点有多远？左边这只小狗距原点有多远？两只小狗距原点的距离相同吗？问题 2：两只小狗在数轴上对于的数分别是什么？问题 3：大象距原点的距离有多远？它比右边这只小狗距原点
17、远还是近？设计意图：利用动画展示，学生在有趣的问题情境中获取对绝对值概念的感性认识，并激发学生学习的积极性与主动性。二、学习新课，理解概念 1引入绝对值的概念一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫作数 a 的绝对值。记作|a|。2理解绝对值的概念由刚才的图片知道两只小狗所在的位置到原点的距离都是 3，也就是说 3 和一 3 的绝对值都是 3；大象距原点的距离是 4，那么 4 的绝对值就是 4。即 131=3，1 一 31=3，141=4。3给出几对相反数，在课堂上讨论它们的绝对值，然后引发学生思考，互为相反数的数的绝对值有什么关系？结论：互为相反数的两个数的绝对值相等。4让学生两两之间为一组，每人分别写三个正数、三个负数和零，让对方写出这些数的绝对值。观察有什么发现，引导学生总结绝对值的性质。结论：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。三、知识巩固学生自己完成练习 1。大家一起讨论，并提问，完成练习 2，3。四、课堂小结
