1、中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 46及答案与解析一、单项选择题1 函数 与函数（A）定义域相同，值域相同（B）定义域不同，值域不同（C）定义域相同，值域不同（D）定义域不同，值域相同2 直线 l： 与平面 x 一 y+2z+1=0 的夹角 是( )。3 若线性方程组 有唯一解，则( )。（A）A=1（B） 1（C） =2（D）24 下列说法正确的是( )。（A）单调数列必收敛（B）收敛数列必单调（C）有界数列必收敛（D）收敛数列必有界5 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值， 分别为 A 对应于 1， 2 的特征向量，则 ，( )。（A）线性相关（B）线性无
2、关（C）正交（D）平行6 设 P(A)=a， P(B)=b，P(AB)=c ，则 P(A )=( )。（A）a 一 b（B） c 一 b（C） a(1 一 b)（D）c 一 a7 费马对微积分诞生的贡献主要在于其发明的( )。（A）求瞬时速度的方法（B）求切线的方法（C）求极值的方法（D）求体积的方法8 在等腰三角形、平行四边形、椭圆和抛物线四个图形中，是中心对称图形的有( )。（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个二、简答题9 求曲面 x2+2y2+3z2=21 的切平面，使它平行于平面 x+4y+6z=0。10 用克拉默法则解方程组：11 在一次军事演习中，某舟桥连接到命令要
3、赶到某小河 D 岸为进行中的 A 部队架设浮桥。假设舟桥连到达 D 岸的时间服从 7 点到 7 点 30 分这时间段内的均匀分布，架设需要 20 分钟时间，A 部队到达 D 岸的时间服从 7 点 30 分到 8 点这时间段内的均匀分布。且舟桥连的到达时间和 A 部队的到达时间相互独立。求 A 部队到达D 岸时能立即过桥的概率。12 义务教育数学课程标准(2011 年版)中将课程标准中原来的“双基” 改为了“四基”，请简述 “双基”为什么要发展为“四基”。13 以初中数学中“ 圆” 为例，介绍至少三种课堂导入的方法。三、解答题13 已知曲线 L： 其中函数 f(t)具有连续导数，且 f(0)=0
4、，f(t)0(0 t )，若曲线 L 的切线与 x 轴的交点到切点的距离恒为 1。14 求函数 f(t)的表达式。15 求此曲线 L 与 x 轴和 y 轴围成的无边界的区域的面积。四、论述题16 在义务教育各个学段中，义务教育数学课程标准(2011 年版)安排了“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个学习领域，提出发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念、以及应用意识与推理能力。请你结合新课程与新理念，谈谈在初中阶段加强“统计与概率” 教学的必要性与可能性。五、案例分析题16 案例：某同学在求反比例函数 y= ，当 x3 时，求 y 的取值范围时直接将 x3代入 问题：
5、17 该同学的解题过程哪步错了？分析原因；18 针对该生的情况，请你设计一个辅导教学片段，并说明设计意图；19 怎样防范这样的错误呢？六、教学设计题19 初中“反比例函数及其图像” 设定的教学目标如下：理解反比例函数，并能从实际问题中抽象出反比例关系的函数解析式；会画出反比例函数的图像，并结合图像分析总结出反比例函数的性质；渗透数形结合的数学思想及普遍联系的辩证唯物主义思想；体会数学从实践中来又到实际中去的研究、应用过程；培养学生的观察能力，及数学地发现问题，解决问题的能力。完成下列任务：20 根据教学目标，给出至少两个实例，并说明设计意图；21 本节课的教学重点是什么？22 作为初中阶段的基
6、础内容，其难点是什么？23 请设计一个教学导入。24 请设计本节课小结。中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 46答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 函数 的定义域为一 1x1，且 y 不能等于 0；函数的定义域为一 1x1，且当 x=l 时，y=0。所以两函数的定义域和值域都不同。2 【正确答案】 A【试题解析】 直线 l 的方向向量k：(2，4，一 2)，平面的法向量 n=(1，一 1，2)，则 sin=cosm ，n=3 【正确答案】 B【试题解析】 线性方程组有唯一解的充要条件是系数矩阵的行列式不等于 0，即10，所以 1。4 【正确答案】
7、D【试题解析】 由数列n知，选项 A 错误；由数列 知，选项 B 错误；由数列sinn知，选项 C 错误；选项 D 是收敛数列的有界性，正确。5 【正确答案】 C【试题解析】 属于不同特征值的特征向量线性无关。6 【正确答案】 B【试题解析】 P(A )=P(AB 一 B)=P(AB)一 P(B)=c 一 b。7 【正确答案】 C【试题解析】 费马是微积分的先驱者，他在求曲线围成的图形的面积过程中，提出用微分子法求极大、极小的步骤，这是早期微积分的雏形。8 【正确答案】 B【试题解析】 四个图形中，椭圆既是轴对称图形又是中心对称图形，平行四边形是中心对称图形，等腰三角形和抛物线是轴对称图形，所
8、以这四个图形中有 2 个是中心对称图形。二、简答题9 【正确答案】 设曲面上过点(x 0，y 0，z 0)的切平面和平面 x+4y+6z=0 平行。又曲面上过点(x 0，y 0，z 0)的切平面为 2x0(x 一 x0)+4y0(y 一 y0)+6z0(z 一 z0)=0，故，所以 2x0=y0=z0，代入曲面方程得 x02+8x02+12x02=21，所以 x0=1，可见在点(1 ，2，2) 和点(一 1，一 2，一 2)处的切平面与所在平面平行。在点(1，2， 2)处切平面为 x+4y+6z=21，在点(一 1，一 2，一 2)处切平面为 x+4y+6z=一 21。10 【正确答案】 方程
9、组的系数矩阵的行列式 所以可以用克拉默法则，由于所以方程组的唯一解为 x1=d1/d=3，x 2=d2/d=一 4，x 3=d3/d=一 1，x 4=d4/d=1。11 【正确答案】 假设 7 点是零时，记 x，y 分别表示舟桥连与 A 部队到达 D 岸的时间，则 A 部队到达 D 岸时能立即过桥的充要条件是 这是一个几何概型，如图所示，所求概率是12 【正确答案】 在义务教育数学课程标准(2011 年版)中保留了“双基” ，为什么有了双基还不够，还要增加两条，发展为“四基” ？我想到了下面三个理由。第一，因为“ 双基” 仅仅涉及三维目标中的一个目标“知识与技能”。新增加的两条则还涉及三维目标
10、中的另外两个目标“过程与方法” 和“情感态度与价值观”。第二，因为某些教师片面地理解“双基” ，往往在实施中 “以本为本”，见物不见人；而教学必须以人为本，人的因素第一，新增的“数学思想” 和“活动经验”就直接与人相关，也符合“ 素质教育”的理念。第三，因为仅有“ 双基” 还难以培养创新型人才， “双基”是培养创新型人才的一个基础，但创新型人才不能仅靠熟练掌握已有的知识和技能来培养，思维训练和积累经验等也十分重要。13 【正确答案】 (1)直接导入法。老师以简捷、明快的讲述或设问来激起学生的有意注意，诱发探求新知的兴趣。如：教师在黑板上画一个圆师：大家知道黑板上画的什么图形吗？生：圆。师：很好
11、，今天我们一起来学习圆及有关概念。教师板书课题：圆。并在黑板上写下定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆。教师在“定点”“定长”“轨迹” 三词的下面分别写上着重号，并分别加以说明与强调。(2)直观导入法。利用标本、模型、图表、幻灯片和多媒体等引导学生观察，吸引学生的眼球，再从观察中提出问题、创设研究问题的必须情境，学生为解决直观感知中带来的疑问、产生了学习新知识的强烈要求，引发学习的兴趣。如：教师课堂上让学生欣赏关于圆的图片(课件出示)，问：这些物体上都有什么？指名说说。教师：同学们，在一切平面图形中，圆是最美的，圆在生活中随处可见。今天这节课，我们就来认识圆。揭示课题：圆。教师：生活中很多
12、物体的面是圆形的，同学们能说说你们在哪儿看到过圆吗？(设计意图：揭示课题，开门见山，简洁明了。导入部分采用师生、生生对话形式，创设一个宽松、民主的课堂氛围。)(3)情境引入法。教师设置生活情境带学生入情入境，加深对数学概念的理解。如：篮球课上，几位同学在进行投篮比赛，他们的站位如图所示。 问题：你觉得比赛公平吗？为什么？为使比赛公平，你会给体育老师提出什么建议？在学生回答应站成圆形之后，给出问题， 你能帮体育老师画出这个圆吗？教师板演，课件展示。(本环节从学生感兴趣的篮球比赛出发，激发学生的学习兴趣，同时通过学生对原比赛站位的更改，让学生体会到圆上的点到圆心距离相等)三、解答题14 【正确答案
13、】 设切点坐标为(f(t)，cost)，则在该点的斜率为 ，于是切线方程为 y 一 cost= (x 一 f(t)，令 y=0，解得 x= 于是曲线 L 与x 轴的交点坐标为 根据两点之间的距离公式有于是可解得 从而有=(sect 一 cost)dt=lnlsect+tantl 一 sint+C=ln(sect+tant)一sint+C。又 f(0)=0，所以 f(0)=ln(sec0+tan0)一 sin0+C=0，得 C=0，故函数 f(t)=ln(sect+tant)一 sint。15 【正确答案】 根据参数方程面积计算公式有故此曲面 L 与 x 轴和 y 轴所围成的无边界的区域的面积为
14、 。四、论述题16 【正确答案】 (必要性)学习概率与统计知识：是我国科学技术的迅猛发展需要；在各行各业中的应用越来越广泛；具有良好的统计概率观念是每一个公民的基本素质；初步具备对数据的收集、整理描述和分析的能力，了解随机现象发生的可能性大小的规律，已成为时代的要求等。(可能性) 学生已经具备学习的基础：已具有一定的运算能力；大部分知识背景与日常生活有关；学生对计算机已不再陌生；已具有一定的分析能力等。五、案例分析题17 【正确答案】 该同学没有考虑 x0 的情形；18 【正确答案】 教学片段：师：我们知道函数是有定义域的，那么函数 y= 的定义域是什么？生：x 大于 0 或 x 小于 0。师
15、：是的，那么同学可以画出它的图像吗？大家试试。师：当 x3 时 y 的取值范围是什么呢？师：是不是还要考虑 x 小于 0的情形呢？生：是师：那么当 x3 时 y 的取值范围是什么呢？生：y 或y0 师：很好，大家以后解题时一定不要急于求成，而要认真地思考。设计意图：让学生在解关于函数的题型时首先要考虑函数的定义域，在定义域上研究函数。19 【正确答案】 防范这种错误的方法是结合图像，注意反比例函数的图像是两支，在每一个象限内的情形要分开来解决。六、教学设计题20 【正确答案】 实例 1：我们在小学学过反比例关系，例如：当路程 S 一定时，时间 t 与速度 成反比例即 t=S(S 是常数)；当矩
16、形面积 S 一定时，长 a 与宽 b 成反比例，即 ab=S(S 是常数)。从函数的观点看，在运动变化的过程中，有两个变量可以分别看成自变量与函数，写成： (S 是常数 ) (S 是常数)(设计意图：从实际引出反比例函数的概念，方便学生了解)实例 2：列表、描点画出反比例函数的图像(设计意图：由于学生第一次接触反比例函数，无法推测出它的大致图像，取点描图有助于学生深刻的了解反函数图像。)21 【正确答案】 教学重点：结合图像分析总结出反比例函数的性质；22 【正确答案】 教学难点：描点画出反比例函数的图像。23 【正确答案】 教学导入：引出反比例函数的概念：一般地，函数 (k 是常数，k0)叫
17、作反比例函数。如上例，当路程 S 是常数时，时间 t 就是 的反比例函数。当矩形面积 S 是常数时，长 a 是宽 b 的反比例函数。在现实生活中，也有许多反比例关系的例子。可以组织学生进行讨论。一般地反比例函数 (k 是常数，k0)的图像由两条曲线组成，叫作双曲线。观察图像，归纳、总结出反比例函数的性质前面学习了三类基本的初等函数，有了一定的基础，这里可视学生的程度或展开全面的讨论，或在老师的引导下完成知识的学习。显示这两个函数的图像，提出问题：你能从图像上发现有关反比例函数的什么性质呢？并能从解析式或列表中得到论证。24 【正确答案】 小结：本节课我们学习了反比例函数的概念及其图像的性质，大家展开了充分的讨论，对函数的概念、函数的图像的性质有了进一步的认识。数学学习要求我们要深刻地理解，找出事物间的普遍联系和发展规律，能数学地发现问题，并能运用已有的数学知识，给以一定的解释。即数学是世界的一个部分，同时又隐藏在世界中。
