1、中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 9及答案与解析一、单项选择题1 若 tan+ =4，则 sin2=( )。2 观察下列各式：a+b=1，a 2+b2=3，a 3+b3=4，a 4+b4=7，a 5+b5=11，则 a10+b10=( )。（A）28 （B） 76（C） 123 （D）1993 在直角三角形 ABC 中，点 D 是斜边 AB 的中点，点 P 为线段 CD 的中点，则=( )。（A）2 （B） 4（C） 5 （D）104 设 a，b 是两个非零向量，则下面说法正确的是( )。（A）若a+b=a b，则 ab（B）若 ab，则a+b =ab（C）若 a+b
2、=ab，则存在实数 ，使得 a=b（D）若存在实数 ，使得 a=b，则a+b = a b5 有矩阵 A32，B 23，C 33，下列运算正确的是( )。（A）AC （B） ABC（C） ABBC （D）AC+BC6 设函数 f(x)在 x0 处可导，则 =( )。（A）f(x 0) （B） f(x0)（C） f(x0) （D）2f(x 0)7 若 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 可导且 f(a)=f(b)，则( )。（A）至少存在一点 (a，b) ，使得 f()=0（B）一定不存在一点 (a，b)，使得 f()=0 （C）恰存在一点 (a，b)，使得 f()=0（D）对任意的 (a，b)
3、，不一定能使 f()=08 下列不属于义务教育数学课程标准(2011 年版)中初中数学课程“基础性” 内涵的是( )。（A）初中阶段的数学课程中有大量的内容是未来公民在日常生活中必须用到的（B）初中阶段的教育是每一个学生必须经历的基础教育阶段，它将为其后续生存、发展打下必要的基础（C）初中数学课程是为即将结束义务教育阶段的初中学生谋求明日的发展（D）数学课程内容是学生在初中阶段学习其他课程的必要基础二、简答题9 甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从 6 道备选题中一次性抽取 3 道题独立作答，然后由乙回答剩余 3 道题，每人答对其中 2 道题就停止作答，即闯关成功，已知在
4、 6 道备选题中，甲能答对其中的 4 道题，乙答对每道题的概率都是 。 (1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率； (2)设甲答对题目的个数为 ，求 的分布列及数学期望。10 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0) ，方程 f(x)x=0 的两个根 x，x 满足0x 1x 2 。 (1)当 x(0，x 1)时，证明 xf(x)x 1； (2)设函数 f(x)的图象关于直线 x=x0 对称，证明 x0 。11 已知等差数列a n满足： a3=7，a 5+a7=26。a n的前1,项和为 Sn。 (1)求 an 及Sn； (2)令 bn= (nN*)，求数列b n的前 n 项和 Tn。12
5、义务教育数学课程标准(2011 年版)中指出的初中数学课程的基本理念“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的含义是什么?13 简述初中数学新课程教学内容的特点。三、解答题14 已知 A、B、C 是椭圆形： 上的三个点，O 是坐标原点。 (1)当点 B 是W 的右顶点，且四边形 OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点 B 不是 W 的顶点时，判断四边形 OABC 是否可能为菱形，并说明理由。四、论述题15 什么是解题方法多样化?解题方法的多样化有什么作用? 谈谈如何促进解决问题方式的多样化。五、案例分析题16 案例 1：教师：我们以前已经学过了一元一次方程以及二
6、元一次方程组的解法，并简要介绍方法。并在解决许多实际问题的过程中感受到：将相等关系用数学符号抽象后所得到的“ 方程” 确实是一种有效的数学工具，它能让我们的思维过程更加准确和简明! 但是，生活中除了相等的数量关系以外，还存在着大量的不等关系，通过前几节课的学习，我们也已经基本了解了不等式的性质(介绍性质，写在黑板上)和简单不等式的解法(解法在黑板上顺一遍)。今天，就让我们通过一些带有选择“决策”意义的实际问题来共同探讨一下一元一次不等式这种数学模型是如何解决生活中的实际问题的。(介绍新知识) 案例 2：教师在进行数学七年级上册一元一次不等式的应用教学时，在拓展思维环节举出了下面这样一个例题，随
7、着教学过程的深入，很有感想。 例题：在一个双休日，某公司决定组织 48 名员工到附近一水上公园坐船游园，公司先派一个人去了解船只的租金情况，这个人看到的租金价格如下表所示： 请你帮助设计一下：怎样的租船才能使所付租金最少?(严禁超载 ) 师：谁能公布一下自己的设计方案?(学生都在紧张的思考中 )(突然间，教师发现一名平时学习较困难的学生这次第一个举起了手，很惊奇，便马上让他发言了。) 生：我认为可以租大船，可以租小船，也可以大船和小船合租! (这时，教室里哄堂大笑，这位学生顿时有些难堪，想坐下去，教师赶紧制止。) 师：很好!你为他们设计了三种方案。那你能不能再具体为他们计算出租金呢? 生(一下
8、子来劲了) ：如果租大船，则需要船只数为485=96 只，因为不能超载，所以租大船需 10 只，则所付租金要 310=30 元。如果租小船，则需要船只数为 483=16 只，则所付租金要 162=32 元。如果既租大船又租小船(说到这里，该生卡了壳) (教师边认真听，边将他的方案结论板书在黑板上，看见卡了壳，便赶紧答上话) 师：刚才同学真的不错，不但一下子设计了三种方案，还差不多完成了全部租金的计算，我和全班同学都为你今天的表现感到非常高兴(教室里响起一片掌声)。要有勇气展示自己，你今天的表现就非常非常地出色，你今后的表现一定会更出色。好，下面我就让我们一同把剩下的一种方案的租金来完成吧。 (
9、在师生的共同研讨中得出)：设租用 X 只大船，Y 只小船，所付租金为 A 元。则：5X+3Y=48，A=3X+2Y。得到：A= X+32，因为：05X48 且 X 为正整数。所以：X=9 时，A 最小值=29 即租用 9 只大船和 1 只小船时，所付租金最少，最少租金为 29 元。此时有 45 人(59)坐大船，有 3 人坐小船。 师：今天的课程内容还有一项，那就是请同学(示意刚才的同学)谈谈这堂课的感想。 生：以前我不敢发言，我怕说的不对会被同学们笑话，而今天的游船题目恰好是我前几天才去坐过的所以一下子我今天才发现不是这样我今后还会努力发言的 问题：(1)案例 1 中的教学导入形式好吗?说明
10、理由； (2)你认可案例 2 中的教师的教学过程吗? 说明理由。六、教学设计题17 请以“定义与命题 ”为课题，完成下列教学设计。(1)教学目标。 (2)教学重点、难点。(3)教学过程(只要求写出新课导入和新知探究、巩固、应用等)及设计意图。中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 9答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想，因为。2 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查归纳推理的思想方法。观察各等式的右边，它们分别为1，3，4，7，11，发现从第 3 项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右边依次为 1，
11、3，4，7，11，18，29，47，76，123，故 a10+b10=123。3 【正确答案】 D【试题解析】 本题主要考查两点间的距离公式，以及坐标法这一重要的解题方法和数形结合的数学思想。不失一般性，取特殊的等腰直角三角形，不妨令4 【正确答案】 C【试题解析】 利用排除法可得选项 C 是正确的， a+b= ab，则a，b 共线，即存在实数 ，使得 a=b。如选项 A：a+b = ab时，a，b 可为异向的共线向量；选项 B：若 ab，由正方形得 a+b= ab不成立；选项 D：若存在实数 A，使得 a=b，a，b 可为同向的共线向量，此时显然a+b= a一b不成立。5 【正确答案】 B【
12、试题解析】 两个矩阵相乘要求前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相同。矩阵加减要求矩阵要具有相同的行数和列数。所以矩阵 A 和 C 不能相乘，A 错；AB为 33 维的矩阵，BC 为 23 维的矩阵，二者不能做减法运算，所以 C 错；同理D 也错。选项 B 满足要求，故选 B。6 【正确答案】 A【试题解析】 本题主要考查函数 f(x)在 x0 处可导的定义。 故选 A。7 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查罗尔定理。故选 A。8 【正确答案】 C【试题解析】 选项 C 属于初中数学课程“发展性 ”的含义。二、简答题9 【正确答案】 (1)先求甲乙两人都没有闯关成功的概率 P1，甲没有成功即
13、甲抽取的 3 道题里只有一道能答对， ，乙没有闯关成功的概率为。这两个事件是相互独立事件，所以甲乙两人都没有闯关成功的概率 P1=P 甲 P 乙 = ，最后得到甲乙至少有一人闯关成功的概率P=1P1= 。 (2) 的可能取值为 1，2。 =1 ，即甲答对一题，说明甲抽到的三道题只有一道能答对，P(=1)= ； =2，即甲答对两题，说明甲抽到的三道题至少有两道能答对，P(=2)= ， 所以分布列是：10 【正确答案】 (1)f(x) x=ax2+(b1)x+c=a(xx1)(xx2)0， f(x) x1=(f(x)x)+(xx1)=a(xx1)(xx2+ )0。(x (0，x 1) (2)11
14、【正确答案】 (1)设等差数列a n的首项为 a1，公差为 d，由 a3=7，a 5+a7=26，则a1+2d=7，2a 1+10d=26，解得： a 1=3，d=2，故 an=2n+1，S n=n(n+2)。 (2)由an=2n+1，a n21=4n(n+1)，故，所以数列b n的前 n 项和 Tn= 。12 【正确答案】 (1)要实现学生的全面发展。不仅重视知识、技能的掌握及数学能力的培养，还要关注学生的情感、态度、价值观的培养，促使学生身心和谐地发展。(2)要关注全体学生的发展。为所有学生学好数学创造条件，使所有学生都达到义务教育的基本质量要求。(3)应促使学生自主地发展。要鼓励数学学习
15、中的自主探索和合作交流，并且提供使不同的学生在数学上有不同发展的课程空间。13 【正确答案】 (1)教学内容综合化。课程标准不刻意强调追求内容的完整和体系的严谨，而是强调要“ 对人的发展有十分重要的作用” ，强调“知识与技能的学习必须有利于其他目标的实现”。因此，课程设置了四个领域，以更活泼、更灵活、综合化的形式呈现课程内容，更能促进学生一般能力与数学能力的均衡发展。(2)教学内容过程化。数学教学是数学活动的教学，那么“内容” 就是“数学活动的基本线索”。在数学活动中，四个目标都将在主体参与的碰撞和生成活动中形成。(3)教学内容现代化。新课程改变了“ 繁、难、窄、旧” 的现状，建立了更新、宽、
16、实的合理内容体系。三、解答题14 【正确答案】 (1)椭圆 W： +y2=1 的右顶点 B 的坐标为(2，0)。因为四边形OABC 为菱形，所以 AC 与 OB 相互垂直平分。所以可设 A(1，m)，代入椭圆方程得 。所以菱形 OABC 的面积= 。 (2)假设四边形 OABC 为菱形，因为点 B 不是 W 的顶点，且直线 A C 不过原点，所以可设 AC 的方程为 y=kx+m(k0，m0) 由 消去 y 并整理得(1+4k 2)x2+8kmx+4m24=0。 设 A(x1，y 1),C(x2，y 2)，则。 所以 AC 的中点为 。因为 M 为 AC 和 OB 的交点，所以直线 OB 的斜
17、率为 。 因为 k.( )1，所以 AC 与 OB 不垂直。所以 OABC 不是菱形，与假设矛盾。 所以当点 B 不是 W 的顶点时，四边形 OABC 不可能是菱形。四、论述题15 【正确答案】 (1)解题方法多样化是指在问题解决过程中鼓励学生独立思考，鼓励学生用自己的方法解决问题，这样在群体中就出现了多样化的解决方法。因此，解题方法多样化的实质就是指学生独立思考，指群体解题方法的多样化，并非学生个体解题方法多样化。(2)解题方法多样化首先要求学生通过自身的独立思考获得问题解决的方法与策略，可以发展学生的自主学习能力和探究能力，而在其后各自方法的交流中，学生通过对各自方法的比较、汇报，又促进了
18、学生之间的合作与交流。因而解题方法多样化有利于学生转变学习方式。 (3)解题方法多样化要以一定的问题为背景展开。问题的人口要比较宽，问题的解决方法要有利于学生的交流，同时问题的呈现要突出过程性。五、案例分析题16 【正确答案】 (1)案例 1 中教师的教学导入优点也有缺点。优点是一开始提到并复习了上节课的知识，进行了新旧知识间的一个过渡，降低了学生对新知识的认知难度；采取了直接导入的方式，开门见山介绍了本节课的课题，缺点在于没进行合理的情境创设，将知识全盘塞给学生，无法激发学生的兴趣。(2)我觉得案例 2 中的老师的做法是很好的，从这一个学生的举手发言到说得头头是道的“意外 ”中，让教师明白了
19、：学生需要一个能充分展示自我的自由空间，作为老师，我们需要给学生一个自由的民主的氛围，能充分培养学生的自信，使“学困生”也能产生发言的欲望，也能对问题畅所欲言，教师还应能及时捕捉到这一闪光点，给每一位学生都有展示的机会。也就是说要使学生全部积极参与教学，因为它集中体现了现代课程理念：活动、民主、自由。民主是现代课程中的重要理念。民主最直接的体现是在课程实施中学生能够平等地参与。没有主动参与，只有被动接受，就没有民主可言。相反，如果没有民主，学生的参与就不是主动性参与，而是被动的、消极的参与。在课程进行中，教师应形成一种有利于学生主动参与的人际关系氛围。尊重是进行一切活动的前提，只有尊重学生，才
20、能理解学生，才能做到平等，学生才会感到安全，才不会出现有的学生被冷落，被讽刺，甚至被耻笑的现象。在提问时，应设计开放性的问题，如：“ 请你帮助设计一下，怎样租用，才能使所付租金最少?”这样才没有限制学生的思维，给学生创设一个自由的空间，学生在这个空间中可以按自己的方式展开想象，才能畅所欲言。在课堂上，老师应不只关注“ 优等生”，而应平等地对待每一个学生，让学困生”和“学优生”同时享有尊严和拥有一份自信。特别是发现一个学生在举了手时，应及时给“学困生 ”展示的机会，让他们发言，学生在发言中，虽然有时不能把问题完全解决，老师也要充分的肯定这个学生的成绩和能够大胆发言的勇气。六、教学设计题17 【正
21、确答案】 一、教学分析 1教学目标： (1)知识与技能 了解真命题和假命题的概念。 会在简单的情况下判别一个命题的真假。 了解公理和定理的含义。 (2)过程与方法 让学生在命题的判断、真假命题判别、公理定理的认识过程中了解类比、归纳、分类等思维方法。 (3)情感态度与价值观 让学生经历观察、实验、推理等活动，类比、归纳得到真假命题的判别方法，并且在这一过程中获得一些探索数学知识的初步经验，形成基本的数学素养，从而提高他们对数学学习的积极性。2教学重点、难点 教学重点：命题真假的概念和判别。 教学难点：判别命题的真假所涉及推理的方法和表述。 二、教学过程设计 1创设情境 (1)通过学生说身边的广
22、告语入手，并让学生判断下面三条广告语是不是命题。 农夫山泉：“农夫山泉有点甜。” 温迪汉堡包： “牛肉在哪儿?” 滚石乐队： “感觉是真实的。” 从判断广告语是不是命题过渡到数学命题的判断。 (2)判断下列句子中，哪些是命题?哪些不是命题? 在直线 A 曰上任取一点 C。 相等的角是对顶角。 不相交的两条直线叫做平行线。 把判断出来的命题改写成“如果那么” 的形式，并且讲出它们的条件和结论。 让学生从实践中复习上节课命题和定义的概念，归纳命题判断的方法。(板书命题) (设计意图：通过身边的例子让学生了解命题的概念，并通过几个例子让学生明确命题概念。) 2新课引入 思考下列命题的题设(条件)是什
23、么?结论是什么? 并判断是否正确。你的理由是什么 ? (1)边长为 a(a0)的等边三角形的面积为 ； (2)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； (3)对于任何实数 x，x 20。 在上述命题中，学生通过判断哪些命题是正确的，哪些是不正确的，并解析理由，从而自然地获取真命题和假命题的概念。 真命题：正确的命题叫做真命题。 假命题：不正确的命题叫做假命题。 (设计意图：以问题的形式引入新课，给学生思考的空间，让学生自主的参与学习，发挥学生学习的自主性和主动性。) 3巩固新知 下列哪些命题是真命题，哪些是假命题?说说你的理由。 (1)如果两个角相等，那么它们是对顶角；
24、(2)如果 ab，bc，那么 a=c； (3)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；(4)全等三角形的面积相等。 (5) 已知 1 和2 如图所示，则1 2： (6)三角形的两边之和大于第三边； (7)会飞的动物是鸟。 (8) 一条直线截另外两条直线所得到的同位角相等。 在上述真命题的判断和说理的过程中引出什么样的真命题是公理，什么样的真命题是定理。并引导学生纳真假命题判别的方法。 公理：公认为正确的命题叫做公理。 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。 公理举例： (1)两点间线段最短。 (2) 两点就可以确定一条直线。 (3)过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 (4)
25、同位角相等，两直线平行。 (5)两直线平行，同位角相等。 (6)全等三角形的对应角相等，对应边相等。 (7)三角形全等判定的方法：SAS、ASA、 SSS。 公理定理和真命题之间的关系： 判断：所有的真命题都是定理。 所有的命题都是公理。 所有的定理是真命题。 所有的公理是真命题。 由学生再一次总结判断命题真假的方法。 (设计意图：通过练习、学生思考、教师讲解，让学生加深对本节内容的理解和掌握，活跃课堂气氛。) 4探究提高 如图，AB、CD 相交于点 O。给出下列五个论断： A=D；C= B； AC=BD； OC=OB；OA=OD。 以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个命题。 请分别写出一个这样的真命题和假命题。 (设计意图：让学生感知真命题的推理过程，为下节课埋下伏笔。) 5 课堂小结：本节课，你获取了哪些数学知识与方法?(设计意图：通过学生自己、同学间、师生间互动较全面地归纳本节课的收获，使不同程度的学生都能得到不同程度的训练和提高。)
