1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 11及答案与解析一、单项选择题1 已知 F1，F 2 分别是双曲线 C： =1(a0，b 0)的左，右焦点，过点 F2 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点 M，且 F1MF2=90，则双曲线的离心率为( ) 。（A）（B）（C） 2（D）32 点 O 是ABC 所在平面上一点，若 =0，则 AOC 的面积与ABC的面积之比为( ) 。（A）13（B） 23（C） 14（D）123 等于( )。（A）14（B） 12（C） 1（D）24 已知一个命题 P(k)，k=2n(nN)，若 n=1，2，1000 时，P(k
2、)成立，且当n=1000+1 时它也成立，下列判断中，正确的是( )。（A）P(k)对 k=2004 成立（B） P(k)对每一个自然数 k 成立（C） P(k)对每一个正偶数 k 成立（D）P(k)X 寸某些偶数可能不成立5 矩阵 的特征值为( )。（A）3（B） -2（C） 3 或-2（D）2 或-36 设椭圆的两个焦点分别为 F1，F 2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若F1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )。7 “在同一时间内，从同一个方面，对于同一个思维对象，必须作出明确的肯定或否定”是逻辑思维的 ( )。（A）排中律（B）同一律（C）矛盾律（D）充足理由律
3、8 当前中学数学教学改革的三大趋势是( )。（A）大众数学、实用数学、服务性学科（B）大众数学、服务性学科、问题解决（C）实用数学、服务性学科、问题解决（D）问题解决、大众数学、实用数学二、简答题9 已知向量 a=(sin，-2)与 b=(1，cos) 互相垂直，其中 (0，)。求 sin 和 cos 的值。9 如图，ACD 是等边三角形， kABC 是等腰直角三角形，ACB=90，BD 交AC 于 E，AB=2。10 求 cosCBE 的值；11 求 AE。11 已知函数 f(x)=ln(1+x)-x+ x2(k0)。12 当 k=2 时，求曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；
4、13 求 f(x)的单调区间。14 谈谈你对数学新课程所提倡的评价方式与方法的认识。15 数学归纳法能够解决哪一类问题?试用简明的语言说出运用数学归纳法解题的步骤。三、解答题15 已知 a0 ，函数 f(x)=x3-a，x 0，+)，设 x10，记曲线 y=f(x)在点M(x1，f(x 1)处的切线为 l。16 求 l 的方程；17 设 l 与 x 轴的交点为(x 2，0)，求证： x2 x 2x 1。四、论述题18 国内有学者按照引起思考力水平高低将数学课堂教学分成记忆型、解释型、探究型，请问探究型课堂有什么特点?五、案例分析题18 下面是一位同学解一道参数方程试题的解题过程 已知直线 C1
5、： (t为参数)，圆 C2： ( 为参数)。 (1) 当 =/3 时，求 C1 与 C2 的交点坐标； (2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线，垂足为 A，P 为 OA 的中点，当 变化时，求点 P轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。 解(1)由 C1： 消去 得， (x-1) 2+y2=t2， 又圆 C2 的方程为 x2+y2=1， 联立，解得因此曲线 C1 与 C2 的交点(1- )。(2)C1 的普通方程为 xsin-ycos-sin=0。 A 点坐标为(sin 2，-cossin)。 故当 变化时，点 P 轨迹的参数方程为问题：19 请判断该同学的解法是否正确；20 该同学的解法若错误
6、，请分析错因，并给出正确解法；21 指出解决此类问题时应注意的事项。六、教学设计题22 请对“方程的根与函数的零点” 一课的内容进行分析，并对该课的教学目标进行解析。中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 11答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 C2 【正确答案】 C【试题解析】 设 AB 的中点为 D，则 CD 的中点为点 O，所以3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 D【试题解析】 数学归纳法中，假设当 n=k 时成立，证明当=n=k+1 时成立，其中k 不能为一个具体的数字，例如本题题干，这样不能证明命题对所有的自然数 n 都成立，故选 D。5 【
7、正确答案】 C【试题解析】 =(-2)(+1)-4=2-2-4=2-6=(-3)(+2)=0，所以 =3 或=-2。6 【正确答案】 D【试题解析】 设 F1(-c，0)，F 2=(c，0)。因为 F1PF2 为等腰直角三角形，所以PF 1=2 c，PF 2 =2c，由椭圆的定义可得PF 1+ PF 2=2a，即2 c+2c=2a，所以 ，故选 D。7 【正确答案】 A8 【正确答案】 B二、简答题9 【正确答案】 ab，ab=sin-2cos=0 ，即 sin=2cos。又sin2+cos2=1，4cos 2+cos2=1，即 cos2= ， sin2=10 【正确答案】 因为BCD=90+
8、60=150，CB=AC=CD，所以CBE=15，所以cosCBE=cos(45-30)=11 【正确答案】 在ABE 中，AB=2 ，由正弦定理12 【正确答案】 当 k=2 时，f(x)=ln(1+x)-x+x 2，f(x)= -1+2x。由于 f(1)=ln2， f(1)= 所以曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 y=ln2= (x-1)，即 3x-2y+2ln2-3=0。13 【正确答案】 f(x)= ，x(-1 ，+) 。 当 k=0 时，f(x)=- 所以，在区间(-1，0)上，f(x)0；在区间(0，+)上，f(x)0。因此 f(x)的单调递增区间是(-1，0)，
9、单调递减区间是(0 ，+)。故 f(x)的单调递增区间是(-1，+)。14 【正确答案】 (1)新课程所提倡的评价的内容由重结果转向结果与过程的并重，由重认知转向知识、情感、态度、价值观相结合。义务教育数学课程标准指出：“评价要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，要帮助学生认识自我、建立自信。”(2)评价的主体方式由单元化转向多元化。义务教育数学课程标准指出：“评价的主体和方式要多样化” ，改变单一的书面测试模式。(3)评价主体也呈现多元化趋势，不再是单一的教师评价模式。(4)评价结果的出现不再是单纯的分数或等级，采取定量与定性相结合的方式呈
10、现，充分重视学生的个性发展。15 【正确答案】 数学归纳法一般被用于证明某些与正整数 n(n 取无限多个值)有关的数学命题，在证明过程中，要分“两个步骤和一个结论” ，其中第一步是归纳奠基，只需验证 n 取第一个值，n 0(这里 n0 是使结论有意义的最小的正整数，它不一定是1，可以是 2，或取别的正整数)时命题成立；第二步是归纳递推，就是要证明命题的传递性，把第一步的结论和第二步的结论联系起来，才可以断定命题对所有的正整数都成立，因此，用数学归纳法证明命题时，完成了上述两个步骤后，还应该有一个总的结论，否则，还不能算是已经证明完毕，所以，严格地说，用数学归纳法证明命题的完整过程应该是“两个步
11、骤和一个结论” 。三、解答题16 【正确答案】 f(x)=(x 3-a)=3x2， f(x 1)=3x12，切线 l 的方程为 y-f(x1)=f(z1)(x-x1)，即 y-(x13-a)=312(x-x1)。17 【正确答案】 依题意，将 (x2，0) 代入切线方程得 x2=x1-x2-x10， x 2x 1。四、论述题18 【正确答案】 教师有目的地引起新问题情境的认知冲突，促使学生积极投入学习过程，师生共同活动，增强数学观点和做有效的思考，在获得知识方面，重视培养学生对新问题的敏感性，从实际问题中抽象出数学模型或者做出归纳假设，探索新知识，在应用知识方面，则重视对数学内容的扩展，通过推
12、理获得通性通法，或者是通过对数学问题的广泛延伸，使之同时具有对解决问题过程的合理性、完整性、简洁性做出评价和追求的态度。五、案例分析题19 【正确答案】 解法不正确。20 【正确答案】 错因分析：错解中(1)在曲线 C1 中，审题不认真，误把 当成参数，致使求错交点坐标。正确：(1)当 = 时，直线 C1 的普通方程为 y= (x-1)，圆C2 的普通方程为 x2+y2=1， 解得 C1 与 C2 的交点为(1，0)，(2)C1 的普通方程为 xsin-ycos-sin=0，点 A 坐标为(sin 2，-cossin)。故当 的圆。21 【正确答案】 解决此类问题时，应注意：首先弄清参数是谁，
13、代表的几何意义是什么；认真观察方程的表现形式，根据需要相互转化，以便于寻找最佳的化简求解途径。六、教学设计题22 【正确答案】 内容解析：本节课是在学生学习了基本初等函数(I)的基础上，学习函数与方程的第一课时，本节课中通过对二次函数图象的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步探索函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图象，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识，解决方程根的存在性问题，为下一节用二分法求方程的近似解做准备。从教材编写的顺序来看，方程的根与函数的零点是必修 1 第三章函数的应用一章的开始，其目的是使学生学会用二分法求方程近似
14、解的方法，从中体会函数与方程之间的联系，利用函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的，方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想” 和“数形结合的思想”，建立和运用函数模型中蕴含的“数学建模思想 ”，是本章渗透的主要数学思想。从知识的应用价值来看，通过在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体会符号化、模型化的思想，体验从系统的角度去思考局部问题的思想。基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断。目标和目标解析：1通过对二次函数图象的描绘，了解函数零点的概念，渗透由具体到抽象思想，领会函数零点与相应方程实数根之间的关系，2零点知识是陈述性知识，关键不在于学生提出这个概念，而是理解提出零点概念的作用，沟通函数与方程的关系。3通过对现实问题的分析，体会用函数系统的角度去思考方程的思想，理解动与静的辩证关系，掌握函数零点存在性的判断。4在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用。
