1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 13及答案与解析一、单项选择题1 若向量 a=(1，1)，b=(-1，1)，c=(4 ，2) ，则 c=( )。（A）3a+b（B） 3a-b（C） -a+3b（D）a+3b2 3 “sin= ”是“cos2= ”的( )。（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件4 从 5 名志愿者中选派 4 人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有( ) 。（A）120 种（B） 96 种（C） 60 种（D）48 种
2、5 设 是常数，则级数 ( )。（A）一定绝对收敛（B）一定条件收敛（C）一定发散（D）敛散性与 有关6 矩阵 的秩等于( )。（A）1（B） 2（C） 3（D）47 下列哪一项不是确定中学数学教学内容的原则( )。（A）基础性原则（B）可行性原则（C）衔接性原则（D）实际应用原则8 与“无理数 ”成交叉关系的是 ( )。（A）无理数（B）不尽方根（C）无限小数（D）无限循环小数二、简答题9 设 f(x)在点 x=0 的某个领域内二阶可导，且 ，试求：f(0) ，f(0)及 f“(0)的值。10 求不定积分sec 3xdx。11 求 y“-2y+5y=2cos2x 的通解。12 数列是高中数学
3、很重要的内容之一，数列中求通项的问题也是最常见的题型，其形式多样，解法灵活，请谈谈你认为的几种常用的求数列通项的方法13 简述你对数学教学的看法。三、解答题14 设数列 a1， a2，a n，中的每一项都不为 0，证明a n为等差数列的充分必要条件是：对任何 nN*都有四、论述题15 数学以其高度的抽象性、严密的逻辑性以及广泛的应用性，渗透于科学技术以及实际生产、生活的各个领域，数学教育贯彻理论联系实际，最有效、最直接的途径是数学试题的改革，因此高考中出现应用性问题是顺理成章的，但学生在解决应用问题方面仍存在一定的困难，请就“如何培养高中学生应用题的读题能力” 简要谈一下你的看法。五、案例分析
4、题16 已知方程 2sin2x-cosx-a=0 有实数解，求实数 a 的取值范围。 解法一：用方程思想指导解题，把三角方程转化为代数方程求解 令 t=cosx，t-1，1，原方程化为2t2+t+a-2=0，问题转化为“方程 2t2+t+a-2=0 在 t-1，1内至少有一实根，求 a 的取值范围”，由解法二：用函数思想指导解题，原题转化为： 求函数 a=-2t2-t+2，t -1，1的值域，易得-1a 解法三：用数形结合思想指导解题，原题转化为： 直线 y=a 与抛物线y=-2t2-t+2，t -1，1有交点，求 a 的取值范围，易得 -1a 问题：请对上述三种解题方法进行点评，并举例说明运
5、用不同的数学思想解题的规律和方法。六、教学设计题17 已知抛物线的顶点在原点、开口向右、焦点为 F，过焦点 F 且倾斜角等于 45的直线与抛物线相交于 A、B 两点，分别过点 A、B 作准线 l 的垂线，垂足分别是N、M，若四边形 ABMN 的面积等于 16 ，求此抛物线的方程。 若将此问题作为一个教学例题，请你认真阅读下面的教学设计提纲，并简答其中包含的主要数学思想方法、知识要点及新课程理念。 (一)组织学生认真阅读题目，并画出示意图；(二)引导学生提出解决问题的基本思路： 将抛物线方程设为 y2=2px(p0)，然后根据条件求出系数 p。 (三) 让学生对题目信息、进行分析和处理，并写出抛
6、物线 y2=2px 的焦点坐标、准线方程及直线 AB 的方程 y=x- ； (四)引导学生去发现使用条件“四边形 ABMN 的面积等于 16 ”的核心问题是能用 P 表示MN和AN+BM；并注意到AN +BM=AB ； (五)引导学习成绩处于中间层次的学生，在回顾弦长公式的基础上，假设坐标 A(x1，y 1)、B(x2，y 2)，得出MN=y 2-y1，AB = x 2-x1； (六)提出问题：怎样才能求出x 2-x1和y 2-y1? 学生通过讨论总结，让学习较好的同学交流如下求解过程： x1+x2=3p，x 1x 2= AB=4p，MN=2 p。 (七) 让成绩靠后的同学交流求抛物线方程的最
7、后步骤： 将AB=4p ，MN=2 ，得：p=2。 抛物线方程 y2=4x。中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 13答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 3(1，1)-(-1，1)=(4，2)。2 【正确答案】 D3 【正确答案】 A【试题解析】 cos2=1-2sin 2，sin= ，反之，不成立， “sin=”的充分而不必要条件。4 【正确答案】 C【试题解析】 5 人中选 4 人则有 C54 种，周五一人有 C41 种，周六两人则有 C32，周日则有 C11 种，故共有 C54C41C32=60(种)，故选 C。5 【正确答案】 C【试题解析】
8、 因 发散，故选 C。6 【正确答案】 C【试题解析】 因为题干中矩阵为 43 矩阵，则 0r3，该矩阵其中一个 3 阶子式=-320，所以该矩阵的秩为 3。7 【正确答案】 D8 【正确答案】 C二、简答题9 【正确答案】 因为 sinx=x- +o(x3)，f(x)=f(0)+f(0)x+ f(0)x2+o(x2)，所以，由可知所以 1+f(0)=0，f(0)=0， 故 f(0)=-1，f(0)=0，f“(0)=10 【正确答案】 sec 3xdx=secxdtanx=secxtanx-tanxsecxtanxdx=secxtanx-secx(sec2x-1)dx=secxtanx-sec
9、3xdx+secxdx 移项后可得：sec3xdx= lnsecx+tanx+C。11 【正确答案】 齐次方程的特征方程 2-2+5=0 的特征根为： 1=1+2i， 2=1-2i。又因为 2cos2t=cos2t+1，且 =2i 或 0 不是方程的特征根，故可设方程的一个特解为 (x)=Acos2x+Bsin2x+C。 故方程的通解为 y(x)=ex(C1cos2x+C2sin2x)+12 【正确答案】 举例说明，有：叠加法，叠乘法，换元法，倒数法，待定系数法，分类讨论法等，考生可根据自身条件简要说明每种方法适用的情况。13 【正确答案】 数学教学应当以学生的发展为本，教师不应是数学教学活动
10、的“管理者”，而应成为学生数学学习活动的组织者、引导者、参与者，教师的主要职责是向学生提供从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动的机会，为学生的数学学习活动创设一个宽松的氛围，激发学生的求知欲，最大限度地发挥他们数学学习的潜能，让学生在活动中通过“动手实践、自主探索、合作交流、模仿与记忆”等学习方式学习数学，获得对数学的理解，发展自我。三、解答题14 【正确答案】 先证必要性。设数列a n的公差为 d，若 d=0，则所述等式显然成立。若 d0，则 再证充分性。(数学归纳法)设所述的等式对一切 nN*都成立。首先，在等式 两端同乘 a1a2a3，即得 a1+a3=2a2，所以 a1，a
11、 2，a 3 成等差数列，记公差为 d，则 a2=a1+d。假设 ak=a1+(k-1)d，当 n=k+1 时，观察如下两个等式在该式两端同乘 a1akak+1 得， (k-1)ak+1+a0=kd。将 ak=a1+(k-1)d 代入其中，整理，得ak+1=a1+kd。由数学归纳法原理知，对一切 nN*，都有 an=a1+(n-1)d。所以a n是公差为 d 的等差数列。综上所述，a n为等差数列的充分必要条件是：对任何nN*，都有四、论述题15 【正确答案】 读题的过程通常可以分为三步：(1)层次分析(理清主次)；(2)重点攻击(扫除专业术语) ；(3)数据重组(数量关系简单化、数据处理符号
12、化) 。对高中学生应用题读题能力的培养也理应从这三步入手。五、案例分析题16 【正确答案】 上述三种解法比较，解法二、解法三更为简捷、漂亮，它们分别巧妙地运用了函数思想和数形结合思想，充分体现了数学思想对解题过程的指导作用。一般说来，在遇到求参数的范围、求最值、值域等涉及到量的变化时往往用函数思想方法打开思路；在遇到求参数值、求距离、求角、求三角函数值等涉及定量时往往用方程思想解决；遇到绝对值、字母系数等往往要用到分类讨论思想方法来指导解题，其关键是找到分类的起点；遇到超越方程或者难以讨论的函数可以用数形结合思想寻找解题思路；遇到运动变化的问题往往是从函数思想、极限思想或特殊思想考虑；在遇到复杂的式子、否定的叙述、至少至多语句等往往采用等价转化思想进行突破。六、教学设计题17 【正确答案】 该教学设计提纲中包含的主要数学思想方法是数形结合；其涉及的主要知识要点是抛物线的概念、标准方程及几何性质，在该教学设计中主要是使用了分层教学法，其主要体现的是因材施教的新课程理念，学生在认知特点、能力等方面都存在着差异，新课程倡导教师根据学生的具体情况，在设计教学的过程中，正确认识学生的个体差异，提出不同的教学目标和需要掌握的内容，使每个学生都在原有的基础上得到发展。
