1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 14及答案与解析一、单项选择题1 当 x0 时，函数 f(x)=ex-x-1 是函数 g(x)=x2 的( )。（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶无穷小（D）等价无穷小2 设函数 f(x)在点 x0 处可导，且 ，则 f(x0)=( )。（A）-4（B） -2（C） 2（D）43 若点(1 ，-2)是曲线 y=ax3-bx2 的拐点，则( )。（A）a=1 ，b=3（B） a=-3，b=-1（C） a=-1，b=-3（D）a=4 ，b=64 设 z=f(x，y)为由方程 z3-3yz+3x=8 所确定的函数，则 =( )。（A
2、）-1 2（B） 12（C） -2（D）25 如果二重积分 f(x，y)dxdy 可化为二次积分 01dyy+12f(x，y)dx，则积分域 D 可表示为( )。（A）(x，y)0x1，x-1y1（B） (x，y)1x2 ，x-1y1（C） (x，y)0x1 ，x-1y0（D）(x，y)1x2，0yx-16 设 a-i-k，b=2i+3j+k，则 ab=( )。（A）-i-2j+5k（B） -i-j+3k（C） -i-j+5k（D）3i-3j+3k7 设 f(x，y)是连续函数，则 0adx0xf(x，y)dy=( )。（A） 0ady0yf(x，y)dx（B） 0adyyaf(x，y)dx（
3、C） 0ady0yf(x，y)dx（D） 0ady0af(x，y)dx8 行列式 的值为( )。（A）0（B） 24（C） -24（D）12二、简答题9 求由曲线 y=ex，y=e，x=0 所围平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积。10 设 y=y(x)， z=z(x)是由方程 z=xf(x+y)和 F(x，y， z)=0 所确定的函数，其中 f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求11 求 y=2x2+3 在点 P(1，5)和 Q(2，9)处的切线方程。12 概率是对随机现象的统计规律进行研究的数学学科，在研究方法上与以往所学的确定性数学有所不同，学生在初次学习概率时常会感到不适
4、应、理解不透彻，结果导致种种错误。请结合自己的实际分析一下概率学习中常见的错误。13 算法是高中新课程引入的新内容，请你说说算法有哪些教学内容?算法思想是新课程重要思想之一，你在实际课程教学中是如何落实算法思想的?三、解答题13 数列a n(nN*)中，a 1=a，a n+1 是函数 f(x)= (3an+n2)x2+3n2anx 的极小值点。14 当 a=0 时，求通项 an；15 是否存在 a，使数列a n是等比数列?若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由。四、论述题16 圆是解析几何中既简单又重要的基本曲线，请结合你的经验简要谈一下求圆的方程和与圆有关的轨迹方程的基本策略。五、
5、案例分析题17 下面是一位教师对于函数的单调性第一课时的教学设计，请结合课程标准理念及教育理论知识进行点评。 一、情境导入 1通过多媒体播放 2008 年北京奥运会的盛大场景，向学生提出问题：其实，北京奥运会原定于 2008 年 7 月 25 日召开，由于天气原因，2008 年北京奥运会开幕式时间推迟到 8 月 8 日，那么专家是如何推断未知的天气情况的呢?通过课堂交流，可以了解到北京的天气到 8 月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事。2学生观察北京市今年 8 月 8 日一天 24 小时内气温随时间变化的曲线图。引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考提
6、出问题：观察图形，能得到什么信息? 3在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的，大家还能举出生活中其他的数据变化情况吗? 通过三个环节的设置，归纳总结出用函数观点(随着自变量的变化，函数值是变大还是变小)观察图象，看问题，可以帮助我们发现规律，利用规律。 二、归纳探索，形成概念 1复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法，为了研究函数的性质，我们按照列表、描点、连线等步骤分别画出函数 y=x2 和 y3=的图象， y=x2 的图象如图 1，y=x 3 的图象如 图 22引入：引导学生进行分类描述自变量与函数值的变化情况，同时明确函数的单调性是对定义
7、域内某个区间而言的，是函数的局部性质。 3尝试：学生分小组进行探究，尝试概括函数单调性的定义，最后由老师给出确切的增函数的定义，由学生类比增函数的定义给出减函数的定义，师生共同总结出函数单调性的定义以及关于函数单调性的注意事项。 定义：对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x 2，(1)若当 x1x 2 时，都有 f(x1)f(x 2)，则称 f(x)在这个区间上是增函数(如图 3)；(2)若当 x1x 2 时，都有 f(x1)f(x 2)，则称 f(x)在这个区间上是减函数 (如图 4)。说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的有的函数在一些
8、区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数。例如函数 y=x2(图 1)，当 x0，+)时是增函数，当 x(-，0)时是减函数。 三、精练精解，深化理解 例：证明函数 f(x)=3x+2 在 R 上是增函数。 分析解决问题，针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流由不同层次的学生进行板演，教师进行点评，引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论，这里要注意书写的规范性。 证明：设 x1，x 2 是 R 上的任意两个实数，且 x1x 2，则 f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2)，由 x1x 2，得 x1-x20，于是 f(x1)-f(x2
9、)0，即 f(x1)f(x 2)。 f(x)=3x+2 在 R 上是增函数。 四、巩固练习 1课本 P59 练习：1，2 答案：f(x)的单调区间有-2，-1，-1，0，0，1，1，2；f(x)在区间-2 ，-1，0，1上是增函数，在区间-1，0，1，2上是减函数。g(x)的单调区间有-，- 上是增函数。 说明：要了解函数在某一区间是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格地说，它需要根据增(减)函数的定义进行证明，下面举例说明。 2判断函数f(x)= 在(-，0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论。 解设 x1，x 2(-，0)，且 x1x 2， f(x 1)-f(
10、x2)= 由 x1，x 2(-，0)，得 x1x20， 又由x1x 2，得 x2-x10，于是 f(x1)-f(x2)0，即 f(x1)f(x 2)。 f(x)= 在(0，+)上是减函数。 能否说函数 f(x)= 在(-，+)上是减函数? 答：不能因为 x=0 不属于f(x)= 的定义域。 说明：通过观察图象，对函数是否具有某种性质，作出猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法。 五、归纳小结 本节课所学到的知识，证明方法，数学思想。 六、课后作业 1课本第 36 习题 2、4(必做) 2证明：函数 f(x)在区间(a，b)上是增函数的充要条件是对任意
11、的 x，x+h (a，b)，且 h0，有 0。(选做) 【板书设计】 函数的单调性 定义：对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1，x 2，(1)若当 x1x 2 时，都有 f(x1)f(x 2)，则说 f(x)在这个区间上是增函数(如图 3)； (2)若当 x1x 2 时，都有 f(x1)f(x 2)，则说 f(x)在这个区间上是减函数(如图 4)。六、教学设计题18 下面是一位教师对解三角形一课的教学设计，请回答以下问题：本教学设计有什么特点? 这样设计的好处是什么 ? 一、教学目标 1通过对特殊三角形边角间数量关系的探求，发现正弦定理； 2由特殊到一般，从定
12、性到定量，探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、猜想、比较，推导正弦定理； 3培养学生探索数学规律的数学思考能力以及联想与引申的能力。 二、教学内容 本节课程为普通高中课程标准数学教科书数学(必修 5)(人教 A 版)第一章解三角形：“ 正弦定理和余弦定理 ”的第 1 课，本课 “正弦定理”，是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上，通过对三角形边角关系作量化探究，发现并掌握正弦定理(重要的解三角形工具)，解决简单的三角形度量问题，教学过程中，应发挥学生的主动性，通过探索发现、合情推理与演绎证明的过程，提高学生的思辨能力。 三、教学重点与难点 本节课的重点是正弦定理的探索、证
13、明及其基本应用；难点是正弦定理应用中“ 已知两边和其中一边的对角解三角形，判断解的个数” ，以及逻辑思维能力的培养。 四、教学过程 (一)刨设情境 问题 1 在建设水口电站闽江桥时，需预先测量桥长 AB，于是在江边选取一个测量点 C，测得CB=435m，CBA=88 ， BCA=42。由以上数据，能测算出桥长 AB 吗?引出：解三角形已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程。 设计意图：从实际问题出发，引入数学课题。 师：解三角形，需要用到许多三角形的知识，你对三角形中的边角知识知道多少? 生：大角对大边，大边对大角。 师：“ab c ABC”，这是定性地研究三角形中的边角关系，我们能否更
14、深刻地、从定量的角度研究三角形中的边角关系呢? 引出课题：正弦定理 设计意图：从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。 (二)猜想、实验 1发散思维，提出猜想：从定量的角度考查三角形中的边角关系，猜想可能存在哪些关系? 学情预设：此处，学生根据已有知识“abc AB C” ，可能出现以下答案情形，如： aA=b B=cC，asinA=bsinB=c sinC，acosA=bcosB=ccosC，atanA=btanB=ctanC 设计意图：培养学生的发散思维，猜想也是一种数学能力。 2研究特例，提炼猜想
15、：考查等边三角形、特殊直角三角形的边角关系，提炼出 asinA=bsinB=csinC。 3实验验证，完善猜想：这一关系式在任意三角形中是否成立呢? 请学生以量角器、刻度尺、计算器为工具，对一般三角形的上述关系式进行验证，教师用几何画板演示在此基础上，师生一起得出猜想，即在任意三角形中，有 asinA=b sinB=c sinC。 设计意图：着重培养学生对问题的探究意识和动手实践能力。 (三)证明探究 对此猜想，据以上直观考查，我们感情上是完全可以接受的，但数学需要理性思维如何通过严格的数学推理，证明正弦定理呢? 1特殊入手，探究证明： 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨在直
16、角三角形中，角与边的等式关系，在 RtABC 中，设BC=a， AC=b，AB=c，C=90，根据锐角的正弦函数的定义，有，从而在直角三角形ABC 中 2推广拓展，探究证明： 问题 2 在锐角三角形 ABC 中，如何构造、表示“a 与 sinA、b 与 sinB”的关系呢? 探究 1 能否构造直角三角形，将未知问题化归为已知问题呢? 学情预设：此处，学生可能出现以下答案情形学生对直角三角形中证明定理的方法记忆犹新，可能通过以下三种方法构造直角三角形。 生 1：如图 1，过 C 作 BC 边上的垂线 CD，交 BA 的延长线于 D，得到直角三角形 DBC。 生 2：如图 2，过 A 作 BC 边
17、上的高线 AD，化归为两个直角三角形问题。 生 3：如图 3，分别过 B、C 作 AB、AC 边上的垂线，交于 D，连接 AD，也得到两个直角三角形 经过师生讨论指出：方法 2，简单明了，容易得到“c与 sinC、6 与 sinB“的关系式。 知识链接：根据化归这一解决数学问题的重要思想方法，把锐角三角形中正弦定理的证明归结为直角三角形问题是顺理成章的，而方法 3 将把问题延伸到四点共圆，深究下去，可得 ，对此，可留做课后思考解决。 探究 2 能否引入向量，归结为向量运算? (1) 图 2 中蕴涵哪些向量关系式? 学生探究，师生、生生之间交流讨论，得 (这三个式子本质上是相同的)， 等。 (2
18、)如何将向量关系转化为数量关系?(施以什么运算?) 生：施以数量积运算。 (3)可取与哪些向量的数量积运算? 学情预设：此处，学生可能会做如下种种尝试，如两边自乘平方、两边同时点乘向量 ，均无法如愿此时引导学生两边同时点乘向量 ，并说出理由：数量积运算产生余弦，垂直则实现了余弦与正弦的转换。 探究 3 能否引入向量的坐标形式，把向量关系转化为代数运算? (1)如图 4，建立直角坐标系，可得：A(0 ，0)，B(c，0)，C(bcosA，bsinA)。 (2)向量 的坐标? (3)哪一点的坐标与向量 的坐标相同?由三角函数的定义，该点的坐标又为多少? 根据平行四边形法则，D(acos(180-B
19、) ，asin(180-B)，从而建立等量关系：bcosA-c=acos(180-B)，bsinA=asin(180-B)，整理，得：c=bcosA+acosB( 这其实是射影定理)，asinA=bsinB ，同理可得asinA=csinC 。 知识链接：向量，融数与形于一体，是重要的数学工具，我们可以通过向量的运算来描述和研究几何元素之间的关系(如角与距离等)，这里学生已经学过向量，可根据学生素质情况决定是否采用探究 2 与 3。 问题 3 钝角三角形中如何推导正弦定理?(留做课后作业) (四)理解定理、基本应用 1正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 问题 4 定理结
20、构上有什么特征，有哪些变形式? (1) 从结构看：各边与其对角的正弦严格对应，成正比例，体现了数学的和谐美； (2)从方程的观点看：每个方程含有四个量，知三求一，从而知正弦定理的基本作用为： 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 a= 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 sinA= sinB。 2例题分析 例 1 在 ABC 中，已知 A=320 ，B=818，a=429cm ，解三角形。 评述：定理的直接应用，对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 例 2 在ABC 中，已知 a=20cm，b=28cm，A=40，解三角形(角度精确到 1，边长精确到 1cm
21、)。 评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。 课后思考：已知三角形的两边一角，这个三角形能唯一确定吗? 为什么 ? 3课堂练习 (1)引题( 问题 1) (2)在 ABC 中，sinAsinB 是 AB 的( )。 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 设计意图：设计两个课堂练习，练习(1)目的是首尾呼应、学以致用；练习(2)则是将正弦定理、简易逻辑与平面几何知识整合，及时巩固定理，运用定理。 ( 五)课堂小结 问题 5 请同学们用一句话表述学习本课的收获和感受。 生 1：原来我只会解直角三角形，现在我会解一般三角形了。 师：通过本
22、课学习，你发现自己更强大了。 生 2：原来我以为正弦定理的证明，只有书上一种方法，今天我们学到了课本以外的众多方法。 师：我们学习过两个重要数学工具，即三角函数与平面向量，正弦定理的证明充分展示了它们的妙用。 生 3：公式很美。 师：美在哪里? 生 3：体现了公式的对称美，和谐美 在同学们的热烈讨论的基础上，用课件展示小结： 1在正弦定理的发现及其证明中，蕴涵了丰富的思想方法，既有由特殊到一般的归纳思想，又有严格的演绎推理在定理证明中我们从直观几何角度、向量运算角度探求了数学工具的多样性。 2正弦定理反映了边与其对角正弦成正比的规律，据此，可以用角的正弦替代对边，具有美学价值。 3利用正弦定理
23、解决三类三角形问题： (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角。(2)已知两边和其中 _边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角。 (3)实现边与角的正弦的互化。 设计意图：通常，课堂小结均由老师和盘托出，学生接受现成的结论本设计充分发挥学生思靠参与主动性和创造性，师生合作，让课堂小结成为点睛之笔。 ( 六)作业布置 1书面作业；P10 习题 11 ，1、2 2研究类作业： (1)在钝角三角形中探求证明定理的不同方法。 (2)在ABC 中，研究 k 的几何意义。 (3)已知三角形的两边一角，这个三角形能唯一确定吗? 设计意图：对问题 (3)，根据分散难点、循序渐进原则，在例 2 中初步涉
24、及，在课后让学生先行思考，在“正、余弦定理” 第三课时中予以下图的剖析阐述。 已知边，ab 和 A，中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 14答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 ，所以当 x0 时，函数 f(x)=ex-x-1 是函数 g(x)=x2 的同阶无穷小，故本题应选 C。2 【正确答案】 B【试题解析】 因为=-2f(x0)=4，行以f(x0)=-2，故本题应选 B。3 【正确答案】 A【试题解析】 由题意可得 故本题应选 A。4 【正确答案】 B【试题解析】 将 x=0，y=0 代入方程 z3-3yz+3x=8，解得 z=2，令 F
25、(x，y，z)=z 3-3yz+3x-8，则 Fy=-3z，F z=3z2-3y，于是故本题应选 B。5 【正确答案】 D【试题解析】 由 01dyy+12f(x，y)dx 可知 故本题应选 D。6 【正确答案】 D【试题解析】 由 ab= =3i-3j+3k。7 【正确答案】 B【试题解析】 解题关键是先由所给的二次积分的积分限确定积分区域 D(本题积分区域为 x 轴，y=x 以及 x=a 确定的三角形区域)，然后再化为先对 x 积分后对 y积分的二次积分，故应选 B。8 【正确答案】 B【试题解析】 行列式的值为 =24。二、简答题9 【正确答案】 (1)画出平面图形(如下所示) 。(2)
26、10 【正确答案】 分别在 z=xf(x+y)和 F(x，y，z)=0 的两端对 x 求导，得整理后得 由此解得(Ey+xfFz0)。11 【正确答案】 y=2x 2+3， y=4x，y x=1=4，即过点 P 的切线的斜率为 4，故切线方程为：y=4x+1设过点 Q 的切线的切点为 T(x0，y 0)，则切线的斜率为4x0，又 kTQ= ，故 =4x0，2x 02-8x0+6=0， x0=1 或 x0=3，即切线 QT 的斜率为 4 或 12，从而过点 Q 的切线方程为：y=4x+1，y=12x-15。12 【正确答案】 (1)对古典概型理解不清致错；(2)对互斥事件、独立事件判断不明致错；
27、(3)处理至多、至少问题时方法不当致错；(4)对有序、无序判断不准致错。13 【正确答案】 算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础，算法思想已成为现代人应具备的一种数学素养，在这一模块中，学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体教学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用；通过模仿，操作，探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程，体会算法的基本思想及算法的重要性和有效性，发展有条理地思考与表达的能力，提高逻辑思维能力。教师在教学过程中，要强调理论与实践的结合，引导学生注意寻找、发现身边的实际问题，进而设计出算法和计算机程序去解决这些问题，教师要注意发现对程序设
28、计有特殊才能的学生，根据具体情况为他们提供充分的发展空间。三、解答题14 【正确答案】 易知 fn(x)=x2-(3an+n2)x+3n2an=(x-3an)(x-n2)。令 fn(x)=0，得x1=3an，x 2=n2。 若 3ann 2，则当 x3a n 时，f n(x)0，f n(x)单调递增； 当3anxn 2 时， fn(x)0，f n(x)单调递减； 当 xn 2 时，f(x) 0，f n(x)单调递增。 故 fn(x)在 x=n2 处取得极小值。 若 3ann 2，仿可得，f n(x)在 x=3an 处取得极小值。 若 3an=n2，则 fn(x)0，f n(x)无极值。 当 a
29、=0 时，a 1=0，则 3a11 2，由知，a 2=12=1。 因 3a2=32 2，则由知，a 3=22=4。 因为 3a3=123 2，则由知，a4=3a3=34。 又因为 3a4=364 2，则由知，a 5=3a4=324。 由此猜测：当 n3 时，an=43n-3。 下面用数学归纳法证明：当 n3 时，3a nn 2。 事实上，当 n=3 时，由前面的讨论知结论成立。 假设当 n=k(k3)时，3a kk 2 成立，则由可得，ak+1=3akk 2，从而 3ak+1=(k+1)23k 2-(k+1)2=2k(k-2)+2k-10，所以 3ak+1(k+1)2。 故当 n3 时，3a
30、nn 2 成立。 于是由知，当 n3 时，a n+1=3an，而 a3=4，因此an=43n-3。 综上所述，当 a=0 时，a 1=0，a 2=1，a n=43n-3(n3)。15 【正确答案】 存在 a，使数列 an是等比数列。事实上，由知，若对任意的n，都有 3an n2，则 an+1=3an，即数列a n是首项为 a，公比为 3 的等比数列，且an=a3n-1。而要使 3ann 2，即 a3 nn 2 对一切 nN*都成立，只需 a 对一切nN*都成立。当 时，可得 a1=a，a 2=3a，a 3=4，a 4=12，数列a n不是等比数列。当a= 时，3a=1=1 2，由知，f 1(x
31、)无极值，不合题意。当 a 时，可得a1=a，a 2=1，a 3=4，a 4=12，数列a n不是等比数列。综上所述，存在 a 使数列an是等比数列，且 a 的取值范围为( ，+)。四、论述题16 【正确答案】 (1)对于圆的方程的确定，基本策略是：根据题意分析出所求圆的方程属于哪种形式(标准式、一般式或其他形式)；利用待定系数法建立关于待定系数的方程(组) ；解出待定系数，确定所求方程；(2)对于与圆有关的轨迹方程问题，基本策略是：分析动点运动的规律，将其坐标化；列方程 (组)求解；应注意合理选择方法 (定义法、参数法、向量法等)，并检验所得方程是否满足题意。五、案例分析题17 【正确答案】
32、 函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法依据,对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：(1)要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；(2)单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的，根据以上的分析和课程标准的要求，确定本节课的重点和难点。该教学设计在教学活动中突出了重点、突破了难点，实现了既定的教学目标，在导入环节，设置了问题情境，并且从时事热点入手，在激发了学生的
33、学习兴趣的同时，也让学生体会到数学在实际生活中的应用，在探索概念阶段，让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识，使得学生对概念的认识不断深入,在巩固新知阶段，通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤；在作业环节，考虑到不同学生的差异性，设置分层次作业，在加深对定义的理解的同时，也为用导数研究单调性埋下伏笔，整体而言，这篇教案结构完整，层次鲜明，体现了“学生为主体，教师为主导”的新课标理念。六、教学设计题18 【正确答案】 首先，本课以问题解决为中心，通过提出问题、完善问题、解决问题、拓展问题，采用实验探究、自主学习的研究性学习方式，重点放在定理的形成与证明的探究上，努力挖掘定理教学中蕴含的思维价值，培养学生的思辨能力，改变了定理教学中简陋的处理方式，其次，本课设计充分预设各种课堂生成，尽量满足不同思维层次学生的需求，再次，本课设计既讲类比联想，又讲逻辑推理，让学生知其然，知其所以然，最后，本课设计来源于生活实际，又回到生活中，强调了数学应用意识。
