1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 17及答案与解析一、单项选择题1 函数 y=ln 的图象为 ( )。2 i 是虚数单位， 等于( )。（A）i（B） -i（C） 1（D）-13 ABC 扣，点 D 在边 AB 上，CD 平分ACB 。若=b，a =1，b=2，则 =( )。4 已知各项均为正数的等比数列a n中，a 1a2a3=5， a7a8a9=10，则 a4a5a6=( )。（A）5（B） 7（C） 6（D）45 一个空间几何体的主视图、侧视图均是长为 2、高为 3 的矩形，俯视图是直径为2 的圆(如图)，则这个几何体的表面积为( ) 。（A）12+（B） 7（
2、C） 8（D）206 向量 a=(1，2)，b=(x，1) ，c=a+b，d=a-b，若 cd，则实数 x 的值等于( )。（A）12（B） -12（C） 16（D）-1 67 如图，矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 的中点，若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q，则点 Q 取自kABE 内部的概率等于( )。8 课程标准中提出要发展学生的“数感” ，下列不属于课程标准要求的表现的是 ( )。（A）能进行繁杂的运算 （B）能理解数的意义（C）能用多种方法表示数 （D）能用数来表达和交流二、简答题9 设 f(x)的导数 f(x)的图象为过原点和点(2，0)的抛物线，开口向下，且 f(x)
3、的极小值为 2，极大值为 6，求 f(x)。10 已知数列a n的前 n 项和为 Sn=n2=+C(C 为常数)，求数列a n的通项公式，并判断a n是不是等差数列。11 设函数 z=f(x，xy)+(x 2+y2)，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 具有二阶连续导数，求12 如何处理操作几何、说理几何与逻辑几何之间的关系?13 数学归纳法体现的核心思想是什么?三、解答题14 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 p1 和 p2，销量分别为q1 和 q2， 需求函数分别为 q1=24-02p 1，q 2=10-005p 2；总成本函数为C=35+40(q1+q2)。 试问：
4、厂家如何确定两个市场的售价，使其所获总利润最大?四、论述题15 请结合实际，简要谈谈你对数学素质的看法。五、案例分析题15 案例： 上课始，教师用几何画板任意画了一个锐角，提出问题 1：“任意画一个锐角 a，借助三角板，找出 sin，cos ，tan 的近似值。” 然后走进学生中间，观察他们的学习行为，结果发现，有一部分同学画出角之后，一片茫然。教师又不愿意把结果告诉学生，提示同桌的两位同学可以商量一下，并提示完成的同学举手示意，以便教师了解情况，结果举手的人很少。之后，教师提问一位举手的学生，问：“你是怎么做的 ?”她要求上黑板，教师非常赞成。她在黑板上画出一个直角三角形，并不熟练地写出一个
5、锐角的正弦是它的对边比斜边以及余弦、正切等三个三角函数。之后，教师又与学生讨论了问题 2：能否把某条线段画成单位长，有些三角函数值不用计算就可以得到? 学生比较一致认为把斜边长画成单位长比较好，为“ 单位圆定义法”做必要的铺垫，接着讨论问题 3：锐角三角函数 sin 作为一个函数，自变量以及与之对应的函数值分别是什么?在教师类比正方形的面积 s=a2 的提示下，学生说出锐角三角函数中自变量以及与之对应的函数值分别是角、比值，最后讨论问题4：你产生过这个疑问吗：“三角函数只有这三个?”有学生举手，表示想过这个问题，应该是六个，另外三个可以把现有的三个倒一下得到，至此，时间已经过去 20 多分钟。
6、 问题：16 案例中教师上课过程出现了问题，请说出问题出在哪里?17 针对该教师的问题，你认为他该怎么改进教学。六、教学设计题18 请对高中数学“ 随机抽样 ”一课进行教学设计。中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 17答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 由题易知 2x-30，即 x ，排除 C、D 项，当 x 时，函数为减函数，当 x 时，函数为增函数，所以选 A。2 【正确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 B【试题解析】 由角平分线的性质得4 【正确答案】 A【试题解析】 a n是等比数列， ，故(a 4a5a6)2=(a1a2a3)。(
7、a 7a8a9)=50，又 an0，a 4a5a6=55 【正确答案】 C【试题解析】 由图知，此几何体是一个圆柱，其高为 3，半径为 1，它的表面积为212+213=8，故选 C。6 【正确答案】 A7 【正确答案】 C【试题解析】 由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为 P=，故选 C。8 【正确答案】 A【试题解析】 数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释，A 选项的描述不符合提高学生能力的范畴，属于应试教育的表现，故错误。二、简答题
8、9 【正确答案】 设 f(x)=ax2+bx+c(a0)。f(0)=0，c=0。f(2)=0，4a+2b=0 ，b=-2a 。 f(x)=ax2-2ax。令 f(x)=0 驻点 x1=0，x 2=2。又 f“(x)=2ax-2a。 f“(0)=-2a0，x=0 为极小值点，f(0)=2 。 f“(2)=2a0，x=2 为极大值点，f(2)=6。f(x)=f(x)dx=(ax 2-2ax)dx= x3-ax2+C，f(x)=-x3+3x2+2。10 【正确答案】 当 n=1 时，a 1=S1=1+C；当 n2 时，a n=Sn-Sn-1=(n2+C)-(n-1)2+C=2n-1。所以 an= 若
9、 C=0，a n=2n-1，此时 an-an-1=2(n2)，a n为等差数列。若 C0，C+11 ，a n不为等差数列。11 【正确答案】 =f1+f2y+2x， =xf“12+f2+xyf“22+4x“。12 【正确答案】 第一阶段是通过直观操作进行说理和简单推理(即操作几何)；第二阶段是在直观操作的推理中渗透逻辑推理(即说理几何)；第三阶段严格的推理论证(即论证几何) 。推理是分不同阶段的，逻辑推理是推理的一种，形式化的逻辑论证是在学生已有的操作几何、说理几何非形式化证明的基础上，有时在某个学段中两种几何并存。13 【正确答案】 数学归纳法是一种完全归纳法，它是在可靠的基础上，利用命题自
10、身具有的传递性，运用“有限” 的手段，来解决“无限”的问题，它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷，其蕴含的数学思想方法有归纳的思想，递推的思想，特殊到一般的思想，有限到无限的思想方法等。三、解答题14 【正确答案】 由已知条件可知：收益函数为 R(p1，p 2)=p1q1+p2q2=24p1-02p 12+10p2-005p 22，利润函数为 L(p1，p 2)=R(p1，p 2)-C(p1，p 2)=32p1-02p 12+12p2-005p 22-1395， 得出唯一的驻点为 p1=80，p 2=
11、120。根据问题的实际意义，L 存在最大值，(80，120)是 L的最大值点。两个市场的售价分别为 80 和 120 时，可获最大利润，最大利润L(80，120)=605。四、论述题15 【正确答案】 (1)数学素质是在热爱数学、欣赏数学的基础上产生的对数学的理解能力和应用能力；(2)评价一个人的数学素质的高低，不仅仅是从他数学考试成绩上推断，更重要的衡量标准应该是他是否能够在日常生活中准确、灵活地运用数学知识；(3)真正对数学知识准确灵活的应用，需要有对数学的敏感性；(4)要提高数学素质，绝不是多做题就可以解决的，更要有对数学的热爱。五、案例分析题16 【正确答案】 问题在于教师没有准确把握
12、学生的知识基础与认识能力，对学生在学习中可能出现的困难估计不足，尤其是对学生关于锐角三角函数的理解估计过高，主要表现在两个方面，一是初中学习锐角三角函数是在直角三角形中进行的，并不要求给出一个锐角，两边是射线，求出它的三角函数值，二是并不要求把“锐角三角函数” 作为函数来认识，比如关注它的自变量是角，对应的函数值是比值，更不关心它的定义域、值域以及对应法则这些函数的要素，只要求运用符号sin，cos， tan 的意义来进行有关的计算等，现在，要求学生从函数角度建立任意角三角函数概念就失去了概念的上位支持。17 【正确答案】 案例中教师以为学生已经学习过锐角三角函数，就能够把它理解为一种特殊的函
13、数，造成了教学过程中不了解学生知识基础，上课被动，完不成教学任务的情况，这就是一个疏于了解学生的明显的例子，作为高中教师，应该了解义务教育阶段的数学课程标准，了解初中教材，了解学生在初中学习过哪些内容，尤其是相应的教学目标是什么，关注学生的认知结构，应该做好初、高中的衔接工作，不仅注意知识的衔接，还要注意思想方法、能力要求等各方面的衔接，为学习高中的相关内容做好铺垫。六、教学设计题18 【正确答案】 一、内容和内容解析 1内容本节课主要内容是让学生了解在客观世界中要认识客观现象的第一步就是通过观察或试验取得观测资料，然后通过分析这些资料来认识此现象，如何取得有代表性的观测资料并能够正确的加以分
14、析，是正确的认识未知现象的基础，也是统计所研究的基本问题。2内容解析本节课是高中阶段学习统计学的第一节课，统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供依据，学生在九年义务阶段已经学习了收集、整理、描述和分析数据等处理数据的基本方法，在高中学习统计的过程中还将逐步让学生体会确定性思维与统计思维的差异，注意到统计结果的随机性特征，统计推断是有可能错的，这是由统计本身的性质所决定的，统计有两种，一种是把所有个体的信息都收集起来，然后进行描述，这种统计方法称为描述性统计，例如我国进行的人口普查，但是在很多情况下我们无法采用描述性统计对所有的个体进行调查，通常是在总体中抽取一定
15、的样本为代表，从样本的信息来推断总体的特征，这称为推断性统计，例如有的产品数量非常的大或者有的产品的质量检查是破坏性的，统计和概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识。抽样调查是我们收集数据的一种重要途径，是一种重要的、科学的非全面调查方法，它根据调查的目的和任务要求，按照随机原则，从若干单位组成的事物总体中，抽取部分样本单位来进行调查、观察，用所得到的调查标志的数据来推断总体，其中蕴涵了重要的统计思想样本估计总体，而样本代表性的好坏直接影响统计结论的准确性，所以抽样过程中，考虑的最主要原则为：保证样本能够很好地代表总体，而随机抽样的出发点是使每个个体都有相同的机会被抽中，这是基于对样本数
16、据代表性的考虑。本节课重点：能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题，理解随机抽样的必要性与重要性。二、目标和目标解析 1目标(1)通过对具体的案例分析，逐步学会从现实生活中提出具有一定价值的统计问题；(2)结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性；(3)以问题链的形式深刻理解样本的代表性。2目标解析本章章头图列举了我国水资源缺乏问题、土地沙漠化问题等情境，提出了学习统计的意义同时通过具体的实例，使学生能够尝试从实际问题中发现统计问题，提出统计问题，让学生养成从现实生活或其他学科中发现问题、提出问题的习惯，培养学生发现问题与提出问题的能力与意识。对某个问题的调查最简单的方
17、法就是普查，但是这种方法的局限性很大，出于费用和时间的考虑，有时一个精心设计的抽样方案，其实施效果甚至可以胜过普查，在这个过程中让学生逐步体会到随机抽样的必要性和重要性，抽样调查，就是通过从总体中抽取一部分个体进行调查，借以获得对整体的了解，为了使由样本到总体的推断有效，样本必须是总体的代表，否则就可能出现方便样本，由此在对实例的分析过程中探讨获取能够代表总体的样本的方法，得到随机样本的概念，逐步理解样本的代表性与统计推断结论可靠性之间的关系。三、教学问题诊断分析学生在九年义务教育阶段已有对统计活动的认识，并学习了统计图表、收集数据的方法，但对于如何抽样更能使样本代表总体的意识还不强；在以前的
18、学习中，学生的学习内容以确定性数学学习为主；学生对全面调查，即普查有所了解，它在经验上更接近确定性数学，而随机抽样学习则要求学生通过对具体问题的解决，能体会到统计中的重要思想样本估计总体以及统计结果的不确定性，学生已有知识经验与本节要达成的教学目标之间还有很大的差距，主要的困难有：对样本估计总体的思想、对统计结果的“不确定性” 产生怀疑，对统计的科学性有所质疑；对抽样应该具有随机性，每个样本的抽取又都落实在某个人的具体操作上不理解，因此教学中要通过具体实例的研究给学生释疑。在教学过程中，可以鼓励学生从自己的生活中提出与典型案例类似的统计问题，如每天完成家庭作业所需的时间，每天的体育锻炼时间，学
19、生的近视率，一批电灯泡的寿命是否符合要求等，在学生提出这些问题后，要引导学生考虑问题中的总体是什么，要观测的变量是什么，如何获取样本，通过这样一个教学过程，更能激起学生的学习兴趣，能学有所用，拉近知识与实践的距离，培养学生从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题的能力，在这个过程中提升学生对统计抽样概念的理解，初步培养学生运用统计思想表述、思考和理解现实世界中的问题能力，这样教学效果可能会更佳。根据这一分析，确定本课时的教学难点是：如何使学生真正理解样本的抽取是随机的，随机抽取的样本将能够代表总体。四、教学支持条件分析准备一些随机抽样成功或失败的事例，利用实物投影或放映的多媒体设备辅助
20、教学。五、教学过程设计(一) 感悟数据、引入课题问题 1：请同学们看章头图中的有关沙漠化和缺水量的数据，你有什么感受?师生活动：让学生充分思考和探讨，并逐步引导学生产生质疑：这些数据是怎么来的?设计意图：通过一些数据让学生充分感受我们生活在一个数字化时代，要学会与数据打交道，养成对数据产生的背景进行思考的习惯。问题 2：我发现我们班级有很多的同学都是戴眼镜的，谁能告诉我我们班的近视率?普查：为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查称为普查。总体：所要考察对象的全体称为总体(population)。个体：组成总体的每一个考察对象称为个体(individual)。普查是我们进行调查得到全部信息的一
21、种方式，比如我国 10 年一次的人口普查等。设计意图：通过与学生比较贴近的案例入手，让学生体会到统计是从日常生活中产生的。(二)操作实践、展开课题问题 3：如果我想了解榆次二中所有高一学生的近视率，你打算怎么做呢?抽样调查：从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查(sampling investigation)。样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本(sample)。师生活动：以四人小组为单位进行讨论，每个小组派一个代表汇报方案。设计意图：从这个问题中引出抽样调查和样本的概念，使学生对于如何产生样本进行一定的思考，同时也使学生认识到样本选择的好坏对于用样本估计总体的精确度是
22、有所不同的。列举：一个著名的案例在 1936 年美国总统选举前，一份颇有名气的杂志(Literary Digest)的工作人员做了一次民意测验，调查兰顿(ALandon)(当时任堪萨斯州州长)和罗斯福(FD Roosevelt)(当时的总统)中谁将当选下一届总统，为了了解公众意向，调查者通过电话簿和车量登记簿上的名单给一大批人发了调查表(注意在 1936 年电话和汽车只有少数富人拥有)。通过分析收回的调查表，显示兰顿非常受欢迎，于是杂志预测兰顿将在选举中获胜，实际选举结果正好相反，最后罗斯福在选举中获胜，其数据如下：问题 4：你认为预测结果出错的原因是什么? 设计意图：通过案例让学生进一步体会
23、到：在抽样调查中，样本的选择是至关重要的，样本能否代表总体，直接影响着统计结果的可靠性。问题5：如果要调查下面这几个问题，你认为应该作全面调查还是抽样调查?你们对于普查和抽样调查是怎么看的?普查一定好吗? 请举例。 (1)了解全班同学每周的体育锻炼时间；(2)调查市场上某个品牌牛奶的含钙量；(3)了解一批日光灯的使用寿命。设计意图：通过普查和抽样调查的比较，使学生感受抽样调查的必要性和重要性。问题 6：如果我们想了解晋中市高一学生的近视率，你认为该怎么做呢?师生活动：以 2 人小组为单位进行讨论，说出比较可行的抽样方案。问题 7：我们是否可以用晋中市高一年级学生的近视率来估计山西省高中生的近视
24、率?为什么? 师生活动：教师继续让学生进行小组讨论，引导学生从样本容量以及样本抽取需要考虑的要素，如：学生的层次(高一、高二、高三)，学生生活的环境(城市、县镇、农村)等，教师对学生的回答进行归纳、整理，与学生一起讨论出比较可行的抽样方案。设计意图：通过进一步的追问，加深学生对样本代表性的理解，让学生进一步的认识到：在多背景下的抽样会产生偏差，以及样本的随机性与样本大小在产生有代表性的样本中的作用，同时对后面的内容进行简单介绍。(三) 总结拓展、提升思想 问题 8：请你用 12 句话说说自己在本节课的收获。生活动：引导学生从怎样学会提出统计问题?抽样调查与普查的优缺点? 样本的代表性与统计推断
25、结论之间的关系等方面进行总结和回顾。设计意图：总结回顾，巩固课堂知识、初步概括统计思想。六、目标检测设计 1某课外兴趣小组为了解所在地区老年人的健康状况，分别做了四种不同的抽样调查，你认为抽样比较合理的是()。A 在公园调查了 1000 名老年人的健康状况 B在医院调查了 1000 名老年人的健康状况 C调查了 10 名老年邻居的健康状 D利用派出所的户籍网随机调查了该地区 10的老年人的健康状况。设计意图：促进学生理解抽样的必要性和样本的代表性。2为了了解全校 240 名学生的身高情况，从中抽取 40 名学生进行测量，下列说法正确的是 A总体是240B个体是每一个学生 C样本是 40 名学生 D样本容量是 40 设计意图：回顾复习相关概念。3为了了解全校学生的平均身高，王一调查了自己座位旁边的五位同学，把这五位同学的身高的平均值作为全校学生平均身高的估计值。(1)王一的调查是抽样调查吗?(2)如果是抽样调查，指出调查的总体、个体、样本和样本容量；(3)这个调查结果能较好地反映总体的情况吗?如果不能，请说明理由。设计意图：回顾抽样调查的几个基本概念，强化抽样调查中样本的代表性。
